A matemática financeira da aposentadoria

Etapa 1: Acumulacao de capital

Etapa 2: Aposentadoria

Etapa 3: Juntando 1 e 2

Hipótese 1.1: Trabalhador/família vive com renda real média 'Y' até se aposentar no mês 't1'

Hipótese 2.1: Trabalhador/família resgatará montante real fixo 'A' de sua poupanca mensalmente até período 't2'

Nesta etapa, vamos juntar 1 e 2 igualando S = P.

Hipótese 1.2: Ao longo do período de trabalho, poupa montante 's', fracao de sua renda, todo mês

Hipótese 2.2: O restante do capital nao resgatado seguirá rendendo o mesmo retorno 'r'

Note que tomamos o cuidado de trazer os dois montantes ao mesmo

Hipótese 1.3: Sua poupanca é integralmente investida em ativo de renda fixa de retorno real 'r' mensal

Hipótese 2.3: Sua poupanca será integralmente consumida de maneira gradual

período no tempo, que é o momento do início da aposentadoria.

Definindo S como o valor futuro acumulado da poupanca depois dos juros do investimento. Entao temos que S é:

Vamos pensar na contraparte do poupador. Este(a) banco/insticao financeira

terá uma dívida para amortizar com tal trabalhador/família cujo valor presente P é:

Podemos simplificar inicialmente esta álgebra:

S é soma de uma progressao geométrica (PG) finita de razao (1+r). A soma dos n termos de uma PG pode ser resumida em:

Novamente, temos um caso de PG. Porém dessa vez sua razao é 1/(1+r). Aplicando a fórmula da SPG temos:

Onde 'a1' é o primeiro termo da PG,

Em uma etapa final, podemos fazer algumas definicoes úteis

'q' é a sua razao e 'n' a qtd de termos

sobre 'A' e 's' como parcela da renda real do trabalhador/família

Logo, podemos substituir os termos da SPG genérica na nossa fórmula de acumulacao de capital

Mais uma vez, podemos simplificar nossa equacao da seguinte maneira:

Logo, nossa equacao de planejamento financeiro para a aposentaria é:

Podemos simplificar a equacao da seguinte forma:

De forma que 'α' é a renda do aposentado/família como fracao de sua(s) renda média real

e 'β' a parcela da renda média real poupada durante o período de acumulacao de capital.

Se quisermos descobrir o valor das parcelas de amortizacao dessa dívida, podemos resolver para A:

Como na prática a taxa de juros real 'r' varia ao longo do tempo e cada trabalhador/família

Equacao de amortizacao de dívida. Alternativamente,

iniciam sua fase de poupanca em idades diferentes para diferentes objetivos de aposenta-

podemos pensar em 'A' como o valor de um benefício

doria, é razoável flexibilizar os parâmetros 'r', 't1', 't2' e 'β' de forma a encontrar intervalos

previdenciário a ser consumido a partir de poupanca 'P'

de confiabilidade para a taxa de reposicao da renda do trabalho na aposentadoria 'α'