ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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Probabilités: D1
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NOMPRENOMCODE D'ETUDIANT
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BENALIIMAN63
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Exercice 1 (3 points)
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1) Soit X une variable aléatoire (v.a.) discrète de loi de probablité:
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xi121314151617
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P(X=xi)0,060,050,300,260,070,26
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Calculer l'espérance et la variance de X.
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2) Soit X une v.a. discrète prenant ses valeurs dans {1, 2, 3, 4}. Déterminer la loi de probabilité de X sachant que:
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P(X=1)=P(X=2)et
P(X=3)=P(X=4)=0,5-p
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Calculer l'espérence et la variance de X pour p =
0,23.
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Exercice 2 (6 ponits)
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Un gérant d'un portefeille d'une compagnie d'assurance répartit ses clients en quatre classes de risque: C1="bas", C2="modéré", C3="élevé" et C4="trop élevé",
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qui représentent respectivement,
23%17%47%13%
de la clientèle totale.
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En se basant sur l'historique, le gérant a estimé que les probabilités d'avoir un accident dans l'année pour chacune des classes sont:
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0,020,070,190,24
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Un novel assuré rentre dans le portefeuille, mais son type est inconnu. On suppose que la répartition des classes et les probabilités correspondantes restent les mêmes
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pour les cinq années à venir. On suppose aussi que les nombres d'accidents subis deux années différentes sont indépendants conditionnellement à la classe
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d'appartenance.
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Partie A:
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1) Quelle est la probabilité pour que le novel assuré ait un accident dans la première année?
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2) A la fin de la première année, le client a déclaré zéro accident. Quelles sont les probabilités d'appartenir aux classes C1, C2, C3 et C4?
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3) A la fin de la deuxième année, l'assuré a déclaré un accident. Quelles sont les probabilités d'appartenir aux classes C1, C2, C3 et C4?
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4) Quelle est la probabilité que l'assuré ait un accident dans la cinquième année sachant que pendant la troisième et la quatrième année il n'a pas déclaré d'accident?
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Partie B:
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En se basant encore une fois sur l'historique, le gérant a estimé que les indémnités payées par la compagnie pour ses clients de la troisième classe de risque C3
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sont données dans le tableau suivant avec leur probabilités respectives:
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Indémnité en $05001100320012100
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Probabilité0,660,160,090,050,04
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1) Quelle est la prime pure pour la classe de risque C3 qui permet à la compagnie d'équilibrer ses comptes?
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2) La prime que doit payer le nouvel assuré doit être "plus importante", "moins importante" ou "pareille" que la prime commerciale de C3? Expliquer votre choix! (*)
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(*) On suppose ici que la prime commerciale est la somme de la prime pure et une constante pareille pour les assurés des différentes classes.
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Exercice 3 (4 points)
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Une urne contient 6boules blanches et 3
noire(s). On effectue des tirages avec remise jusqu'à obtention de n fois une boule noire.
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Soit X le nombre de tirages nécessaires pour obtentir n boules.
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Partie A: n =1
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1) Quelle est la loi de probabilité de X? En donner le(s) paramètre(s).
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2) Calculer la probabilité P(X=
6).
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3) Calculer l'espérence et la variance de X.
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4) Déterminer le nombre minimum de tirages que l'on doit effectuer afin que la probabilité de tirer la boule noire soit au moins égale à :
0,76
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Partie B: n =5
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Mêmes questions que celles de la partie A.
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Exercice 4 (4 points)
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La variable aléatoire X représnte le chiffre obtenu après le lancer d'un dé truqué à six faces numérotés de 1 à 6. On suppose que la probabilité d'obtenir la face
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numéro k est proportionnelle à k. On concidère la variable aléatoire Y= (a+X)(b-X) où a=
3, et b=9.
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1) Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérence et sa variance.
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2) Déterminer la loi de la variable Y puis calculer son éspérence et sa variance.
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3) On désigne par Y1, Y2, …, Yn les valeurs observées à l'issue de n lancers indépendants. Déterminer la loi de la variable Mn égale à la plus
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grande de ces valeurs (pour n=
5). (**)
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(*) Indication: on pose p=P(X=1).
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(**) Voir l'exercice 17 page 28 du livre de Jean-Pierre lecoutre "TD Statistique et Probabilité" (4ème édition).
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Exercice 5 (3 points)
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Un enquêteur par téléphone compose des numéros jusqu'à ce que la personne appelée accepte de répondre à ses questions.
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On sait que, lorsqu'il appelle une femme, celle-ci accepte de répondre dans
1cas sur 5. Lorsqu'il s'agit
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d'un homme, celui-ci refuse de lui répondre dans
6cas sur 9
. On sait de plus que sur 4 personnes appelées,
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3 sont des hommes.
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1) Calculer la probabilité qu'une appelée au hasard accepte de lui répondre.
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2) Calculer la probabilité que l'enquêteur doit appeler au moins n personnes afin d'obtenir une réponse favorable(*).
Traiter cette question pour n=4.
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3) Combien de personne en moyenne doit appeler l'enquêteur pour obtenir une réponse favorabe.
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(*) Cette question peut être traitée à l'aide d'une variable aléatoire que l'on définit et détermine sa loi de probabilité.
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