Стереометрия

Тела вращения

Конус

• Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.
• При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус. Гипотенуза является образующей.
• Прямой конус - это конус у которого ось перпендикулярна основе.

Вершина конуса - точка вне круга с которой соединяются все точки окружности: Р

Ось конуса - прямая проходящая через центр круга и вершину конуса: ОР

Образующая конуса –отрезок, соединяющий вершину с любой точкой окружности

основания:L.

Радиус основания - это радиус конуса:R

Высота конуса - это перпендикуляр,

опущенный из вершины конуса

к основанию:H.

​

Формулы конуса

Площадь боковой поверхности прямого конуса   � S_бок=πRL

​

Площадь полной поверхности прямого конуса  � S=S_бок+S_осн=πR(L+R)

​

​

Объем прямого конуса  � V= S_оснH= πR²H

Другие виды конусов

Наклонный конус Усеченный конус

Пример 1

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

​

Пример 2

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Пояснение.

Исходный и отсеченный конус подобны с коэффициентом подобия 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь отсеченного конуса в 4 раза меньше площади поверхности исходного. Тем самым, она равна 3.

Ответ: 3.

​

Пример 3.

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора

Пример 4

• В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

​

Решение. Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Ответ: 490.

​

Пример 5

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

​

Ответ: 2

Конус. Выполнить задания

1. Задание . Объем конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем оставшейся части конуса.
2. Задание Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

3. Задание. Как изменится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 2 раза, а высота уменьшится в 1,5 раза?

4. Задание. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза, а радиус уменьшить в 2 раза?

5. Задание. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?

​