Теорема Фалеса.�Теорема про пропорційні відрізки

Геометрія 8 клас

Близько 625 - 547 років до нашої ери

Фалес Мілетський

Фалеса відносять до так званих "семи мудреців" світу: він був одним з найвидатніших математиків свого часу.

Він самостійно обчислив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню, чим немало здивував єгипетського фараона Амазіса. Фалес знайшов також розв'язання задачі на визначення відстані від корабля, що перебуває в морі, до гавані без безпосереднього вимірювання цієї відстані. Визначив тривалість року (365 днів), визначив час сонцестояння та рівнодення висловив думку про те, що Земля має форму кулі. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е. Цей факт справив велике враження на його сучасників.

Історики вважають, що Фалесу належить доведення теореми про рівність вертикальних кутів, теорем про

рівністі кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівності двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами. Він довів теорему про те, що вписаний у коло трикутник, одна із сторін якого є діаметром, прямокутний. Можливо, він уже знав властивості подібних фігур, принаймні рівнобедрених прямокутних трикутників. Найбільшим досягненням його в математиці було введення у геометрію ідеї доведення.

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса

O

A

B

A₁

A₂

A₃

A₄

B₁

B₂

B₃

B₄

∠AOB;

{A₁;A₂;A₃;A₄}⊂OA; {B₁;B₂;B₃;B₄}⊂OB; A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄;

A₁B₁⎢A₂B₂⎢A₃B₃⎢A₄B₄.

B₁B₂=B₂B₃=B₃B

Теорема Фалеса

Теорема 11.1. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.

Задача 1

Знайти:

1. В₁В₂;
2. ОВ₃;
3. В₂В₄.

O

A

B

A₁

A₂

A₃

A₄

B₁

B₂

B₃

B₄

A₁B₁⎢A₂B₂⎢A₃B₃⎢A₄B₄;

В₂В₃=3см

3см

3см

3см

3см

Задача 2

Знайти: OP.

A

B

C

K

O

P

4см

8см

3см

AK⎢BO⎢CP

Теорема про пропорційні відрізки

O

A

B

A₁

A₂

A₃

B₁

B₂

B₃

∠AOB;

{A₁;A₂;A₃;A₄}⊂OA; {B₁;B₂;B₃;B₄}⊂OB; A₁B₁⎢A₂B₂⎢A₃B₃⎢A₄B₄.

Теорема про пропорційні відрізки

Теорема 11.2. Якщо паралельні прямі перетинають сторони кута, то відрізки, що утворились на одній стороні кута, пропорційні відповідним відрізкам, що утворилися на другій стороні кута.

Означення

Відношенням двох відрізків називають відношення їхніх довжин, виражених в одних і тих самих одиницях виміру.