Έλλειψη (Εφαπτομένη - Εκκεντρότητα)

Βαρβάκειο Λύκειο - Β4

​

Σπανός Κωνσταντίνος

Τάγκαλης Ανδρέας

​

Επιβλέπων Καθηγητής: κ. Χατζόπουλος

​

Περιεχόμενα

• Ορισμός
• Εκκεντρότητα και μεταβολή της εκκεντρότητας
• Εφαπτομένη
• Ανακλαστική Ιδιότητα
• Άλλες ιδιότητες και Εφαρμογές

​

Ο Γεωμετρικός Ορισμός

• Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε1, Ε2 (εστίες) είναι σταθερό και ισούται με 2a.
• Συνθήκη: ΜΕ1 + MΕ2=2a ,όπου 2a>(Ε1Ε2)
• Περιορισμός:2α>2γ

​

Βασικά Μεγέθη

• Εστίες (Ε1,Ε2):Τα δύο κεντρικά σημεία
• Μεγάλος Άξονας (2a): Η μεγαλύτερη "διάμετρος"
• Μικρός Άξονας (2β): Η μικρότερη "διάμετρος"
• Εστιακή Απόσταση(2γ):Η απόσταση μεταξύ των εστιών
• Θεμελιώδης σχέση: α^2=β^2+γ^2

​

Η Τυποποιημένη Μορφή

• Όταν οι εστίες είναι στον x’x: x^2/a^2 +y^2/β^2=1
• Όταν οι εστίες είναι στον y’y: x^2/β^2 +y^2/α^2=1

​

​

• Ο μεγαλύτερος παρονομαστής μας δείχνει πού "κάθεται" η έλλειψη

​

• Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεία M1 και M2 της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι: 2β<=Μ1Μ2<=2α

​

Εκκεντρότητα -1

• Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι μια παράμετρος που μετρά πόσο "επίμηκες" είναι το σχήμα
• Τύπος: ε= γ/α
• Επειδή γ<α το ε παίρνει τιμές από 0 μέχρι 1(0=< ε <1)
• Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο β/α, λέγονται όμοιες

​

​

​

​

Εκκεντρότητα -2

• Καθορίζει το πόσο απέχει η έλλειψη από το να είναι τέλειος κύκλος
• Για ε=0 :Οι εστίες συμπίπτουν με το κέντρο. Η έλλειψη γίνεται Κύκλος

ε=0 =>γ=0 => α^2-β^2=0 => α=β

Άρα x^2/a^2 +y^2/β^2=1 => x^2 +y^2= α^2 (εξίσωση κύκλου)

• Για ε=1:Η έλλειψη επιμηκύνεται υπερβολικά και τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα, ΔΕ γίνεται όμως ευθύγραμμο τμήμα

ε=1 => γ=α => β=0

Άρα ο μικρός άξονας είναι 0

​

​

​

​

Εκκεντρότητα -3

• Η εκκεντρότητα ε=1 αποτελεί μια σημαντική περίπτωση μελέτης:
• Μόλις η εκκεντρότητα φτάσει ακριβώς στο 1, η καμπύλη "σπάει", παύει να είναι κλειστή και οι δύο εστίες δεν είναι πια περιορισμένες σε μια πεπερασμένη απόσταση — η μία εστία θεωρείται ότι "φεύγει" στο άπειρο.
• Για ε = 1 η κωνική τομή από Έλλειψη (κλειστή καμπύλη) γίνεται Παραβολή (ανοιχτή καμπύλη)
• Για ε > 1 η κωνική τομή γίνεται Υπερβολή (ανοιχτή καμπύλη)

​

​

Εκκεντρότητα -4 – Τροχιές πλανητών

Εκκεντρότητα -5 – Κομήτες

• Ενώ οι πλανήτες έχουν εκκεντρότητα κοντά στο 0 (σχεδόν κύκλοι), οι κομήτες έχουν πολύ μεγαλύτερες εκκεντρότητες
• Ο Κομήτης του Χάλεϊ: Έχει εκκεντρότητα ε~ 0,967!
• Τι σημαίνει αυτό; Ότι η τροχιά του είναι μια εξαιρετικά επιμήκης έλλειψη

​

Εφαρμογή 1η

Δίνεται η έλλειψη 9x^2 +25y^2=225. Βρείτε την εκκεντρότητα

Διαιρούμε με 225: x^2/25 +y^2/9=1

​

a^2=25=>a=5

β^2=9=>β=3

γ^2=α^2 –β^2=4=>γ=2

Άρα ε=γ/α=2/5=0,4

Εφαπτομένη της Έλλειψης - 1

• Σημείο Επαφής: Ν(x1,y1)
• Εξίσωση Εφαπτομένης: x*x1/a^2 +y*y1/β^2=1

​

Εφαπτομένη της Έλλειψης - 2

• Σε κάθε σημείο Ν της έλλειψης, η εφαπτομένη είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ΕΝΕ’

Εφαρμογή 2η

Βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης x^2/20+ y^2/5=1 στο σημείο Ν(4,1)

​

• Κάνουμε αντικατάσταση στον τύπο της εφαπτομένης για (x1,y1) = (4,1) και βρίσκουμε την εξίσωση.

Ανακλαστική Ιδιότητα

• Ιδιότητα: Η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης διχοτομεί την εξωτερική γωνία των εστιακών ακτίνων.
• Για παράδειγμα κάθε ακτινοβολία (φως, ήχος) που ξεκινά από τη μία εστία, ανακλάται πάνω στην έλλειψη και συγκεντρώνεται στην άλλη εστία.

Εφαρμογή 3η

Έστω η έλλειψη: x^2/25+ y^2/16=1

Αν μια ακτίνα ξεκινά από την εστία Ε1 και «χτυπά» την έλλειψη στο σημείο Ν(0,4), δείξτε ότι ανακλώμενη περνάει από την άλλη εστία της έλλειψης

• Βρίσκουμε τις εστίες: γ=3, άρα Ε1(-3,0) και Ε2 (3,0)
• Η έλλειψη είναι συμμετρική ως προς τον y’y
• Αφού το Ν(0,4) ανήκει στον y’y (άξονα συμμετρίας), έχουμε Ε1Μ=Ε2Μ
• Επίσης, η εφαπτομένη στο Ν είναι παράλληλη στον x’x. Άρα η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Επειδή Ε2 συμμετρικό με το Ε1 ως προς τον y’y, η ακτίνα θα περάσει από το Ε2

​

​

Άλλες ιδιότητες και Εφαρμογές

• 1ος Νόμος του Κέπλερ: Οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλείψεις, με τον Ήλιο να κατέχει τη μία από τις δύο εστίες. Αυτή η ιδιότητα είναι θεμελιώδης για την Αστρονομία. Επίσης οι τεχνητοί δορυφόροι που περιστρέφονται γύρω από τη Γη (όπως αυτοί του GPS ή των τηλεπικοινωνιών) ακολουθούν ελλειπτικές τροχιές.
• Η ανακλαστική ιδιότητα χρησιμοποιείται για τη θραύση πετρών στα νεφρά. Ο ασθενής τοποθετείται στη μία εστία ενός ελλειψοειδούς κατόπτρου και τα ηχητικά κύματα που εκπέμπονται από την άλλη εστία συγκεντρώνονται με ακρίβεια πάνω στην πέτρα, σπάζοντάς την χωρίς χειρουργείο.
• Αίθουσες Ψιθύρων (Whispering Galleries): Σε δωμάτια με ελλειπτική οροφή (π.χ. στον Άγιο Παύλο στο Λονδίνο ή στο Καπιτώλιο), αν κάποιος ψιθυρίσει στη μία εστία, ο ήχος ανακλάται και ακούγεται καθαρά στην άλλη εστία, ακόμα και αν η απόσταση είναι τεράστια.
• Σε ορισμένες μηχανές (π.χ. σασμάν αυτοκινήτων) χρησιμοποιούνται ελλειπτικά γρανάζια για να μετατρέπουν τη σταθερή ταχύτητα περιστροφής σε μεταβαλλόμενη.
• Τα μάτια μας δεν είναι τέλειες σφαίρες. Συχνά έχουν μια μικρή εκκεντρότητα. Όταν αυτή η εκκεντρότητα ξεφεύγει από τα φυσιολογικά όρια, δημιουργούνται προβλήματα όρασης όπως ο αστιγματισμός, καθώς το φως δεν εστιάζει σωστά

​

​

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!!!