Les annuités

Les annuités

• On appelle annuités une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de temps égaux.

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• Le terme « annuité » est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme « annuité » par « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ».

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• L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.

Les annuités

• Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que lorsque leur montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités variables.
• Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin de période.
• Les annuités peuvent être :
• Certaines lorsque leur nombre est connu à l’avance;
• Aléatoires ou viagères, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat ;
• Perpétuelles lorsque leur nombre est illimité.

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Soit une séquence (flux) de capitaux placés au taux (i)

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Qelle est la valeur acquise par 3 capitaux respectivement égaux à A,B,C effectués aux dates indiquées N, N+2, N+5

V₁₀ =A (1+i)¹⁰ + B (1+i)^{8 +} C (1+i)⁵

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• De N à N+10 :10
• De N+2 à N+10 : 8
• De N+5 à N+10: 5

Rappel

Exemple :1

taux = 5%

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V₇ =1000 (1,05)⁷ + 1500 (1,05)^{5 +} 2000 (1,05)⁴

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la vaLeur acquise d’un groupe de capitaux est égale à la somme des valeurs acquises de chaque capital

La valeur actuelle

V0 =A (1+i)^-2 + B (1+i) ^{-5 +} C (1+i) ^-7

Exemple : taux =4 %

Rappel sur les suites géométriques

• S_n= a+aq+……+aq^n-1
• S_n= aqⁿ-1/q-1
• S₄= a+aq+aq²+aq³
• S₄= aq⁴-1/q-1

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� la valeur acquise� On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité. �

1.Les annuités constantes de fin de période

Si on note par:

Vn : la valeur acquise par la suite des annuités

a : l’annuité constante de fin de période

n : le nombre de périodes (d’annuités)

i : le taux d’intérêt par période de capitalisation

On a alors:

la valeur acquise

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i) et comprenant n termes. La formule devient donc:

la valeur acquise

�Exemple:�

Quelle est la valeur acquise par 4 annuités constantes immédiatement après le dernier versement?

C’est la valeur acquise par 1^er + la v_a par le 2^nd+………+le dernier versement.

V4= a(1+i)³+ a(1+i)²+ a(1+i)¹+ a(1+i)⁰

= a(1+i)⁴ - 1 / (1+i) - 1

= a(1+i)⁴ - 1 / i

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La valeur acquise exprimée p periodes apres le dernier versement

La valeur acquise après le dernier versement( t= 4%):

v₈ = 500(1,04)⁸ -1 / 0,04:

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​

c’est la valeur immédiatement apres le dernier versement

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V₁₂= 500(1,04)⁸ -1 / 0,04 * (1,04)^{4= 12-8}

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C’est la valeur acquise placée en 8 que l’on recupére en 12

Exemple

La valeur acquise après le dernier versement( t= 4%):

v₈ = 500(1,04)⁸ -1 / 0,04:

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​

C’est la valeur immédiatement aprés le dernier versement

​

V₁₂= 500(1,04)⁸ -1 / 0,04 * (1,04)^{4= 12-8}

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​

C’est la valeur acquise placée en 8 que l’on recupére en 12

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La valeur actuelle

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme des annuités actualisées (V0) exprimée à la date origine.

• Si on note par:
• V0 = la valeur actuelle par la suite des annuités
• a = l’annuité constante de fin de période
• n = le nombre de périodes (d’annuités)
• i = le taux d’intérêt par période de capitalisation
• Alors:

La valeur actuelle

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique et comprenant n termes. La formule devient :

La valeur actuelle

La valeur actuelle exprimée p période avant la date d’origine

2.Les annuités constantes en début de période�la valeur acquise

Si on considère que les flux sont versés en début de période, on obtient le graphique suivant:

la valeur acquise

la valeur acquise exprimée p periode apres la date n

la valeur actuelle

La valeur actuelle exprimée p periode avant la date d’origine

TD

I. Calculer la valeur acquise par des annuités

Exemple :

On place chaque année pendant 5 ans, en début d’année, un capital de 5 000 Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement, puis un an après le dernier versement (Capitalisation annuelle au taux de 6 %)

Méthode :

la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la

Formule

avec :

a : versement périodique en début de période

i : taux périodique

n : nombre de versements

Vn : valeur acquise au dernier versement

�II. Calculer la valeur actuelle d’annuités �

Exemple :

On verse chaque mois en début de mois une somme de 1 000 pendant 24 mois (taux d’actualisation : 0,5 % par mois).

Calculer la valeur actualisée de cette suite de versements un mois avant le premier versement.

Méthode :

la valeur actuelle une période avant le premier versement constant est donnéepar la formule

avec :

a : versement périodique i : taux périodique

n : nombre de versements V0 : valeur actuelle une période avant le

premier versement

�III. Calculer le montant d’un versement (intérêts composés) :�

Exemple :

On emprunte 6 000 , remboursable par 48 versements mensuels constants.Calculer la mensualité (taux mensuel : 0,9 % ; versement en fin de mois).

Méthode :

on obtient la mensualité à partir de la formule précédente

avec :

a : versement constant en fin de période

i : taux périodique

n : nombre de versements

V0 : capital emprunté