פונקציית פולינום
אייזיק ניוטון ( 1642 – 1727 )
גוטפריד לייבניץ ( 1646 – 1716 )
מפגש 2
מה במפגש היום?
הנגזרת...��
3
3
איך להתחיל?�
4
הכלי החדש...
4
א. מצא תחום ההגדרה של הפונקציה
ב. מצא שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה-y.
ג. מצא שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה-x.
ד. סמן את הנקודות שמצאת במערכת צירים
ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ה. האם יש אפשרות לשרטט סקיצה אחרת?
ו. איזה מידע נחוץ לנו, כדי לשרטט סקיצה
יותר מדויקת של הגרף?
x
y
הכלי החדש...
5
אחת המטרות של קורס "חדו"א" היא ללמוד לשרטט גרף של פונקציה כלשהי לא מוכרת,
הנתונה בצורה אלגברי
תהליכים רבים בחיים ניתן לתאר ע"י משוואות
( אפשר לתת דוגמה של שאלת קיצון כאשר נתון היקף וצריך שטח מקסימלי )
איך לבנות עבורם גרף?
איך לדעת האם יש קיצון? ומאיזה סוג?
האם אחרי עלייה תבוא ירידה? ומתי זה יקרה?
איך נוכל לנבא?
5
נכיר היום מושג חדש שבעזרתו נוכל לענות על כל השאלות ...
נתחיל ממשהו שאנחנו מכירים...
x
y
x
y
x
y
6
7
שיפוע של ישר הוא גודל קבוע וניתן למדוד אותו בכל נקודה,
ואילו שיפוע של כל עקומה אחרת, משתנה מנקודה לנקודה בגרף.
אז איך בכל זאת נוכל להעריך את השיפוע? ואיך בדיוק זה יעזור לנו?
7
ננסה להעריך את השיפוע
8
9
קיים מספר המייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה
כדי לקבוע שיפוע של פונקציה,
עלינו לשרטט "משיק" בנקודה מתאימה
ולקרוא את שיפועו
5
1
0
2/3
10
10
"משיק" – קו ישר אשר בנקודה מסוימת ובסביבתה
הקטנה מזכיר לנו את גרף הפונקציה
11
איך השיפוע יעזור לנו?
12
נסו לקבוע אם השיפוע בנקודות המסומנות
חיובי, שלילי, או אפס
פתרון
אז איך בדיוק המשיק עוזר לנו?
אם בנקודה ובסביבה הקרובה של הנקודה הישר מתלכד עם הפונקציה אז בעזרת שיפוע הישר נוכל לקבוע שיפוע של הפונקציה בנקודה ולפי זה נוכל להחליט האם הפונקציה עולה או יורדת בנקודה
לפניך גרף של פונקציה g(x)
13
לפניך גרף של פונקציה f(x)
14
15
פונקציות מבעד למיקרוסקופ
16
נעמיק יותר כדי להגיע להכללה
17
100
18
19
m
20
m
21
m
שואף m
m = 6.5
m
22
לפניך גרף הפונקציה y = ⎜x ⎜ . על הגרף מסומנות 2 נקודות (2 , 2) ו- (0, 0) .
איך יראה גרף הפונקציה אם נתבונן בו " מבעד למיקרוסקופ" בסביבת כל אחת מהנקודות המסומנות?
ניתן לראות שלא קיים משיק אחד ( קו המדמה את גרף הפונקציה ) בנקודה (0, 0) לכן גם הפונקציה y = ⎜x ⎜ לא גזירה בנקודה זאת
23
האם תמיד, כאשר נתבונן בגרף הפונקציה בהגדלות הולכות וגדלות, גרף הפונקציה יידמה יותר ויותר לישר?
24
הגדרה מתמטית
25
26
כללי גזירה
לכל x ממשי
27
מושג הנגזרת – השתנות שיפועי המשיקים�
ללמוד וללמד אנליזה
28
גאולה סבר
מושג הנגזרת – כקצב שינוי�פונקציית המהירות כנגזרת של פונקציית הדרך
ללמוד וללמד אנליזה
הקפדה על יחידות
29
גאולה סבר
מושג הנגזרת – כקצב שינוי�פונקציית המהירות כנגזרת של פונקציית הדרך
ללמוד וללמד אנליזה
30
גאולה סבר
מושג הנגזרת – כקצב שינוי�פונקציית המהירות כנגזרת של פונקציית הדרך
פונקצית הנגזרת של פונקציית הדרך היא פונקציית המהירות הרגעית, שמראה מד המהירות ברכב.
31
גאולה סבר
הכרות עם פונקציה חזקה
32
תוכנית הוראה ושעות:
חקירת פונקציית פולינום בראיה איכותנית
33
34
35
פונקציות חזקה
מסקנות:
מעריך זוגי
מעריך אי זוגי
גאולה סבר
36
פונקציות חזקה– הזזות ומתיחות g(x)=a(x-p)n+k
גאולה סבר
37
פונקציות חזקה– הזזות ומתיחות g(x)=a(x-p)n+k
גאולה סבר
38
פונקציות חזקה– הזזות ומתיחות g(x)=a(x-p)n+k
מה ניתן ללמוד על הפולינום בצורה זו?
39
פולינום כמכפלת השורשים
40
על פי המשפט היסודי של אלגברה כל פונקציית פולינום בתחום המספרים הממשיים ניתנת להצגה
כמכפלת חזקות של גורמים לינאריים ו/או גורמים ריבועיים בלתי פריקים
(נקודות אפס)
שרטוט סקיצה לגרף הפולינום כמכפלת השורשים
41
גאולה סבר
פולינום כמכפלת השורשים
חותך�ריבוי השורש 1
משיק�ריבוי השורש 2
42
גאולה סבר
43
44
45
46
47
�עקרונות בסרטוט איכותני של גרף הפולינום� ללא שימוש בנגזרת. �
48
49