1 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Урок

№ 18

Розв’язування

типових

вправ і задач

Алгебра

Розділ 1. Алгебраїчні вирази.

Лінійні рівняння з однією змінною

2(х - 1) - 2х =

= -2

2 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв’язування типових

вправ і задач

3 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

4 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Що таке тотожність?

2. Що означає — довести тотожність?

З У чому суть способу перетворення лівої частини рівності?

4. Поясніть суть способу перетворення правої частини рівності.

5. У чому суть способу перетворення обох частин рівності?

6. Поясніть суть способу різницевого порівняння.

7. Як спростувати правильність рівності зі змінними?

Пригадайте головне

5 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Рівність, ліва і права частини якої є тотожно

рівними виразами, називається тотожністю.

Рівності, що виражають властивості додавання та множення чисел, є прикладами тотожностей:

а + b =b+ а;

(а + b) + с = а + (b + с);

ab = bа;

(ab) с = а (bс);

a (b + с) = ab + ас.

6 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Вирази, відповідні значення яких є

рівними при будь-яких значеннях змінних, що входять до них, називають тотожно рівними.

Наприклад, вирази 2 (х - 1) - 1 і 2х - 3 — тотожно рівні, а вирази х⁵ - х і 5х³ - 5х не є тотожно рівними.

Ось ще приклади тотожно рівних виразів:

7 (а + с) і 7а + 7с;

Зх + у і у + Зх;

а -(b + с) і а - b - с.

7 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведення тотожності

Для того щоб довести, що дана рівність є тотожністю, використовують такі прийоми (методи):

• тотожно перетворюють одну із частин даної
рівності, отримуючи другу частину;
• тотожно перетворюють кожну із частин даної
рівності, отримуючи той самий вираз;
• показують, що різниця лівої і правої частин даної, рівності тотожно дорівнює нулю.

8 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Математична розминка

Дайте відповідь на питання.

Чи є тотожністю рівність:

2х + Зу = 6ху;
5а - 1 = -1 + 5а;
9(а - b) = 9а – 5b

Відповідь:

1) ні;�2) так;�3) ні;

4) (a+b);

5) (a-b) ;

6) (-a-b)

Що можна записати замість *, щоб одержати тотожність:

4) 2(a+b) - 2 ∙ * = 0

5) 2(a+b) - 2 ∙ * = 4b

6) 2(a+b) - 2 ∙ * = 4a+4b

9 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

від Ботана

Населення міста становить на сьогодні m тис. жителів і збільшується щороку на 3 % порівняно з попереднім роком.

Яким стане населення міста через: 1) 3 роки; 2) 5 років? Складіть вираз для розв’язування задачі.

10 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

від Ботана

Розв’язання

- становить один відсоток;

- збільшується щороку;

- людей буде через 3 роки;

- людей буде через 5 років.

11 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Які з наведених рівностей є тотожностями:

1) (2a – 3b)² = (3b -2a)²; 2) (a - b)³= (b - a)³;

3) |a + 5| = a + 5; 4) |a - b| = |b - a|;

5) |a² + 4| = a² + 4; 6) |a + b| = |a| + |b|;

7) |a - 1| = |a| - 1; 8) a² – b² = (a - b)²?

Завдання №147

Підручник.

Сторінка

рівень

12 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) (2а – Зb)² = (–(3b – 2а))² = (2а – Зb)² — рівність є тотожністю;

2) рівність (a – b)³ = (b – а)³ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо

а = 1, b = 0, то

(а – b)³ = (1 – 0)³ = 1,

(b – а)³ = (0 – 1)³ = –1 і 1 ≠ –1;

3) рівність |а + 5| = а + 5 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо

а = –6, то

|а + 5| = |–6 + 5| = |–1|= 1,

а + 5 = –6 + 5 = –1 і 1 ≠ –1 ;

4) |а – b| = |–(b – а)| = |b – а| — рівність є тотожністю.

Завдання №147

Розв’язання (І):

Підручник.

Сторінка

рівень

13 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

5) |а² + 4| = a² + 4, бо а² + 4 > 0 для усіх значень а.

Тому рівність |а² + 4| = а² + 4 є тотожністю;

6) рівність |а + b| = |а| + |b| не є тотожністю, бо, наприклад, якщо

а = 6, b = –5 , то

|а + b|= |6 – 5|= 1 ,

|a| + |b| = |6| + |–5| = 6 + 5 = 11 і 1 ≠ 11;

Підручник.

Сторінка

рівень

Завдання №147

Розв’язання (ІІ):

14 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

7) рівність |а – 1| = |а| – 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо

а = 0, то

|а – 1| = |0 – 1| = 1,

|a| – 1 = |0| – 1 = –1 і 1 ≠ –1;

8) рівність a² – b² = (а – b)² не є тотожністю, бо, наприклад, якщо

а = 2, b = 1, то

а² – b² = 2² – 1² = 4 – 1 = 3,

(а – b)² = (2 – 1)² = 1² = 1 і 3 ≠ 1.

Підручник.

Сторінка

рівень

Завдання №147

Розв’язання (ІІІ):

15 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Запишіть у вигляді рівності твердження:

1) сума протилежних чисел дорівнює нулю;

2) добуток даного числа та числа 1 дорівнює 1;

3) добутком даного числа та числа -1 є число, протилежне даному;

4) модулі протилежних чисел рівні;

5) різниця протилежних чисел дорівнює нулю.

Які із цих рівностей є тотожностями?

Завдання №148

Підручник.

Сторінка

рівень

16 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) а + (–а) = 0 — рівність є тотожністю;

2) а ∙ 1 = 1 — рівність не є тотожністю;

3) а ∙ (–1) = –а — рівність є тотожністю;

4) |а| = |–а| — рівність є тотожністю;

5) а – (–а) = 0 — рівність не є тотожністю.

Завдання №148

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

рівень

17 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть тотожність:

1) 4 (2 - Зm) - (6 - m) - 2 (Зm + 4) = -17m - 6;

2) а + b – 10ab = 2а (3 - b) - Зb(а - 2) - 5 (ab + а + b);

3) 6 (5а - 3) + (10 - 20а) - (6а - 4) = 5а - (За - (2а - 4)).

Завдання №149

Підручник.

Сторінка

рівень

18 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 4(2 – Зm) – (6 – m) – 2(3m + 4) = 8 – 12m – 6 + m – 6m – 8 =

= –17m – 6 — тотожність доведена;

2) 2а(3 – b) – 3b(а – 2) – 5(ab + а + b) = 6а – 2ab – 3ab + 6b –

- 5аb – 5а – 5b = а + b – 10аb — тотожність доведена;

3) 6(5а – 3) + (10 – 20а) – (6а – 4) = 30а – 18 + 10 – 20а – 6а + 4 =

= 4а – 4.

5а – (За – (2а – 4)) = 5а – (За – 2а + 4) = 5а – а – 4 = 4а – 4.

4а – 4 = 4а – 4 — тотожність доведена.

Завдання №149

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

рівень

19 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №150

Підручник.

Сторінка

рівень

20 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №150

Розв’язання:

Підручник.

Сторінка

рівень

21 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що не є тотожністю рівність:

1) (а + 3)² = а² + 9;

2) (b - 1) (b + 1) = (b - 1) b + 1;

3) (c + 1)³ = c³ + 1;

4) |m| - |n| = |n| - |m|.

Завдання №151

Підручник.

Сторінка

рівень

22 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) Рівність (а + 3)² = а² + 9 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, то

(а + З)² = (1 + З)² = 4² = 16,

а² + 9 = 1² + 9 = 1 + + 9 = 10 і 16 ≠ 10;

2) рівність (b – 1)(b + 1) = (b – 1)b + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо b = 1, то

(b – 1)(b + 1)=(1 – 1)(1 + 1) = 0,

(b – 1)b + 1 = (1 – 1) ∙ 1 + 1 = 1 i 0 ≠ 1.

Завдання №151

Розв’язання (І):

Підручник.

Сторінка

рівень

23 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

3) рівність (с + 1)³ = с³ + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо с = 1, то

(с + 1)³ = (1 + 1)³ = 2³ = 8,

с³ + 1 = 1³ + 1 = 1 + 1 = 2 і 8 ≠ 2;

4) рівність |m| – |n| = |n| – |m| не є тотожністю, бо, наприклад, якщо m = 2, n = 1, то

|m| –|n| = |2| – |1| = 2 – 1 = 1,

|n|– |m| = |1| – |2| = 1 – 2 = –1 і 1 ≠ – 1.

Завдання №151

Розв’язання (ІІ):

Підручник.

Сторінка

рівень

24 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Загальна довжина річки Дніпро становить 2201 км, з них у межах України — 981 км. Загальна довжина річки Десна становить 1130 км, з них у межах України — 591 км. Яка із цих річок має більший відсоток довжини в межах України?

Завдання №156

Підручник.

Сторінка

рівень

Розв’язання:

25 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Гімнастика для очей

26 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Підготовка до

№1. Що можна записати замість *, щоб одержати тотожність: 5(8а-6) = *

А	Б	В	Г	Д
45а-30	40 - 6а	40а-30	10а	30:40

Відповідь:

27 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Підготовка до

№2. Яка з рівностей не є тотожністю для будь-яких натуральних чисел а і с:

А	Б	В	Г	Д
(а + с)² = =(с + а)²	(а - с)² = =(с - а)²	\|а\|= а;	а² + с² = =(а + с)²	2ас = = 2(-с)(-а)

Відповідь:

28 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника 48-53.

Виконати завдання

№ 282, 284, 286.

29 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що в будь-який момент змагань знайдеться команда, яка до цього моменту провела або парну кількість матчів, або ще не провела жодного.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

30 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Припустимо протилежне, тобто що кожна команда провела непарну кількість матчів. Оскільки є усього 11 команд, то сума 11 непарних чисел буде непарним числом. Але при цьому ми враховували кожну зустріч двічі (перша команда зіграла з другою і друга зіграла з першою), тому загальна кількість матчів має ділитися на 2, тобто бути парним числом. Прийшли до суперечності. Отже, існує команда, яка провела парну кількість матчів або не провела жодного.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

Розв’язання

31 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Клієнт поклав у банк n грн на депозит із накопиченням (капіталізацією) відсотків, за умовами якого суму річних відсотків додають до суми основного вкладу. Якою буде сума на його рахунку через 2 роки, якщо банк нараховує 7 % річних? Складіть вираз для розв’язування задачі

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

Розв’язання:

32 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Які вирази називають тотожно рівними?

2. Що називають тотожним перетворенням виразу?

3. Для чого виконують тотожні перетворення виразів?

4. Які доданки називають подібними? Як зводять подібні доданки?

5. Як розкривають дужки, якщо перед дужками стоїть знак «+»; знак «-»?

Пригадайте головне

33 of 33

07.10.2024

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Обмін думками»

Який вид роботи вам найбільш сподобався?

Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

Де можна використати здобуті знання?