SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
Hasta el momento hemos visto el concepto de serie y como el determinar la sucesión de sumas parciales de la serie nos permite determinar si la serie converge o diverge; sin embargo, no siempre es posible el determinar una expresión algebraica para la n-ésima suma parcial de la serie.
Las series especiales: geométrica, telescópica y armónica, podemos identificarlas y de acuerdo a su tipo determinar si convergen o divergen, pero también no todas las series son especiales, entonces, ¿cómo poder determinar la convergencia de una serie?, y si esta converge ¿cuál es su suma?
Con este tema ampliamos el tipo de series para poder determinar si son convergentes o divergentes, se tomará el caso particular de series de términos positivos ya que las sumas parciales forman sucesiones no decrecientes, y las sucesiones no decrecientes que están acotadas superiormente convergen. sin embargo, ya no podemos determinar la suma de la serie.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
PARA LAS SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS, SE DETERMINARÁ LA CONVERGENCIA O DIVERGENCIA DE LA SERIES USANDO LOS CRITERIOS
CRITERIO DE LA INTEGRAL
EJEMPLO 1.
Usar el criterio de la integral para mostrar que la serie armónica diverge.
Como
Condiciones del criterio.
Función positiva
Función continua
Función decreciente
Calculando la integral impropia
Así la integral impropia diverge y por el criterio de la integral la serie diverge.
EJEMPLO 2.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Como
Función positiva
Función continua
Función decreciente
Calculando la integral impropia
Calculando la integral
Así
SERIE CONVERGE
SERIE HIPERARMÓNICA
DEMOSTRACIÓN.
Usemos el criterio de la integral para demostrarlo.
CALCULANDO LA INTEGRAL IMPROPIA
Determinemos
El resultado depende del signo del exponente, veámoslo por casos.
Así por el criterio de la integral, la serie diverge.
EJEMPLO 3.
DETERMINAR SI LAS SERIES DADAS CONVERGEN O DIVERGEN
A)
DETERMINAR SI LAS SERIES DADAS CONVERGEN O DIVERGEN
B)
CRITERIO BÁSICO DE COMPARACIÓN
Observación.
Al aplicar el Criterio Básico de Comparación, se debe de tener presente las series especiales, cuya convergencia o divergencia se pueda determinar fácilmente. Se puede tener series geométricas, las cuales convergen si y divergen en otro caso, las series hiperarmónicas, las cuales convergen si y divergen en otro caso, y las series cuyo límite de su n-ésimo término sea diferente de cero ya que estas divergen, esto último aplicando el criterio del n-ésimo termino para la divergencia.
EJEMPLO 4.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
El término general de la serie es
Tenemos que determinar la expresión del término general de la sucesión bn
Sabemos que
�Por el criterio básico de comparación, la serie converge.
EJEMPLO 5.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
El término general de la serie es
Tenemos que determinar la expresión del término general de la sucesión bn
Sabemos que
EJEMPLO 6.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
El término general de la serie es
Tenemos que determinar la expresión del término general de la sucesión bn
Sabemos que
Hay que usar otro criterio y hasta el momento solo conocemos el Criterio de la Integral
Calculando la integral impropia
Calculando
Sea
RESOLVIENDO LA INTEGRAL IMPROPIA
Resolviendo el límite
usando el hecho de que el logaritmo natural y la exponencial son funciones inversas, esto es
Así
Calculemos el límite
Aplicando la Regla de L´Hospital
Luego
La integral impropia diverge y en consecuencia la serie diverge.
EJEMPLO 7.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
El término general de la serie es
Tenemos que determinar la expresión del término general de la sucesión bn
Sabemos que
Hay que usar otro criterio y hasta el momento solo conocemos el Criterio de la Integral, pero veamos el criterio siguiente para aplicarlo posteriormente.
CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LÍMITE
EJEMPLO 8.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Esta es la misma serie que la del ejemplo 7, en donde encontramos que , sin embargo al usar el criterio básico de comparación no obtuvimos un resultado.
Usemos el criterio de comparación por límite con y
CALCULANDO EL LÍMITE
Como el límite es mayor que cero el Criterio de Comparación por Límite nos dice que las dos series y convergen o divergen.
Para determinar la convergencia de la serie , hay que determinar la convergencia de la serie
Esta es una serie hiperarmónica o serie p con p<1 y diverge.
Luego con por el Criterio de Comparación por Límite, la serie diverge.
EJEMPLO 9.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Esta es la misma serie que la del ejemplo 6, en donde encontramos que , sin embargo al usar el criterio básico de comparación no obtuvimos un resultado y lo resolvimos con el criterio de la integral.
Usemos el criterio de comparación por límite con y
CALCULANDO EL LÍMITE
Como el límite es mayor que cero el Criterio de Comparación por Límite nos dice que las dos series y convergen o divergen.
Para determinar la convergencia de la serie , hay que determinar la convergencia de la serie
Esta es una serie hiperarmónica o serie p con p<1 y diverge.
Luego con por el Criterio de Comparación por Límite, la serie diverge.
Estos dos últimos ejemplos ya habíamos intentado resolverlos por el criterio básico de comparación y esto hizo posible que tuviéramos la serie pero no siempre tenemos que iniciar aplicando este criterio.
Una forma de obtener la expresión para la serie es usando los términos mayores del numerador y de denominador de la función dada en el término general de
EJEMPLO 10.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Para determinar bn tomamos los términos mayores del numerador y del denominador de
Así
Usemos el Criterio de Comparación por Límite.
Como el límite es mayor que cero, las dos series y
convergen o divergen.
CRITERIO DE LA RAZÓN 0 DEL COCIENTE
EJEMPLO 11.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Usando el Criterio de la Razón
CRITERIO DE LA RAÍZ
EJEMPLO 12.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Usando el Criterio de la Raíz
EJEMPLO 13.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.
Primero usemos el Criterio de la Raíz
Calculemos cada uno de los límites, para que sea válido el procedimiento ambos limites deben de existir.
Cuando para determinar la convergencia de una serie aplicamos el criterio de la raíz o de la razón y obtenemos que el valor del límite es uno entonces al aplicar el otro criterio razón o raíz respectivamente también se obtendrá uno.
Apliquemos el Criterio de la Razón.
Usemos el Criterio Básico de Comparación.
Tenemos , determinemos bn
Podemos comparar el logaritmo natural con cualquier potencia de n, en particular comparémosla con n, así
Así y
Usemos el Criterio de Comparación por Límite.
Tenemos que y
Calculando el límite
Usemos el Criterio de la Integral.
Veamos si cumple las condiciones
El criterio de la integral nos permite determinar si la serie dada converge o diverge en el intervalo
, pero nos piden determinar el valor de la serie en e intervalo , usaremos el criterio de la integral para determinar si la serie converge o diverge en el intervalo que inicia en 2 y a este resultado le sumamos el valor de a serie en 1 que es el que falta de tomar en cuenta.