Основные законы логической алгебры

Алгебра логики - это математический аппарат, позволяющий выполнять операции с логическими высказываниями.

Другое название – алгебра высказываний.

С помощью этого понятия производятся вычисления, упрощения и преобразования с исходными суждениями.

Логическое высказывание или суждение – это предложение с истинным или ложным значением.

Законы алгебры высказываний представляют собой тавтологии и также называются теоремами. Запись законов раздела математической логики осуществляется в виде эквивалентных формул.

Закон тождества

Теорема представлена в виде формулы:

A=A

​

Рассматриваемый закон гласит, что любое высказывание тождественно самому себе. При рассуждении недопустима подмена одной мысли или понятия другими. В противном случае может возникнуть логическая ошибка.

Закон не противоречия

Теорема представлена в виде формулы:

A&Ā=0

​

Рассматриваемая теорема означает, что суждение в конкретный момент времени может иметь или истинное, или ложное значение, третье исключено. Закон исключенного третьего применяется только в определенных рассуждениях, где стоит формулировка «или –или».

Закон двойного отрицания

Свойства констант

Отрицание лжи есть истина:

A∪0=A

A∪1=1

​

Отрицание истины есть ложь:

A&0=0

Закон идемпотентности

Теорема идемпотентности – это закон, дающий возможность исключить повторяющиеся суждения.

​

В записи данный закон выглядит так:

A∪A=A

A&A=A

Закон коммутативности

Рассматриваемая теорема применяется для выражений, связанных союзами «и», «или». Перемена мест высказываний в них не влияет на результат рассуждения.

A∪B=B∪A

А&В=В&А

Закон ассоциативности

Теорема утверждает, что логическое сложение и умножение ассоциативно, то есть при наличии в выражении лишь конъюнкции или лишь дизъюнкции можно опускать скобки:

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

А&(В&C)=(A&В)&С

Законы дистрибутивности

Дистрибутивность логического сложения относительно логического умножения имеет значение – А или (В и С) есть тоже самое, что А или В и А или С – и записывается формулой:

​

A∪(B&C)=(A∪B)&(A∪C)

​

Дистрибутивность логического умножения над логическим сложением читается как – А и (В или С) есть тоже самое, что А и В или А и С – и имеет вид:

​

А&(B∪C)=(A&B)∪(А&C)

Закон поглощения

Теорема, при которой верны следующие равенства:

для конъюнкции

A∪(A&B)=A

​

для дизъюнкции

A&(A∪B)=A

Законы де Моргана

Законы де Моргана