Autor: Anibal Tavares de Azevedo
CÁLCULO I
SEMANA 03 - AULA 02
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6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Regra da Cadeia:
Seja F(x) = (x2+1)1/2, então, as técnicas anteriores
para obtenção da derivada F’(x) = 0 não podem ser
diretamente aplicadas. Mas, considere que F(x) é uma
função composta dada por:
y = f(u) = (u)1/2 e
u = g(x) = (x2+1)
Logo: y = F(x) = f(g(x)), isto é, F = f o g.
Se a derivada de F estiver em função de f e g (que
são mais simples), basta aplicar as regras anteriores
de derivação.
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LIMITES E DERIVADAS
Regra da Cadeia:
Seja g for derivável em x e f for derivável em g(x),
então, a função composta F = f o g, dada por F(x) =
f(g(x)) será dada por:
F’(x) = f’(g(x))*g’(x)
Se y = f(u) e u = g(x) deriváveis, então:
(1)
Ou ainda:
(f o g)’(x) = f’(g(x))*g’(x) (2)
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LIMITES E DERIVADAS
Observação sobre a Regra da Cadeia:
Na equação (1):
dy/du refere-se à derivada de y quando esta é
considerada uma função de u (derivada de y em relação
à u), ao passo que du/dx se refere à derivada de u
quando esta é uma função de x (derivada de u em
relação à x).
Na equação (2) significa que primeiro deriva-se a
função de fora (f) e depois multiplica-se pela
derivada da função de dentro (g):
Função de dentro
Função de fora
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Exemplo 1: Encontrar F’(x) se F(x) = (x2+1)1/2.
LIMITES E DERIVADAS
Solução 1:
Seja F(x) = (x2+1)1/2 = (f o g)(x) = f(g(x)), onde:
f(u) = (u)1/2 e u = g(x) = (x2+1)
Logo f’(u) = (1/2)u-1/2 e g’(x) = 2x
Então:
F’(x) = f’(g(x))*g’(x) = f’(u)*g’(x)=(1/2)*u-1/2*(2x)
= x*u-1/2 = x/u1/2 = x/(x2+1)1/2
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Exemplo 1: Encontrar F’(x) se F(x) = (x2+1)1/2.
LIMITES E DERIVADAS
Solução 2:
Seja u = (x2+1) e y = (u)1/2, então:
e e
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LIMITES E DERIVADAS
Regra da Potência combinada com a Regra da Cadeia:
Seja n for qualquer número real e u = g(x) for
derivável, então:
(1)
Ou ainda:
(2)
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LIMITES E DERIVADAS
Exemplo 2: Derive y = (x3-1)100.
Seja u = g(x) = x3 – 1 e n = 100, então:
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 3: Derive: y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
Passo 1: Aplicar regra do produto:
y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
f(x) g(x)
y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
(i) f(x) = (2x+1)5 = u5
u
(ii) f’(x) = 5u4[d(u)/dx] = 5u4[d(2x+1)/dx] =
= 5(2x+1)4[2] = 10(2x+1)4
Passo 2:
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 3: Derive: y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
Passo 1: Aplicar regra do produto:
y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
f(x) g(x)
y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
(iii)g(x) = (x3-x+1)4 = u4
u
(iv) f’(x) = 4u3[d(u)/dx] = 4u3[d(x3-x+1)/dx] =
= 4(x3-x+1)3[3x2-1]
Passo 2:
Regra da Cadeia
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 3: Derive: y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
Passo 1: Aplicar regra do produto:
y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
f(x) g(x)
y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
(iii)g(x) = (x3-x+1)4 = u4
u
(iv) g’(x) = 4u3[d(u)/dx] = 4u3[d(x3-x+1)/dx] =
= 4(x3-x+1)3[3x2-1]
Passo 2:
Regra da Cadeia
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 3: Derive: y = (2x + 1)5(x3-x+1)4
Passo 3: Calcular y’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
(ii) (iii) (i) (iv)
(ii) f’(x) = 10(2x+1)4
(iii) g(x) = (x3-x+1)4
(iv) g’(x) = 4(x3-x+1)3(3x2-1)
y’ = (10(2x+1)4) * ((x3-x+1)4) +
((2x+1)5) * (4(x3-x+1)3(3x2-1))
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 4: Encontre f’(x) de
Reescrevendo f:
Logo:
f’(x) = (df/du) (du/dx)
= (-1/3)(u)-4/3[d(u)/dx]
= (-1/3)(x2+x+1)-4/3 [d(x2+x+1)/dx]
= (-1/3)(x2+x+1)-4/3 (2x+1)
u
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 5: Derive a função:
Passo 1: Aplicar regra da Cadeia.
Passo 2: Aplicar regra do quociente.
f(x)
g(x)
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 5: Derive a função:
Passo 2: Aplicar regra do quociente.
(i) f(x) = x-2
(ii) f’(x) = 1
(iii) g(x) = 2x + 1
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LIMITES E DERIVADAS
Exercício 5: Derive a função:
Passo 3: Obter a expressão final de h’(x).
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OBRIGADO !!!
FIM !!!
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