Подобие треугольников�Интерактивный плакат

к 10 шаг за шагом

1

2

3

4

5

6

7

Подобные фигуры

Предметы одинаковой формы, но разных размеров

Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями;

Здание и его макет

Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

Подобные фигуры

• В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами

Подобными являются любые два квадрата

Подобными являются любые два круга

два куба

два шара

Пропорциональные отрезки

• Отношением отрезков называется отношение их длин.

​

• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D_1,, если

ПРИМЕР

ПРИМЕР

• Даны два прямоугольных треугольника

Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как

т.е.

и

НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Пропорциональность отрезков

• Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков.

например

Подобные треугольники

• Даны два треугольника AΒC и A₁Β₁C₁,

у которых ∠A = ∠A₁, ∠Β = ∠Β₁, ∠C = ∠C₁.

Стороны AΒ и A₁Β₁ , AC и A₁C₁ , ΒC и Β₁C₁, лежащие против равных углов, называют сходственными

Определение

• Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

∠A = ∠A₁, ∠Β = ∠Β₁, ∠C = ∠C₁.

ΔAΒC ~ ΔA₁Β₁C₁

Коэффициент подобия

• Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

ΔAΒC ~ ΔA₁Β₁C₁

k – коэффициент подобия.

Разминка

1

• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK.
• Найдите MN,

если AB = 3, CD = 4, PK = 2.

MN = 1,5

Разминка

2

• Даны два подобных прямоугольных треугольника.
• Коэффициент подобия 1,5
• Стороны одного из них 3, 4 и 5.
• Найдите гипотенузу другого.

7,5

5 · 1,5 = 7,5

1 задача

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN.

Найдите EF,

если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

2 задача

Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см

подобен треугольнику

со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см.

Найдите коэффициент подобия.

3 задача

Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3.

Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

4 задача

Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем

∠F = 20°, ∠E = 40°.

Найдите остальные углы этих треугольников.

5 задача

Периметры подобных треугольников

12 мм и 108 мм соответственно.

Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Найдите стороны другого и

определите его вид.

ЗАДАЧИ

4. В треугольнике ABC

AB = 4, BC = 6, AC = 7.

Точка E лежит на стороне AB.

Внутри треугольника взята точка M так,

что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1.

Прямая BM пересекает AC в точке P.

Докажите, что ΔAPB равнобедренный.

Решение:

Решение

• .

Рассмотрим ΔBEM и ΔABC

BE = AB − AE = 4 – 1 = 3

BE : AB = 3 : 4 = 0,75

EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75

BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75,

т.е. стороны треугольников

пропорциональны

B

E

P

C

A

M

7

6

4

4,5

5,25

1

• ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам.

Следовательно, ∠BME = ∠AСB

∠EBM = ∠BAC

∠BEM = ∠ABC.

Рассмотрим треугольник ABP:

∠EBM = ∠BAC, т.е. ∠ABP = ∠BAP.

ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать.

Решение

ТЕСТ

Решите задачи, отметьте нужные ячейки

ТЕСТ

1. По данным рисунка х равен

​

А) 7

Б) 14

В) 3,5

Г) 14/3

ТЕСТ

2) По данным рисунка периметр ΔABC равен

​

А) 9

Б) 27

В) 36

Г) 18

ТЕСТ

3) По данным рисунка отрезок BC равен

​

А) 3,75

Б) 7,5

В) 5

Г) 4,5

А

В

С

3

3

4

0,5

2,5

ТЕСТ

4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся

​

А) 3 : 1

Б) 9 : 1

В) 6 : 1

Г) 9 : 4

ТЕСТ

5) По данным рисунка прямые AB и DE

​

А) нельзя ответить

Б) пересекаются

В) параллельны

ТЕСТ

ОТВЕТЫ: