1 of 91

Логические основы компьютеров

1

2 of 91

Логические основы компьютеров

§ 18. Логика и компьютер

2

3 of 91

Логика, высказывания

3

Аристотель

(384-322 до н.э.)

Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения.

Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний.

Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Логические основы компьютеров, 10 класс

4 of 91

Высказывание или нет?

4

Сейчас идет дождь.

Жирафы летят на север.

История – интересный предмет.

У квадрата – 10 сторон и все разные.

Красиво!

В городе N живут 2 миллиона человек.

Который час?

Логические основы компьютеров, 10 класс

5 of 91

Логика и компьютер

5

Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1.

Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных.

Почему «логика»?�Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.

Джордж Буль разработал основы алгебры, �в которой используются только 0 и 1�(алгебра логики, булева алгебра).

Логические основы компьютеров, 10 класс

6 of 91

Логические основы компьютеров

§ 19. Логические операции

6

7 of 91

Обозначение высказываний

7

A – Сейчас идет дождь.

B – Форточка открыта.

простые высказывания (элементарные)

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.

Любое высказывание может быть ложно (0) �или истинно (1).

!

A и B

A или не B

если A, то B

A тогда и только

тогда, когда B

Сейчас идет дождь и открыта форточка.

Сейчас идет дождь или форточка закрыта.

Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.

Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

Логические основы компьютеров, 10 класс

8 of 91

Операция НЕ (инверсия)

8

Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.

А	не А

1

0

1

таблица истинности операции НЕ

также , , �not A (Паскаль), �! A (Си)

Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

Логические основы компьютеров, 10 класс

9 of 91

Операция И

9

Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.

220 В

A и B

A

B

Логические основы компьютеров, 10 класс

10 of 91

Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

10

A	B	А и B

1

0

также: A·B, A ∧ B,�A and B (Паскаль), �A && B (Си)

0

1

0

1

0
1
2
3

0

конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

A ∧ B

Логические основы компьютеров, 10 класс

11 of 91

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

11

Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.

220 В

A или B

A

B

Логические основы компьютеров, 10 класс

12 of 91

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

12

A	B	А или B

1

0

также: A+B, A ∨ B,�A or B (Паскаль), �A || B (Си)

0

1

0

1

дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

Логические основы компьютеров, 10 класс

13 of 91

Задачи

13

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.

1) принтеры & сканеры & продажа

2) принтеры & продажа

3) принтеры | продажа

4) принтеры | сканеры | продажа

1 2 3 4

Логические основы компьютеров, 10 класс

14 of 91

Операция «исключающее ИЛИ»

14

Высказывание «A ⊕ B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно (то есть A ≠ B).

«Либо пан, либо пропал».

A	B	А ⊕ B

0

также: �A xor B (Паскаль), �A ^ B (Си)

0

1

0

1

сложение по модулю 2: А ⊕ B = (A + B) mod 2

арифметическое сложение, 1+1=2

остаток

Логические основы компьютеров, 10 класс

15 of 91

Свойства операции «исключающее ИЛИ»

15

A ⊕ A =

(A ⊕ B) ⊕ B =

A ⊕ 0 =

A ⊕ 1 =

A

0

?

A	B	А ⊕ B
0	0
0	1
1	0
1	1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

A

Логические основы компьютеров, 10 класс

16 of 91

Импликация («если …, то …»)

16

Высказывание «A → B» истинно, если не исключено, что из А следует B.

A – «Работник хорошо работает».

B – «У работника хорошая зарплата».

A	B	А → B
0	0
0	1
1	0
1	1

1

0

Логические основы компьютеров, 10 класс

17 of 91

Импликация («если …, то …»)

17

«Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома».

A – «Вася идет гулять».

B – «Маша сидит дома».

Маша может пойти гулять �(B=0), а может и не пойти (B=1)!

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

А если Вася не идет гулять?

?

Логические основы компьютеров, 10 класс

18 of 91

Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)

18

Высказывание «A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

A	B	А ↔ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логические основы компьютеров, 10 класс

19 of 91

Базовый набор операций

19

С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

ИЛИ

И

НЕ

базовый набор операций

Сколько всего существует логических операций с двумя переменными?

?

Логические основы компьютеров, 10 класс

20 of 91

Штрих Шеффера, «И-НЕ»

20

A	B	А \| B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Базовые операции через «И-НЕ»:

Логические основы компьютеров, 10 класс

21 of 91

Стрелка Пирса, «ИЛИ-НЕ»

21

A	B	А ↓ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Базовые операции через «ИЛИ-НЕ»:

Самостоятельно…

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

22 of 91

Формализация

22

Прибор имеет три датчика и может работать, если два из них исправны. Записать в виде формулы ситуацию «авария».

A – «Датчик № 1 неисправен».

B – «Датчик № 2 неисправен».

C – «Датчик № 3 неисправен».

Аварийный сигнал:

X – «Неисправны два датчика».

X – «Неисправны датчики № 1 и № 2» или

«Неисправны датчики № 1 и № 3» или

«Неисправны датчики № 2 и № 3».

логическая формула

Формализация – это переход к записи на формальном языке!

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

23 of 91

Вычисление логических выражений

23

Порядок вычислений:

скобки
НЕ
И
ИЛИ, исключающее ИЛИ
импликация
эквивалентность

A

B

+

∙

+

B

C

∙

A

С

∙

1 4 2 5 3

Логические основы компьютеров, 10 класс

24 of 91

Составление таблиц истинности

24

A	B	A·B	X
0	0
0	1
1	0
1	1

0
1
2
3

0

1

0

1

0

1

0

1

Логические выражения могут быть:

тождественно истинными (всегда 1, тавтология)
тождественно ложными (всегда 0, противоречие)
вычислимыми (зависят от исходных данных)

Логические основы компьютеров, 10 класс

25 of 91

Составление таблиц истинности

25

A	B	C	A∙B	A∙C	B∙C	X
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

0
1
2
3
4
5
6
7

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Логические основы компьютеров, 10 класс

26 of 91

Задачи (таблица истинности)

26

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z
X ∧ Y ∧ Z
X ∨ Y ∨ Z
¬X ∨ ¬Y ∨ ¬Z

X	Y	Z	F
1	0	0	1
0	0	0	1
1	1	1	0

Логические основы компьютеров, 10 класс

27 of 91

Логические основы компьютеров

§ 20. Диаграммы

27

28 of 91

Диаграммы Венна (круги Эйлера)

28

A

B

A

B

A

A·B

A

B

A+B

A⊕B

A→B

A↔B

A

B

A

B

Логические основы компьютеров, 10 класс

29 of 91

Диаграмма с тремя переменными

29

Хочу

Могу

Надо

1

2

3

4

5

6

7

8

Логические выражения можно упрощать!

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

30 of 91

Задачи

Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам :

Сколько сайтов будет найдено по запросу

огурцы | помидоры

30

Запрос	Количество сайтов
огурцы	100
помидоры	200
огурцы & помидоры	50

Логические основы компьютеров, 10 класс

31 of 91

Задачи

31

N_A|B= N_A+ N_B

A

B

A

B

N_A|B= N_A+ N_B – N_A&B

огурцы | помидоры

50

огурцы

помидоры

100

200

огурцы & помидоры

250

Логические основы компьютеров, 10 класс

32 of 91

Задачи

Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам :

Сколько сайтов будет найдено по запросу

Динамо & Спартак & Рубин

32

Запрос	Количество сайтов
Динамо & Рубин	320
Спартак & Рубин	280
(Динамо \| Спартак) & Рубин	430

Общее условие с & можно отбросить !

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

33 of 91

Задачи

Известно количество сайтов, которых находит поисковый сервер по следующим запросам :

Сколько сайтов будет найдено по запросу

Динамо & Спартак

33

Запрос	Количество сайтов
Динамо	320
Спартак	280
Динамо \| Спартак	430

Ответ: 320 + 280 – 430 =

170

Логические основы компьютеров, 10 класс

34 of 91

Задачи

34

Динамо

Спартак

Рубин

1

2

3

Динамо & Рубин

= 1 + 2 = 320

Спартак & Рубин

= 2 + 3 = 280

(Динамо | Спартак) & Рубин

= 1 + 2 + 3 = 430

Динамо & Спартак & Рубин

= 2

= (320 + 280) – 430 =

170

Логические основы компьютеров, 10 класс

35 of 91

Задачи

Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:

Сколько сайтов будет найдено по запросу

(принтер | сканер) & монитор

если по трем следующим запросам найдено:

принтер | сканер – 450 сайтов,

принтер & монитор – 40 сайтов

сканер & монитор – 50 сайтов.

35

Ключевое слово	Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым
сканер	200
принтер	250
монитор	450

Логические основы компьютеров, 10 класс

36 of 91

Задачи

36

А (сканер)

B (принтер)

N_A|B= N_A+ N_B – N_A&B

принтер | сканер

450

сканер

принтер

200

250

0

сканер

принтер

монитор

90

40 + 50 =

принтер & монитор = 40

сканер & монитор = 50

50

40

(принтер | сканер) & монитор = ?

Логические основы компьютеров, 10 класс

37 of 91

Сложная задача

37

Ниже приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

мезозой 500

кроманьонец 600

неандерталец 700

мезозой | кроманьонец 800

мезозой | неандерталец 1000

неандерталец & (мезозой | кроманьонец) 200

Сколько страниц будет найдено по запросу

кроманьонец & (мезозой | неандерталец)

Логические основы компьютеров, 10 класс

38 of 91

Логические основы компьютеров

§ 21. Упрощение логических выражений

38

39 of 91

Законы алгебры логики

39

название	для И	для ИЛИ
двойного отрицания
исключения третьего
операции с константами
повторения
поглощения
переместительный
сочетательный
распределительный
законы де Моргана

Логические основы компьютеров, 10 класс

40 of 91

Упрощение логических выражений

40

Шаг 1. Заменить операции ⊕→↔ на их выражения через И, ИЛИ и НЕ:

Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана:

Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.

Логические основы компьютеров, 10 класс

41 of 91

Упрощение логических выражений

41

раскрыли →

формула де Моргана

распределительный

исключения третьего

повторения

поглощения

Как сделать проще?

?

Логические основы компьютеров, 10 класс

42 of 91

Задачи (упрощение)

42

Какое логическое выражение равносильно выражению �A ∧ ¬(¬B ∨ C)?

¬A ∨ ¬B ∨ ¬C
A ∧ ¬B ∧ ¬C
A ∧ B ∧ ¬C
A ∧ ¬B ∧ C

Логические основы компьютеров, 10 класс

43 of 91

Логические уравнения

43

A=0, B=1, C – любое

2 решения: (0, 1, 0), (0, 1, 1)

или

A=1, B=0, C=1

Всего 3 решения!

!

K=1, L=1,

M и N – любые

4 решения

M=1, L=1, N=1,

K – любое

2 решения

K=1, L=1, M=0,

N – любое

2 решения

Всего 5 решений!

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

44 of 91

Логические основы компьютеров

§ 22. Синтез логических выражений

44

45 of 91

Синтез логических выражений

45

A	B	X
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.

распределительный

исключения третьего

распределительный

Логические основы компьютеров, 10 класс

46 of 91

Синтез логических выражений (2 способ)

46

A	B	X
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равен .

Шаг 4. Сделать инверсию.

Когда удобнее применять 2-ой способ?

?

Логические основы компьютеров, 10 класс

47 of 91

Синтез логических выражений (3 способ)

47

A	B	X
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое ложно только для этой строки.

Шаг 3. Перемножить эти выражения и упростить результат.

Логические основы компьютеров, 10 класс

48 of 91

Синтез логических выражений

48

A	B	C	X
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Логические основы компьютеров, 10 класс

49 of 91

Синтез логических выражений (2 способ)

49

A	B	C	X
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

3-й способ – самостоятельно.

!

Логические основы компьютеров, 10 класс

50 of 91

Логические уравнения

50

Запрещены 1!

Запрещены 0!

Запрещены 00** и **00!

0101

0110

0111

1001

1010

1011

1101

1110

1111

01, 10, 11

3

пары битов:

3

9 решений!

Логические основы компьютеров, 10 класс

51 of 91

Логические уравнения

51

16 – 9 = 7 решений!

4 переменные – всего 2⁴ = 16 вариантов

для уравнения с 1 в правой части – 9 решений

соседние биты разные – биты чередуются

соседние биты одинаковые – все биты одинаковые

Логические основы компьютеров, 10 класс

52 of 91

Логические уравнения

52

«запрещена комбинация 10»

Решения: 000000, 000001, 000011, 000111,

001111, 011111, 111111

«после первой единицы все следующие биты – 1»

«все нули, потом все единицы»

Для уравнения с N переменными: N+1 решений.

Логические основы компьютеров, 10 класс

53 of 91

Системы логических уравнений

53

Уравнения независимы!

!

7 решений

6 решений

всего 7 × 6 = 42 решения!

Логические основы компьютеров, 10 класс

54 of 91

Системы логических уравнений

уравнение связи

54

7 решений

6 решений

X:

000000

000001

000011

000111

001111

011111

111111

Y:

00000

00001

00011

00111

01111

11111

7

4

всего 7 × 4 + 4 × 2

= 36 решений!

Логические основы компьютеров, 10 класс

55 of 91

Системы логических уравнений

55

Замена переменных:

…

Биты чередуются!

!

Решения: Z = 010101010,

Z = 101010101

Логические основы компьютеров, 10 класс

56 of 91

Системы логических уравнений

56

Решения: Z = 010101010,

Z = 101010101

0 и 1 дают по � 2 решения!

!

2⁹ + 2⁹ = 1024

9 битов

Логические основы компьютеров, 10 класс

57 of 91

Системы логических уравнений

57

Замена переменных:

Решения: 010101, 101010

«биты чередуются»

Ответ: 3³+3³=

54

Логические основы компьютеров, 10 класс

58 of 91

Логические основы компьютеров

§ 23. Предикаты и кванторы

58

59 of 91

Предикаты

59

Предикат (логическая функция) – это утверждение, содержащее переменные.

Предикат-свойство – от одной переменной:

P(N) = «В городе N живут более 2 млн человек»

P(Москва) = 1

P(Якутск) = 0

Простое(x) = «x – простое число»

Спит(x) = «x всегда спит на уроке»

Предикат-отношение – от нескольких переменных:

Больше(x, y) = «x > y»

Живет(x, y) = «x живет в городе y»

Любит(x, y) = «x любит y»

Логические основы компьютеров, 10 класс

60 of 91

Предикаты и кванторы

60

Предикаты задают множества:

Предикаты, которые всегда истинны:

для всех вещественных чисел

«Для любого допустимого x утверждение P(x) истинно»:

высказывание

квантор

Квантор – знак, обозначающий количество.

А

(all – все)

E

(exists – существует)

Логические основы компьютеров, 10 класс

61 of 91

Кванторы

61

Какой квантор использовать?

« … моря соленые».

« … кошки серые».

« … числа чётные».

« … окуни – рыбы».

« … прямоугольники – квадраты».

« … квадраты – прямоугольники».

Истинно ли высказывание?

при

Логические основы компьютеров, 10 класс

62 of 91

Кванторы

62

Дано:

A = «Все люди смертны» = 1.

B = «Сократ – человек» = 1.

Доказать:

C = «Сократ смертен» = 1.

Доказательство:

P(x) = «x – человек» Q(x) = «x – смертен»

A = 1:

при «x =Сократ»

B = 1:

по свойствам импликации

Сократ

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Логические основы компьютеров, 10 класс

63 of 91

Несколько кванторов

63

– предикат от переменной y

Квантор связывает одну переменную:

– предикат от переменной x

Два квантора связывают две переменных:

– высказывание «для любого x существует y, при котором P(x,y)=1»

– высказывание «существует x, такой что при любом y верно P(x,y)=1»

Сравните два последних высказывания при:

Логические основы компьютеров, 10 класс

64 of 91

Отрицание

64

НЕ «для любого x выполняется P(x)» ⇔

«существует x, при котором не выполняется P(x)»

НЕ «существует x, при котором выполняется P(x)» ⇔

«для любого x не выполняется P(x)»

Логические основы компьютеров, 10 класс

65 of 91

Логические основы компьютеров

§ 24. Логические элементы компьютера

65

66 of 91

Логические элементы компьютера

66

&

1

&

НЕ

И

ИЛИ

ИЛИ-НЕ

И-НЕ

значок инверсии

Логические основы компьютеров, 10 класс

67 of 91

Логические элементы компьютера

67

Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ.

&

И:

НЕ:

&

ИЛИ:

&

Логические основы компьютеров, 10 класс

68 of 91

Составление схем

68

последняя операция - ИЛИ

&

1

&

И

Логические основы компьютеров, 10 класс

69 of 91

Триггер (англ. trigger – защёлка)

69

Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2-х элементах ИЛИ-НЕ или на 2-х элементах И-НЕ.

1

основной

выход

вспомогательный

выход

reset, сброс

set, установка

обратные связи

S	R	Q	режим
0	0
0	1
1	0
1	1

хранение

запрещен

1

0

сброс

установка 1

0

Логические основы компьютеров, 10 класс

70 of 91

Триггер – таблица истинности

70

1

обратные связи

S	R	Q	режим
0	0
0	1
1	0
1	1

хранение

запрещен

1

0

сброс

установка 1

0

1

0

1

0

1

0

Логические основы компьютеров, 10 класс

71 of 91

Полусумматор

71

Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа.

Σ

сумма

перенос

A	B	P	S
0	0
0	1
1	0
1	1

0 0

0 1

1 0

&

1

&

Схема на 4-х элементах?

?

Логические основы компьютеров, 10 класс

72 of 91

Сумматор

72

Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

Σ

сумма

перенос

A	B	C	P	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Логические основы компьютеров, 10 класс

73 of 91

Многоразрядный сумматор

73

это логическая схема, способная складывать два �n-разрядных двоичных числа.

перенос

Σ

Логические основы компьютеров, 10 класс

74 of 91

Логические основы компьютеров

§ 25. Логические задачи

74

75 of 91

Метод рассуждений

75

Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы:

Россия — «Проект не наш (1), проект не США (2)»;

США — «Проект не России (1), проект Китая (2)»;

Китай — «Проект не наш (1), проект России (2)».

Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал?

	(1)	(2)
Россия
США
Китай

проект России (?)

–

+

–

+

	(1)	(2)
Россия
США
Китай

проект США (?)

+

–

	(1)	(2)
Россия
США
Китай

проект Китая (?)

+

–

+

Логические основы компьютеров, 10 класс

76 of 91

Табличный метод

76

Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что

Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове,
парижанка – не актриса,
в Ростове живет певица,
Лариса – не балерина.

Париж	Ростов	Москва		Певица	Балерина	Актриса
			Даша
			Анфиса
			Лариса

0

В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица!

!

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Много вариантов.
Есть точные данные.

Логические основы компьютеров, 10 класс

77 of 91

Использование алгебры логики

77

Задача 3. Следующие два высказывания истинны:

1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе.

Определить, какие корабли вышли в море.

… если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

2. В море вышел корабль B или корабль C, но не оба вместе.

Решение:

Логические основы компьютеров, 10 класс

78 of 91

Использование алгебры логики

78

Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

Решение:

A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер

хозяин:

сын:

мастер:

Если ошибся хозяин:

Если ошибся сын:

Если ошибся мастер:

Логические основы компьютеров, 10 класс

79 of 91

Использование алгебры логики

79

Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику?» учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис». Кто же изучал логику?

Решение:

A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен

«Если логику изучал Андрей, � то изучал и Борис».

1 способ:

«Неверно, что если изучал � Семен, то изучал и Борис».

Логические основы компьютеров, 10 класс

80 of 91

Использование алгебры логики

80

Задача 5. На вопрос «Кто из твоих учеников изучал логику?» учитель ответил: «Если логику изучал Андрей, то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучал Семен, то изучал и Борис». Кто же изучал логику?

Решение:

A – логику изучал Андрей, B – Борис, C – Семен

«Если логику изучал Андрей, � то изучал и Борис».

2 способ:

«Неверно, что если изучал � Семен, то изучал и Борис».

С	B	С → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

A	B	A → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Логические основы компьютеров, 10 класс

81 of 91

Использование алгебры логики

81

Задача 6. Суд присяжных пришел к таким выводам:

если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин
если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен

Виновен ли Аськин?

Решение:

A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин

«Если Аськин не виновен или Баськин � виновен, то виновен Сенькин».

«Если Аськин не виновен, то � Сенькин не виновен».

Аськин виновен

Логические основы компьютеров, 10 класс

82 of 91

Использование алгебры логики

82

Задача 6б. Суд присяжных пришел к таким выводам:

если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин
если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен

Виновен ли Баськин?

Решение:

A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин

Не получили противоречия: возможно, что и виновен

Логические основы компьютеров, 10 класс

83 of 91

Использование алгебры логики

83

Задача 6в. Суд присяжных пришел к таким выводам:

если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин
если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен

Виновен ли Сенькин?

Решение:

A – виновен Аськин, B – Баськин, C – Сенькин

Не получили противоречия: возможно, что и виновен

Логические основы компьютеров, 10 класс

84 of 91

Логические основы компьютеров

Задачи ЕГЭ

84

85 of 91

Задачи ЕГЭ

85

Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A ∧ ¬(¬B ∨ C).

1) ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C

2) A ∨ ¬B ∨ ¬C

3) A ∧ B ∧ ¬C

4) A ∧ ¬B ∧ C

Логические основы компьютеров, 10 класс

86 of 91

Задачи ЕГЭ (2)

86

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(50 < X·X) → (50 > (X+1)·(X+1))

В целых числах:

A

B

Логические основы компьютеров, 10 класс

87 of 91

Задачи ЕГЭ (6)

87

Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

	A	B	C
Джон			1
Ник		1
Билл	2	3
Макс	1		4

2

3124

1

4

Ответ:

Логические основы компьютеров, 10 класс

88 of 91

Задачи ЕГЭ (7)

88

На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван. Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что

(1) Столяр живет правее охотника.

(2) Врач живет левее охотника.

(3) Скрипач живет с краю.

(4) Скрипач живет рядом с врачом.

(5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом.

(6) Иван живет рядом с охотником.

(7) Василий живет правее врача.

(8) Василий живет через дом от Ивана.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

Логические основы компьютеров, 10 класс

89 of 91

Задача Эйнштейна

89

Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных.

Известно, что: