10.03.2025

Сьогодні

Урок

№ 74

Алгебра

Розділ 3. Функції

Систематизація знань та підготовка до тематичного оцінювання.

Добрий день!

На вас чекає гарний день.

Бачу, всі веселі і здорові

До уроку всі готові!

10.03.2025

Сьогодні

Організація класу

10.03.2025

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

10.03.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:

узагальнення, поглиблення і закріплення основних знань, набутих за час вивчення теми «Функція. Лінійна функція»; використання їх під час розв’язання типових задач

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Графіком функції називають фігуру, що складається з усіх

точок координатної площини, абсциси яких - значення аргументу, а ординати – відповідні значення функції.

2. Позначимо на координатній

площині точки (х; у)

Повторимо

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Нулі функції - це абсциси точок перетину графіка функції з віссю абсцис, бо ордината - це значення функції, і саме в цих точках вона дорівнює нулю.

Визначення окремих характеристик функції за її графіком

Нулем функції називають таке значення аргументу, для якого значення функції дорівнює нулю.

Використовуючи графік функції можна знайти:

1) нулі функції; 2) область визначення і значень функції;

3) значення аргументу, для яких функція набуває додатних значень; 4) значення аргументу, для яких функція набуває від’ємних значень.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функція у = х² - 1, де -3 < х < 2

1. Нулі функції: х = -1 і х = 1. Зауважимо, що нулі функції можна знайти, і не використовуючи графік даної функції. Наприклад, достатньо розв’язати рівняння х² - 1 = 0.

2) Область значень функції (у): будь-які значення від -1 до 8. Тому є всі такі значення у, що -1 < у < 8.

Область визначення функції (х): усі х такі, що -З < х < 2

3) Для значень х таких, що точки графіка лежать вище від осі абсцис. Тому функція набуває додатних значень для -3 < х < -1. На мал. цю частину графіка позначено зеленим кольором. Отже, для -З < х < -1 та 1 < х < 2 функція набуває додатних значень.

4) Для значень х таких, що -1 < х < 1, точки графіка лежать

нижче від осі абсцис (на мал. цю частину графіка позначено червоним кольором). Тому для -1 < х < 1 функція набуває від’ємних значень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Якщо кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, то таку залежність називають функціональною залежністю, або функцією

Незалежну змінну ще називають аргументом, а про залежну змінну кажуть, що вона є функцією від цього аргументу.

Наприклад, периметр квадрата Р є функцією від довжини його сторони а, а відстань s, яку подолав автомобіль зі сталою швидкістю, є функцією від часу руху t. Значення залежної змінної називають значенням функції.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Способи задання функції

1. Спосіб.

Описово або словесно

Наприклад, кожному учню 7-го класу поставили у відповідність число, що відповідає номеру його телефона.

2. Спосіб.

Аналітично або формульно.

Наприклад, S = 14t, у = Зх.

Задача. Функція задана формулою у = х³ - 8.

1) Знайдіть значення функції для х = -1; 0; 2.

2) Знайдіть значення аргументу, за якого функція

набуває значення у = 19.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Способи задання функції

3.Спосіб.

Таблично

4. Спосіб.

Графічно

Наприклад, на малюнку зображено графік зміни температури повітря впродовж доби.

Наприклад, в таблиці показано зміну атмосферного тиску впродовж часу доби.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Область визначення функції

Усі допустимі значення аргументу утворюють область визначення функції.

Область визначення функції коротко позначають:

D (f) або D (у).

1. Знайдемо значення х, за яких знаменник дробу дорівнює нулю:

х + 3 = 0; х = -3.

Отже, х = -3 не є допустимим значенням функції, а її областю визначення є всі числа, крім х = -3, тобто: D (у): х = -3.

2) Оскільки даний дріб має зміст забудь-якого значення х, то областю визначення функції є всі числа, тобто: : D (у): х — будь-яке число.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Область значень функції

Усі значення, яких набуває функція для допустимих значень аргументу, утворюють область значень функції

Область значень функції коротко позначають:

Е(f) або Е (у).

Задача. Периметр прямокутника зі сторонами a i b дорівнює 28 см. Складіть формулу залежності довжини сторони а від довжини сторони b. Назвіть аргумент цієї функції. Знайдіть її область визначення і область значень.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв'язання.

1. Периметр прямокутника зі сторонами а і b дорівнює Р = 2(а + b). За умовою задачі P = 28 см. Отже, 28 = 2(а + b). Звідси а = 14 - b.

2. Для функції а = 14 - b змінна b є аргументом.

3. Довжини сторін прямокутника можуть набувати лише додатних значень, тому b > 0 і а > 0. Оскільки

а = 14 - b, то значення і незалежної змінної b, і залежної змінної а не можуть бути більшими за 14.

Звідси 0<b<14 і 0<а<14.

Отже:D(f): 0<b< 14, E(f):0<a<14.

а

b

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Функція, яку можна задати формулою виду

у = kx + b, де х — аргумент, k і b — деякі числа, називається лінійною функцією.

Мобільний оператор пропонує своїм клієнтам тариф «Економний» за такими умовами: безлімітні дзвінки в мережі за 30 грн і додаткова плата 2 грн за хвилину розмови на інші мережі. Дмитро склав формулу залежності загальної вартості тарифного плану у від кількості хвилин х на інші мережі.

Отриману функцію в загальному вигляді можна задати формулою: у = kx + b, де х — незалежна змінна, k і b деякі числа.

у = 30 + 2х.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Графік лінійної функції

Графіком лінійної функції є пряма.

Кожна пряма, яка не перпендикулярна до осі абсцис, є графіком лінійної функції.

Побудувати графік функції у = 0,25х - 1.

1. Функція є лінійною. Складемо для неї таблицю кількох значень незалежної змінної х та відповідних їй значень функції у:

2. Позначимо на координатній площині точки, координати яких отримано в таблиці. За допомогою лінійки з’єднаємо позначені точки.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Особливості графіка лінійної функції

Графік лінійної функції у = kx + b перетинає вісь OY в точці:

• з додатною ординатою, якщо b > 0;

• з від’ємною ординатою, якщо b < 0;

• з ординатою, що дорівнює 0, якщо b=0.

Графік функції у = kx + b утворює з додатним

променем осі ОХ:

• гострий кут, якщо k > 0;

• тупий кут, якщо k < 0.

Оскільки коефіцієнт k характеризує кут, який пряма утворює з додатним променем осі ОХ, його називають кутовим коефіцієнтом прямої. Число b у формулі y = kx + b показує ординату точки перетину графіка лінійної функції з віссю OY.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функція виду у = І

Пряма вигляду у = l паралельна осі х.

Побудувати графік функції

у = -3.

Щоб побудувати графік функції

у = І, достатньо позначити на

осі у точку з координатами (0; І) та провести через неї пряму, паралельну осі X

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Пряма пропорційність

Функцію вигляду у = kx, де х - незалежна змінна, k — відмінне від нуля число, називають прямою пропорційністю

Графіком прямої пропорційності є пряма, що проходить

через початок координат.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дізнайся більше

Нехай задано дві лінійні функції: у = k₁x + b₁, і у = k₂x + b₂.

1. Якщо k₁= k₂ і b₁ = b₂, то графіки даних функцій збігаються.

2. Якщо k₁= k₂ , a b₁ ≠ b₂, то графіки даних функцій паралельні.

Наприклад, паралельними є графіки функцій у = х + 2 і у = х – 2 (мал.1).

3. Якщо k₁ ≠ k₂ , то графіки даних функцій перетинаються.

Наприклад, графіки функцій у = х + 2 і у = 2х + 2 перетинаються

в точці А(0; 2) (мал.2).

4. Особливим є випадок, коли k₁ ∙ k₂ = -1, тоді графіки даних функцій взаємно перпендикулярні.

Наприклад, графіки функцій у = 2х + 1 і у = - 0,5х - 1 є взаємно перпендикулярними (мал. 3). У цих функцій k₁ ∙ k₂ = 2 ∙ (-0,5) = -1.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Мал.1

Мал.2

Мал.3

k₁= k₂ , b₁ ≠ b₂

k₁ ≠ k₂

k₁ ∙ k₂ = -1

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Властивості лінійної функції

Узагальнимо властивості лінійної функції у = kx + І

1. Область визначення функції складається з усіх чисел.

2. Область значень функції для k ≠ 0 складається з усіх чисел; для k = 0 — лише з одного значення — числа І.

3. Графіком функції є пряма.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

10.03.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Поясніть, як побудувати прямокутну систему координат на площині.

2. Яку назву мають осі координат; точка їх перетину?

3. Що називають координатною площиною?

4. Поясніть, як визначити координати точки.

5. Які координати має початок координат?

6. На скільки координатних чвертей розбивають площину координатні осі?

7. Сформулюйте означення функції.

8. Що називають аргументом функції?

Бліц-опитування

10.03.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

9. Що таке область визначення функції?

10. Що таке область значень функції?

11. Назвіть способи задания функцій.

12. Що називають графіком функції?

13. Чи будь-яка лінія на площині може бути графіком функції?

14. Як побудувати графік функції?

15. Як визначити, чи належить точка графіку функції?

16 Поясніть, яку функцію називають зростаючою? Спадною?

10.03.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

17. Яка функція називається лінійною?

18. Що є графіком лінійної функції?

19. Як побудувати графік лінійної функції?

20. За яких значень k лінійна функція у = kx + Ь є зростаючою; спадною; сталою?

21. Як характеризує лінійну функцію число b?

22. Яка функція називається прямою пропорційністю?

23. Яка пряма є графіком прямої пропорційності?

24. У якому випадку графік функції у= kx утворює з додатним променем осі ОХ гострий кут; тупий кут?

25. Яке число називають кутовим коефіцієнтом?

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Математична розминка

Швидкість поширення звуку в повітрі в залежності від температури може бути знайдена за формулою:

v = 331 + 0,6t, де v – швидкість (м/с), t – температура (°С), 331 м/с – швидкість поширення звуку при температурі 0°С. Знайдіть з якою швидкістю поширюється у весняний день з температурою 16°.

Розв’язання: v = 331 + 0,6 ∙ 16 = 340,6 м/ сек

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У якій точці графік функції перетинає вісь Ох: у = -5х + 2

а) (0; 2); б) (0,4; 0); в) (-0,4; 0); г) (0; 0).

​

Систематизація знань та підготовка до тематичного оцінювання.

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №1

1

рівень

Виконай самостійно

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №2

1

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Укажіть значення коефіцієнтів k i l для лінійної функції, заданої формулою:

1) у = -2х + 6; 2) у = 7,4х.

Завдання №3

1

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функцію задано формулою у = -2х + 7. Знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 5;

2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 3.

Завдання №4

2

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функція у = 2х – 5, знайдіть:

1) значення функції для х = 4;

2) значення аргументу, для якого у = -3.

Завдання №5

2

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функцію задано формулою у = 0,8х - 7,2.

Не виконуючи побудови:

1) знайдіть нулі функції;

2) з’ясуйте, чи проходить графік функції через точку (10; 1).

Завдання №6

2

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №7

3

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій

у = -2,5х і у = -5 та знайдіть координати точки їх перетину.

Завдання №8

4

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину з осями координат графіка функції  

Завдання №9

4

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Функцію у = Зх - 7 задано для -2 < х < 5. Знайдіть область значень цієї функції.

Завдання №10

4

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Графік прямої пропорційності проходить через точку Р(-3; 12). Укажіть точку, через яку також проходить цей графік.

А. (0; -4) Б. (1; 4) В. (-2; 8) Г. (2; 8)

Завдання №11

4

рівень

10.03.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудуйте графік функції:

2х + 6, якщо х < 0,

6-х, якщо х ≥ 0.

За графіком знайдіть:

1) нулі функції;

2) значення аргументу, за яких функція набуває додатних значень;

3) значення аргументу, за яких функція набуває від’ємних значень.

Завдання №12

4

рівень

у =

10.03.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Повторити теоретичний матеріал

сторінки підручника 189-245.

Підготуватися до контрольної роботи

10.03.2025

Сьогодні

Формування вмінь

Відповіді (1-5):

1. Функцію задають формули 1) і З).

2. Лінійними є функції 1) і З).

3. 1) y = –2x + 6; k = –2; l = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; l = 0. 

4. 1) у = –2х+ 7; х = 5; у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

2) у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

5. y = 2x – 5.

​

​

​

1) x = 4; y = 3;

2) y = –3; x = 1.

10.03.2025

Сьогодні

Формування вмінь

Відповіді (6-8):

10.03.2025

Сьогодні

Формування вмінь

Відповіді (9-11):

9. 2 – 6х + 11 = x² – 6х + 9 + 2 = (х – З)² + 2; у = (х – З)² + 2;

(х – З)² ≥ 0, тоді (х – 3)² + 2 ≥ 2.

Отже, найменше значення функції дорівнює 2.

10. Якщо –2 ≤ х ≤ 5, то –6 ≤ Зх ≤ 15; –13 ≤ Зх – 7 ≤ 8; –13 ≤ у ≤ 8.

11.

​

​

​

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6;

2) у > 0, якщо –3 < х < 6;

3) у < 0, якщо х < –З або х > 6.

10.03.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

10.03.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Щоб покласти 1 м² плитки, майстер використовує 2 кг будівельного клею. Задайте формулою залежність маси клею від площі стіни, яку треба облицювати плиткою. Скільки кілограмів клею знадобиться для облицювання у ванній кімнаті трьох стін прямокутної форми з розмірами 2,5 м х 3 м кожна?

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

m = 2S, де m — маса клею, S — площа стіни.

Площа стін ванної S = 3 ∙ 2,5 ∙ 3 = 22,5 (м²).

m(22,5) = 2 ∙ 22,5 = 45 (кг). Відповідь: 45 кг.

Розв’язання:

10.03.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Зобразіть на координатній площині всі точки (х; у) такі, що:

1) х = -3, у — довільне число;

2) у = 2, х — довільне число;

3) х = 0, у — довільне число.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

2. Знайдіть значення виразу:

х²-Зу+ 7, якщо х = 6, у =-2

10.03.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Плюс – мінус – цікаво»

Що сподобалось на уроці? Що здалося цікавим та корисним?

Що не сподобалось? Що здалося важким, незрозумілим?

Про які факти дізналися на уроці? Чого б ще хотіли дізнатися?

+

_

?