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第 2章数据的概括性度量

作者：中国人民大学统计学院

贾俊平

统计学

4 - 1

作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

统计学STATISTICS

(第7版)

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第 4 章数据的概括性度量

4.1 集中趋势的度量

4.2 离散程度的度量

4.3 偏态与峰态的度量

4 - 2

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学习目标

1. 集中趋势各测度值的计算方法

2. 集中趋势各测度值的特点及应用场合

3. 离散程度各测度值的计算方法

4. 离散程度各测度值的特点及应用场合

偏态与峰态的测度方法
用Excel计算描述统计量并进行分析

4 - 3

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4.1 集中趋势的度量

4.1.1 分类数据：众数

4.1.2 顺序数据：中位数和分位数

4.1.3 数值型数据：平均数

4.1.4 众数、中位数和平均数的比较

4 - 4

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集中趋势�(central tendency)

一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度
测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值
不同类型的数据用不同的集中趋势测度值
低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据

4 - 5

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分类数据：众数

4 - 6

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众数�(mode)

一组数据中出现次数最多的变量值
适合于数据量较多时使用
不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数
主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据

4 - 7

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众数�(不惟一性)

无众数�原始数据: 10 5 9 12 6 8

一个众数�原始数据: 6 5 9 8 5 5

多于一个众数�原始数据: 25 28 28 36 42 42

4 - 8

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分类数据的众数� (例题分析)

不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌	频数	比例	百分比(%)
果汁矿泉水绿茶其他碳酸饮料	6 10 11 8 15	0.12 0.20 0.22 0.16 0.30	12 20 22 16 30
合计	50	1	100

解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值

所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“碳酸饮料”这一品牌，即

M_o＝碳酸饮料

4 - 9

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顺序数据的众数� (例题分析)

解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”

甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

M_o＝不满意

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别	甲城市
回答类别	户数 (户)	百分比 (%)
非常不满意不满意一般满意非常满意	24 108 93 45 30	8 36 31 15 10
合计	300	100.0

4 - 10

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顺序数据：中位数和分位数

4 - 11

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中位数�(median)

排序后处于中间位置上的值

M_e

50%

不受极端值的影响
主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据
各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即

4 - 12

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中位数�(位置和数值的确定)

位置确定

数值确定

4 - 13

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顺序数据的中位数� (例题分析)

解：中位数的位置为

(300+1)/2＝150.5

从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中

中位数为

M_e=一般

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别	甲城市
回答类别	户数 (户)	累计频数
非常不满意不满意一般满意非常满意	24 108 93 45 30	24 132 225 270 300
合计	300	—

4 - 14

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15 of 62

数值型数据的中位数� (9个数据的算例)

【例】 9个家庭的人均月收入数据

原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630

排序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000

位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

中位数 = 1080

🡱

4 - 15

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数值型数据的中位数� (10个数据的算例)

【例】：10个家庭的人均月收入数据

排序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000

位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

🡱

4 - 16

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四分位数�(quartile)

排序后处于25%和75%位置上的值

不受极端值的影响
计算公式

Q_L

Q_M

Q_U

25%

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顺序数据的四分位数� (例题分析)

解：Q_L位置= (300)/4 =75

Q_U位置 =(3×300)/4

=225

从累计频数看， Q_L在“不

满意”这一组别中； Q_U在

“一般”这一组别中

四分位数为

Q_L = 不满意

Q_U = 一般

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别	甲城市
回答类别	户数 (户)	累计频数
非常不满意不满意一般满意非常满意	24 108 93 45 30	24 132 225 270 300
合计	300	—

4 - 18

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数值型数据的四分位数� (9个数据的算例)

【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)

原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630

排序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000

位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

🡱

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数值型数据：平均数

4 - 20

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平均数�(mean)

也称为均值
集中趋势的最常用测度值
一组数据的均衡点所在
体现了数据的必然性特征
易受极端值的影响
有简单平均数和加权平均数之分
根据总体数据计算的，称为平均数，记为μ；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x

x

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简单平均数�(Simple mean)

设一组数据为：x₁，x₂，… ，x_n(总体数据x_N)

样本平均数

总体平均数

4 - 22

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加权平均数� (Weighted mean)

设各组的组中值为：M₁，M₂，… ，M_k

相应的频数为： f₁， f₂，… ，f_k

样本加权平均

总体加权平均

4 - 23

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24 of 62

加权平均数� (例题分析)

🖳

某电脑公司销售量数据分组表
按销售量分组	组中值(M_i)	频数(f_i)	M_i f_i
140~150 150~160 160~170 170~180 180~190 190~200 200~210 210~220 220~230 230~240	145 155 165 175 185 195 205 215 225 235	4 9 16 27 20 17 10 8 4 5	580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175
合计	—	120	22200

4 - 24

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25 of 62

众数、中位数和平均数的比较

4 - 25

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众数、中位数和平均数的关系

左偏分布

均值

中位数

众数

对称分布

均值

=

中位数

=

众数

右偏分布

众数

中位数

均值

4 - 26

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27 of 62

众数、中位数、平均数的特点和应用

众数

不受极端值影响
具有不惟一性
数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用

中位数

不受极端值影响
数据分布偏斜程度较大时应用

平均数

易受极端值影响
数学性质优良
数据对称分布或接近对称分布时应用

4 - 27

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28 of 62

4.2 离散程度的度量

4.2.1 分类数据：异众比率

4.2.2 顺序数据：四分位差

4.2.3 数值型数据：方差和标准差

4.2.4 相对离散程度：离散系数

4 - 28

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29 of 62

离中趋势

数据分布的另一个重要特征
反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)
从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度
不同类型的数据有不同的离散程度测度值

4 - 29

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30 of 62

分类数据：异众比率

4 - 30

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31 of 62

异众比率�(variation ratio)

1. 对分类数据离散程度的测度

2. 非众数组的频数占总频数的比例

3. 计算公式为

4. 用于衡量众数的代表性

4 - 31

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32 of 62

异众比率� (例题分析)

解：

在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好

不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌	频数	比例	百分比(%)
果汁矿泉水绿茶其他碳酸饮料	6 10 11 8 15	0.12 0.20 0.22 0.16 0.30	12 20 22 16 30
合计	50	1	100

4 - 32

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33 of 62

顺序数据：四分位差

4 - 33

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34 of 62

四分位差�(quartile deviation)

对顺序数据离散程度的测度
也称为内距或四分间距
上四分位数与下四分位数之差

Q_d= Q_U– Q_L

反映了中间50%数据的离散程度
不受极端值的影响
用于衡量中位数的代表性

4 - 34

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四分位差� (例题分析)

解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。已知

Q_L= 不满意 = 2

Q_U= 一般 = 3

四分位差为

Q_d= Q_U- Q_L

= 3 – 2 = 1

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别	甲城市
回答类别	户数 (户)	累计频数
非常不满意不满意一般满意非常满意	24 108 93 45 30	24 132 225 270 300
合计	300	—

4 - 35

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数值型数据：方差和标准差

4 - 36

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极差�(range)

一组数据的最大值与最小值之差
离散程度的最简单测度值
易受极端值影响
未考虑数据的分布

R = max(x_i) - min(x_i)

计算公式为

4 - 37

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平均差�(mean deviation)

各变量值与其平均数离差绝对值的平均数
能全面反映一组数据的离散程度
数学性质较差，实际中应用较少

计算公式为

未分组数据

组距分组数据

4 - 38

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39 of 62

平均差� (例题分析)

某电脑公司销售量数据平均差计算表
按销售量分组	组中值(M_i)	频数(f_i)
140~150 150 ~ 160 160 ~ 170 170 ~ 180 180 ~ 190 190 ~ 200 200 ~ 210 210 ~ 220 220 ~ 230 230 ~ 240	145 155 165 175 185 195 205 215 225 235	4 9 16 27 20 17 10 8 4 5	40 30 20 10 0 10 20 30 40 50	160 270 320 270 0 170 200 240 160 250
合计	—	120	—	2040

4 - 39

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平均差� (例题分析)

含义：每一天的销售量平均数相比，

平均相差17台

🖳

4 - 40

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41 of 62

方差和标准差�(variance and standard deviation)

数据离散程度的最常用测度值
反映了各变量值与均值的平均差异
根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为σ²(σ)；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s²(s)

4 - 41

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样本方差和标准差� (sample variance and standard deviation)

未分组数据

组距分组数据

未分组数据

组距分组数据

方差的计算公式

标准差的计算公式

注意：

样本方差用自由度n-1去除!

4 - 42

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总体方差和标准差� (Population variance and Standard deviation)

未分组数据

组距分组数据

未分组数据

组距分组数据

方差的计算公式

标准差的计算公式

4 - 43

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44 of 62

相对离散程度：离散系数

4 - 44

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45 of 62

离散系数�(coefficient of variation)

1. 标准差与其相应的均值之比

对数据相对离散程度的测度
消除了数据水平高低和计量单位的影响

4. 用于对不同组别数据离散程度的比较

5. 计算公式为

4 - 45

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46 of 62

离散系数� (例题分析)

某管理局所属8家企业的产品销售数据
企业编号	产品销售额（万元） x₁	销售利润（万元） x₂
1 2 3 4 5 6 7 8	170 220 390 430 480 650 950 1000	8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0

【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度

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离散系数� (例题分析)

结论：计算结果表明，v₁<v₂，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度

v₁=

536.25

309.19

=0.577

v₂=

32.5215

23.09

=0.710

4 - 47

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4.3 偏态与峰态的度量

4.3.1 偏态及其测度

4.3.2 峰态及其测度

4 - 48

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偏态

4 - 49

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偏态�(skewness)

统计学家Pearson于1895年首次提出
数据分布偏斜程度的测度

2. 偏态系数=0为对称分布

3. 偏态系数> 0为右偏分布

偏态系数< 0为左偏分布
偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.5～1或-1～-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低

4 - 50

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51 of 62

偏态系数� (coefficient of skewness)

根据原始数据计算

根据分组数据计算

4 - 51

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52 of 62

偏态系数� (例题分析)

某电脑公司销售量偏态及峰度计算表
按销售量份组(台)	组中值(M_i)	频数 f_i
140 ~ 150 150 ~ 160 160 ~ 170 170 ~ 180 180 ~190 190 ~200 200 ~210 210 ~220 220 ~ 230 230 ~ 240	145 155 165 175 185 195 205 215 225 235	4 9 16 27 20 17 10 8 4 5	-256000 -243000 -128000 -27000 0 17000 80000 216000 256000 625000	10240000 7290000 2560000 270000 0 170000 1600000 6480000 10240000 31250000
合计	—	120	540000	70100000

4 - 52

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偏态系数� (例题分析)

结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数

4 - 53

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54 of 62

峰态

4 - 54

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55 of 62

峰态�(kurtosis)

统计学家Pearson于1905年首次提出
数据分布扁平程度的测度
峰态系数=0扁平峰度适中
峰态系数<0为扁平分布
峰态系数>0为尖峰分布

4 - 55

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56 of 62

峰态系数� (coefficient of kurtosis)

根据原始数据计算

根据分组数据计算

4 - 56

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57 of 62

峰态系数� (例题分析)

结论：偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布

4 - 57

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58 of 62

用Excel计算描述统计量

4 - 58

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59 of 62

用Excel计算描述统计量

☞将120的销售量的数据输入到Excel工作表中，然后按下列步骤操作

第1步：选择【工具】下拉菜单

第2步：选择【数据分析】选项

第3步：在分析工具中选择【描述统计】，然后选择【确定】

第4步：当对话框出现时

在【输入区域】方框内键入数据区域

在【输出选项】中选择输出区域

选择【汇总统计】

选择【确定】

4 - 59

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数据分布特征和描述统计量

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本章小节

1. 数据水平的概括性度量

2. 数据离散程度的概括性度量

数据分布形状的度量
用Excel计算描述统计量

4 - 61

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62 of 62

结束

4 - 62

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