Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Γενικά

Ο άνθρωπος από πολύ νωρίς, ασφαλώς από την εποχή που δημιούργησε τα πρώτα ποίμνια από εξημερωμένα ζώα, χρησιμοποίησε σύμβολα για να συμβολίζει αριθμούς: την τελεία ή ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα για το ένα, ένα πρόχειρο σχήμα του χεριού για το πέντε, το σχήμα δύο χεριών για το δέκα (πράγματι το ρωμαϊκό πέντε, V είναι ένα σχηματοποιημένο χέρι, το ρωμαϊκό δέκα, Χ, δύο σχηματοποιημένα χέρια ). Όλα αυτά όμως δεν μπορεί να χαρακτηριστούν ένα κάποιο σύστημα αρίθμησης.

Οι Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 60. Το εξηνταδικό σύστημα τους έχει επιβιώσει σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. Η διαίρεση δηλαδή των 60 δευτερολέπτων του λεπτού , των 60 λεπτών της ώρας. Από το 2000 π.Χ χρησιμοποιούσαν ημερολόγιο 360 ημερών , διαιρεμένο σε 12 μήνες των 30 ημερών.

​

Σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους, τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα αξίας με βάση τη θέση: Η τιμή κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό. Δηλαδή, αν στη παράσταση ενός αριθμού υπάρχουν τα ψηφία ΑΒΓΔ, τότε το Α παριστάνει Α μονάδες, καθεμιά από τις οποίες αξίζει 60 φορές περισσότερο από κάθε μονάδα από αυτές που παριστάνει το ψηφίο Β, διότι το Α είναι γραμμένο μια θέση στα αριστερά του Β. Το ψηφίο Β παριστάνει Β μονάδες, καθεμιά από τις οποίες αξίζει 60 φορές περισσότερο από κάθε μονάδα από αυτές που παριστάνει το ψηφίο Γ, κλπ. Γίνεται δηλαδή κάτι ανάλογο όπως και στο δεκαδικό σύστημα. Δεν είχαν, εντούτοις, ένα ισοδύναμο του δεκαδικού σημείου, που χρησιμοποιούμε σήμερα για να χωρίζουμε τα λεγόμενα δεκαδικά ψηφία, δηλαδή αυτά που παριστάνουν μέρη μιας μονάδας. Έτσι, η αξία θέσης ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα. Από την άλλη πλευρά, αυτό το "ελάττωμα" είναι ισοδύναμο με τη σημερινή χρήση ψηφίων κινητής αριθμητικής υποδιαστολής.

Παραδείγματα αρίθμησης των Βαβυλωνίων

Όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό 75 έγραφαν 1,15 όπως εμείς σήμερα τα 75 λεπτά της ώρας τα εκφράζουμε ως 1 ώρα και 15 λεπτά.

Ας δούμε, σαν παράδειγμα, έναν από τους διαιρέτες του 60, ας πούμε το 15. Πολλαπλάσια του 15 είναι το 15, το 30, το 45 και το 60. Πως θα παραστήσουμε στο εξηκονταδικό σύστημα το ένα τεσσαρακοστό πέμπτο; δηλαδή το 1/45 ; Παρατηρούμε ότι:

4 Χ 45 = 3 Χ 60

Ώστε: 20 Χ (4Χ45) = 20 Χ (3Χ60)

Ώστε: (20Χ4) Χ 45 = (20Χ3) Χ 60

Ώστε: 80 Χ 45 = 60 Χ 60 = 3600

Ώστε: 45 = 3600 / 80

Ώστε 1/45 = 80 / 3600 = 80 Χ ( 1/3600 )

Όμως το 3600, ή το 1/3600, είναι μονάδες του εξηκονταδικού συστήματος.

Στο δεκαδικό σύστημα έχουμε ένα δέκατο, ένα εκατοστό, ένα χιλιοστό, κλπ. Στο εξηκονταδικό σύστημα έχουμε ένα εξηκοστό, δηλ. 1/60, ένα τρισχιλιοστό εξακοσιοστό, δηλ. 1/3600, κλπ.

Το 1/45, λοιπόν, ισούται με 80 τρισχιλιοστά εξακοσιοστά, δηλ. με 80/3600.

Οι Αιγύπτιοι

Το Αιγυπτιακό χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το 10. Το σύστημα τους ήταν δεκαδικό όχι όμως θεσιακό αλλά επαναληπτικό.

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι (3000 π.Χ.), είχαν δεκαδικό σύστημα και χρησιμοποιούσαν διαφορετικά σύμβολα (ιερογλυφικά) για τις δυνάμεις του 10. Έτσι, το 1 παριστάνονταν με κατακόρυφη γραμμή, το 10 με ¨κρύπτη¨, το 100 με ρολό σκοινί, το 1.000 με λωτό, το 10.000 με δάκτυλο, το 100.000 με βάτραχο, ενώ το 1.000.000  με γονατιστό θεό – συχνά το τελευταίο  αυτό σύμβολο σήμαινε ¨πολύ μεγάλος αριθμός¨.

Ένα παράδειγμα

Κάθε αριθμός μπορούσε να γραφτεί ως συνδυασμός αυτών των συμβόλων.  Για παράδειγμα, για το 258 θα χρησιμοποιούσαμε 2 ¨σκοινιά¨, 5 ¨κρύπτες¨ και 8 κατακόρυφες γραμμές. Παρατηρήστε ότι το σύστημα αυτό δεν διαθέτει σύμβολο για το μηδέν και δεν συνδέει τη θέση των συμβόλων με την αξία τους.

Oι Μινωίτες

Στον μινωικό πολιτισμό υπήρχε ένα σύστημα αρίθμησης παρόμοιο με αυτό των Αιγυπτίων απλά χρησιμοποιούσαν διαφορετικά σύμβολα. Τις μονάδες τις παρίσταναν με κατακόρυφες γραμμές ,τις δεκάδες με οριζόντιες , τις εκατοντάδες με κύκλους.

Κινέζοι

Μια ιδιαιτερότητα των Κινεζικών μαθηματικών είναι η χρήση του δεκαδικού συστήματος ταξινόμησης θέσης, οι λεγόμενοι "ράβδοι αριθμών" στους οποίους διαφορετικοί κρυπταλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από το ένα ως το δέκα, και επιπρόσθετα άλλοι κρυπταλγόριθμοι για τις δυνάμεις του δέκα

Παράδειγμα κινέζικης αρίθμησης

Έτσι, ο αριθμός 123 θα γράφονταν με τη χρήση του συμβόλου "1", ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "100", μετά ένα σύμβολο για το "2" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "10", και τέλος ένα σύμβολο για τον αριθμό "3" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για τις μονάδες. Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αρίθμησης-θέσης στον κόσμο μέχρι εκείνη την περίοδο.

Οι Ίνκας

Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού της. Το αριθμητικό τους σύστημα

Βασιζόταν στα κουιπού. Τα κουιπού ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώριση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών

​

Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού , που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους

Οι Μάγια

Το σύστημα αρίθμησης των μάγια είχε βάση το 20, ήταν δηλαδή εικοσαδικό. Οφειλόταν μάλλον στα 20 δάκτυλα χεριών και ποδιών του ανθρώπου.

Οι Ινδοί

Χρησιμοποίησαν πρώτοι θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Το σύστημα ήταν δεκαδικό , το διέδωσαν αργότερα στους Άραβες. Οι Άραβες έμποροι το διέδωσαν στη Δύση και είναι αυτό που χρησιμοποιείται σήμερα παγκοσμίως. Έτσι αυτοί οι αριθμοί ονομάστηκαν «αραβικοί» αν και πρωτοεμφανίστηκαν στην Ινδία. Οι Ινδοί χρησιμοποίησαν και το μηδέν ως ψηφίο.

Η ελληνική αρίθμηση

Η αρίθμηση των Ρωμαίων