Статистические методы исследования зависимостей → Корреляция и регрессия

12. Измерение и описание связи

между величинами

Функциональная зависимость

Статистическая зависимость

КА, РА, ДА

Элементы корреляционного анализа

Изучение связи между 2-мя величинами – типичная задача инженера, менеджера, экономиста-аналитика

Почему типичная?

Зачем решается?

NB!

Что в эконометрике?

∙ Затем, чтобы зная значение одной величины, оценить (предсказать) значение другой

например, теплопроводность по плотности,

прибыль по производительности

или капвложениям

∙ «Обратные» задачи

∙ «Проектирование»

​

Возможны два типа зависимостей между Y и X

Функциональная зависимость Y от X ← если Y полностью определяется неслучайной переменной X

Редко: зависимость давления от объема идеального газа;

расчет стоимости по фиксированной цене

Статистическая зависимость – при которой изменение одной величины ( X ) влечет за собой изменение распределения другой величины ( Y )

В частности

может изменяться только математическое ожидание Y

Условное м.о. M(Y/x)

M_y(x)

Две схемы проявления статистических зависимостей

Схема А

Обе величины, и X, и Y, случайны: характеристики одного происхождения, показатели состояния одного и того же объекта … → На них действуют одни и те же факторы

Зависимость между такими X и Y выявляют, изучая результаты «парных наблюдений»

Может интересовать прибыль в среднем при выручке x

​

Может интересовать

​

Число отказов сервиса в среднем y

при количестве пользователей x

Зависимость между СВ, обнаруживаемая по выборочным (экспериментальным) данным – корреляционная зависимость, корреляция

Корреляцию исследует корреляционный

анализ – КА

К нему вернемся, но сначала →

X – детерминированная, Y – случайная

Схема Б

X – число модулей в программе

Y – количество отказов

Зависимость Y от неслучайной величины Х изучает

регрессионный анализ – РА

Позволяет построить модель зависимости

M(Y/x) = f(x) – подобрать формулу, выполнить ее статистический анализ, использовать для управления Y

​

Дисперсионный анализ – ДА

выясняет причины изменчивости величин по соотношению дисперсий

Основные элементы КА

( 3 этапа )

Этап 1.

Построение диаграмм рассеяния

Диаграмма рассеяния или

корреляционное поле –

отображение пар данных

в двумерном пространстве ( X, Y )

Позволяет качественно оценить («прикинуть»):

есть связь между X и Y, какая это связь,

или связь отсутствует

По корреляционному полю ( Y, X ) можно ориентировочно судить, независимы или взаимосвязаны эти показатели

Варианты корреляционной связи

а) Положительная

линейная зависимость

б) Положительная

корреляция

в) Отрицательная

линейная зависимость

г) Отрицательная

корреляция

д) Отсутствие

корреляции

е) Параболическая

связь

Диаграммы рассеяния позволяют

УВИДЕТЬ связь между величинами

Особенно важно для обнаружения нелинейной связи

Для принятия решений нужна

количественная мера связи

«Измерить»

Этап 2.

Измерение тесноты связи – оценка коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции ρ – величина,

значения которой, между –1 и +1,

измеряют cилу линейной связи

между количественными переменными ( X, Y )

Генеральный коэффициент корреляции ρ –

относится к совокупностям значений 2-х признаков

Оценивается по выборочным значениям

из этих совокупностей

−1 ≤ ρ ≤ +1

−1 ≤ r ≤ +1

«+1» → строгая положительная

линейная зависимость (а)

« 0» → отсутствие линейной связи (д, е)

«–1» → строгая отрицательная

линейная зависимость (в)

Значения 0 < ρ, r < | 1 | указывают на возможную статистическую линейную связь между переменными (б, г)

Корреляционная связь двух случайных величин

Еще примеры

− парный коэффициент корреляции (Пирсона), измеряет степень обусловленности вариации одного признака вариацией другого

после проверки гипотезы «о значимости r »

Этап 3.

Количественное описание статистической линейной связи

Уравнения регрессии «Y по X » и «X по Y»

Линии (прямые) регрессии

The End

The End

The End

The End

См. «Статистика»

стр. 27