1 of 26

2 of 26

План

1. Означення степеневої функції.

2. Властивості та графік функції де

3. Властивості та графік функції

де

4. Властивості та графік функції

де

- ціле від”ємне число.

3 of 26

Як алгебраїсти замість АА, ААА, … пишуть А², А³, …

так я замість пишу а^-1, а^-2, а^-3, …

Ньютон І.

4 of 26

Повторимо все про знайомі нам функції

у = х

х

у

у = х²

х

у

у = х³

х

у

х

у

Пряма

Парабола

Кубічна

парабола

Гіпербола

5 of 26

Всі ці функції є частковими випадками степеневої функції

у = х^р, де р – задане дійсне число

Властивості і графік степеневої функції залежать від властивостей степенів з дійсним показником, а саме від того, при яких значеннях х і р має зміст степінь х^р.

у = х, у = х², у = х³,

6 of 26

Показник р = 2n – парне натуральне число

1

0

х

у

у = х², у = х⁴,у = х⁶, у = х⁸, …

у = х²

Функція у=х²ⁿ парна,

так як (–х)²ⁿ = х²ⁿ

Функція спадає на

проміжку

Область определения функции –

значения, которые может принимать переменная х

Область значений функции –

множество значений,

которые может принимать

переменная у

Графік парної функції симетричний відносно осі Оу.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат – точки О.

Функція зростає

на проміжку

7 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х²

у = х⁶

у = х⁴

8 of 26

Показник р = 2n-1 – непарне натуральне число

1

х

у

у = х³, у = х⁵,у = х⁷, у = х⁹, …

у = х³

Функція у=х^2n-1 непарна,

так як (–х)^2n-1 = – х^2n-1

0

Функція зростає на проміжку

9 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х³

у = х⁷

у = х⁵

10 of 26

Показник р = – 2n, де n – натуральне число

1

0

х

у

у = х^-2, у = х^-4,у = х^-6, у = х^-8, …

Функція у=х²ⁿ парна,

так як (–х)^-2n = х^-2n

Функція зростає на

проміжку

Функція спадає

на проміжку

11 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-4

у = х^-2

у = х^-6

12 of 26

Функція спадає

на проміжку

Показник р = – (2n-1), де n – натуральне число

1

0

х

у

у = х^-3, у = х^-5,у = х^-7, у = х^-9, …

Функція у=х^-(2n-1) непарна, так як

(–х)^–(2n-1) = –х^–(2n-1)

Функція спадає на

проміжку

13 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-1

у = х^-3

у = х^-5

14 of 26

0

Показник р – додатне дійсне неціле число

1

х

у

у = х^1,3,у = х^0,7, у = х^2,12, …

Функція зростає на

проміжку

15 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^0,5

у = х^0,84

у = х^0,7

16 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^1,5

у = х^2,5

у = х^3,1

17 of 26

0

Показник р – від’ємне дійсне неціле число

1

х

у

у = х^-1,3,у = х^-0,7, у = х^-2,12, …

Функція спадає на

проміжку

18 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-1,3

у = х^-0,3

у = х^-2,3

у = х^-3,8

19 of 26

Користуючись рисунком, знайти проміжки, на яких

графік функції

лежить вище (нижче) графіка

функції у = х.

у

0

1

х

у=х

0

1

х

у

у=х

20 of 26

Користуючись рисунком, знайти проміжки, на яких

графік функції лежить вище (нижче) графіка

функції у = х.

у

0

1

х

у=х

0

1

х

у

у=х

21 of 26

Користуючись рисунком, знайти проміжки, на яких

графік функції лежить вище (ничже) графіка

функції у = х.

0

1

х

у

у=х

0

1

х

у

у=х

у

0

1

х

у=х

22 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-4

у = (х – 2)^-4

23 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-4

у = х^{– 4}– 3

24 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-4

у = (х+1)^{– 4}– 3

25 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = х^-3

у = (х-2)^{– 3}– 1

26 of 26

y

x

-1 0 1 2

у = (х+2)^–1,3+1

у = х^-1,3