�� ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ � ବୀଜଗଣିତ� ଦ୍ଵିତୀୟ ଅଧ୍ୟାୟ � ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ� (QUADRATIC EQUATIONS)

BY TARUNA KUMAR PAGAL (TGT PCM)

BASUDEV GOVT HIGH SCHOOL,DUMABAHAL

1.ଉପକ୍ରମ (Introduction) :�� => P (x) = a x² + b x + c (a #0) ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ,ଯେଉଁଠାରେ a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x², xର ସହଗ ଏବଂ c ଏକ ଧ୍ରୁବ ସଂଖ୍ୟା।� => ax² + bx + c = 0, (a#0) କୁ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ (Quadratic Equation) କୁହାଯାଏ ।� � ଉ – 5x² + 7x + 9 = 0

=> ଯଦି x = a ପାଇଁ ଦ୍ଵିଘାତ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ax²+ bx +c ର ମାନ ଶୂନ ହୁଏ, ତେବେ x କୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଶୂନ (zero) ବା ମୂଳ (root) କୁହାଯାଏ । ��ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୂପ, 2, x²– 5x + 6 ପଲିନୋମିଆଲ୍‌ର ଏକ ଶୂନ । P(2) = 0� => 2² - 5×2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

2 କୁ ପଲିନୋମିଆଲ‍‌ର ଏକ ଶୂନ ବା ମୂଳ ଅଟେ ।

2. ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରି ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ (Solution by Completing the squares):

• Example - 2x²– 9x + 4 = 0

2x² – 9x + 4 = 0

⇒ 2x² – 9x= – 4

⇒ x²- 9/2 x = -4/2

⇒ (x)² -2.x. 9/4 = -2

⇒ (x)² -2.x.9/4 +(9/4)² = (9/4)² -2

⇒ (x-9/4)² = 81/16 -2 = 49/16

⇒ (x – 9/4)² = (±7/4)² ⇒ x – 9/4= ± 7/4 ⇒ x= 9/4 ± 7/4

⇒x = 9/4 + 7/4 ବା x= 9/4 – 7/4 => x=16/4=4 &x=2/4=1/2 ସମୀକରଣର ବୀଜଦ୍ଵୟ 4 ବା ½ ।

ଦ୍ଵିଘାତ ସୂତ୍ର (Quadratic Formula)

⇒ ^{x = -b ± √(b² - 4ac)}

^2a Ex- 2x² - 9x + 4 = 0

3. ପ୍ରଭେଦକ (Discriminant) :��b² – 4ac କୁ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ax² + bx + c = 0 ର ପ୍ରଭେଦକ କୁହାଯାଏ ଓ ଏହାକୁ ‘D’ ଦ୍ଵାରା ସୂଚିତକରାଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ D = b² – 4ac

• ମୂଳ ଦ୍ଵୟକୁ D ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କଲେ,
• α = -b+√(b²-4ac)/2a= (-b+√D)/2a
• B = -b-√(b²-4ac)/2a = (-b-√D)/2a

4. ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ବରୂପ (Nature of roots) :��ଦ୍ବିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରଭେଦକ (D) କୁ ବିଚାରକୁ ନେଇ ସମୀକରଣଟିର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।�(i) D > 0 ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପରଠାରୁ ପୃଥକ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍ A # B ।�(ii) D = 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ହେବେ । ଅର୍ଥାତ୍‌ A = B ।�(iii) D < 0 ହେଲେ ମୂଳଦ୍ଵୟ ବାସ୍ତବ ହେବେ ନାହିଁ ।

ବି.ଦ୍ର. : (i) D > 0 ଏବଂ ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।�(ii) D > 0 ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ନ ହେଲେ, ମୂଳଦ୍ଵୟ ଅପରିମେୟ ଏବଂ ପୃଥକ୍ ହେବେ ।

• ଉଦାହରଣ : x ² – 2x – 8 = 0 ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସ୍ୱରୂପ ସ୍ଥିର କର ।
• ସମାଧାନ : ଏଠାରେ a = 1, b =–2 ଓ c= –8-.

ପ୍ରଭେଦକ D = b² – 4ac = (–2)² – 4 x 1x (–8) = 4 + 32 = 36ଯେହେତୁ D > 0, ମୂଳଦ୍ଵୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ ପରସ୍ପର ପୃଥକ ଅଟନ୍ତି ।

5. ମୂଳଦ୍ଵୟ ଓ ସହଗ ମଧ୍ୟରେ ସଂପର୍କ (Relation between roots and coefficients) :�ମନେକର ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣଟି ax² + bx + c = 0, (a # 0) ଓ ଏହାର ମୂଳଦ୍ଵୟ a ଓ B । �(a ଓ b ଯଥାକ୍ରମେ x² ଓ x ର ସହଗ ଏବଂ c ଏକ ଧ୍ରୁବକ)�(i) ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି :���(ii) ମୂଳଦ୍ଵୟର ଗୁଣଫଳ : �

6. କେତେଗୁଡ଼ିଏ ଜ୍ଞାତବ୍ୟ ଫଳାଫଳ (Some known results) :

7. ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ଗଠନ (Formation of a quadratic equation) :

ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ :x²–(ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି)x+ମୂଳଦ୍ବୟର ଗୁଣଫଳ = 0

Q: ଗୋଟିଏ ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ମୂଳଦ୍ଵୟର ସମଷ୍ଟି – 5 ଓ ଗୁଣଫଳ 3 ହେଲେ, ସମୀକରଣଟିଗଠନ କର ।

8. ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣ ରୂପରେ ରୂପାନ୍ତରଣ :

• Q: 4x⁴ – 21x² + 20 = 0 ସମୀକରଣଟିର ମୂଳ ନିରୂପଣ କର ।
• ଦତ୍ତ ସମୀକରଣଟିର ଘାତ 4 ଓ ଏହା ଦ୍ଵିଘାତ ନୁହେଁ । ମାତ୍ର x²= y ଲେଖିଲେ 4y² – 21y + 20 = 0 ......... (i)

a = 4, b = –21 ଓ c = 20 |ପ୍ରଭେଦକ (D) = b² – 4ac = (–21)² – 4 x 4 x 20 = 441 – 320 = 121

• y = -b ± √D/2a = -(-21) ± √121/8 = 21 ± 11/8 = 21+11/8 କିମ୍ବା 21-11/8= 4 କିମ୍ବା 5/4.
• y = 4 => x²= 4 => x = ± 2 ପୁନଶ୍ଚ y = 5/4 => x² = 5/4 => ± √5/2 ଆବଶ୍ୟକୀୟ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲା (± 2, ±√5/2) । (ଉତ୍ତର)

9. ଦ୍ଵିଘାତ ସମୀକରଣର ପ୍ରୟୋଗ

Ex -ଗୋଟିଏ ପରିବାରରେ ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ, ବିଟା ଓ ଗାମାର ବୟସ୍‌ର ଗୁଣଫଳ ସହ ସମାନ । ଯଦି ବିଟା,ଗାମାଠାରୁ 1 ବର୍ଷ ବଡ଼ ହୁଏ ଏବଂ ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ 42 ହୁଏ, ତେବେ 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ କେତେ ହେବ ?

A- ମନେକର ପରିବାରରେ ଗାମାର ବୟସ = x ବର୍ଷ.. ବିଟାର ବୟସ = (x + 1) ବର୍ଷ ।

ଆଲ୍‌ଫାର ବୟସ = 42 ବର୍ଷ ।

ପ୍ରଶ୍ନନୁସାରେ x(x + 1 ) = 42 = > x² + x = 42. => x² + x – 42 = 0

=>x + 7x – 6x – 42 = 0

=>x(x + 7) – 6 (x +7) =0 = (x +7) (x – 6) = 0

=> x + 7 = 0 ବା x – 6=0 => x=-7 ବା x=6

x = – 7 ବୟସ ରଣାତ୍ମକ ହେବନାହିଁ ତେଣୁ ଏହା ଅସମ୍ଭବ । ତେବେ x = 6 ଗ୍ରହଣୀୟ ।

ଗାମାର ବୟସ = x ବର୍ଷ = 6 ବର୍ଷ ଏବଂ ବିଟାର ବୟସ = 6 + 1 = 7 ବର୍ଷ ।

5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ ହେବ = 7 +5 = 12 ବର୍ଷ ।

� THANK YOU….�� THE END….