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FÍSICA I

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

(parte 2)

FIS01066

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Aula 003

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

2.6 – Velocidade instantânea e velocidade escalar:

Muitas vezes não estamos interessado na média durante um intervalo, mas sim no valor em um determinado instante dentro do intervalo

Reduzir Δt ao redor de t_x

Δt → 0

Δt_tot

t_x

A velocidade instantânea no instante t_x é definida como o valor limite da velocidade média quando Δt → 0 ao redor de t_x

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Definição de derivada de x em relação à t

A velocidade instantânea no instante t_x nos dá a taxa de variação da posição em função do tempo naquele instante t_x

A velocidade escalar é definida como o módulo da velocidade instantânea

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A velocidade instantânea no ponto P é a tangente da curva x(t) naquele ponto

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Exemplo: vamos calcular a derivada da função:

Mas sabemos

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Exemplo: vamos calcular a derivada da função:

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Assim

Regra para derivada de termos de polinômios:

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Exemplo 2.2

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

A posição de uma partícula é dada por:

onde x é dado em metros e t em segundos.

a) Qual a velocidade instantânea em t = 2,00 s? Ela é constante ou varia para outros instantes?

A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas dos termos individuais

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Rta: Se t = 2,00 s, então

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

b) Compare as velocidades médias nos intervalos listados abaixo com a velocidade instantânea em t = 2 s (ponto médio dos intervalos). Esboce o gráfico x vs t para o movimento.

I. Δt₁ de 0 a 4 s

II. Δt₂ de 0,5 a 3,5 s

III. Δt₃ de 1,5 a 2,5 s

t (s)	x (m)
0,000	2,00
0,500	2,00
1,00	2,06
1,50	2,46
2,00	3,24
2,50	4,51
3,00	6,38
3,50	9,00
4,00	12,32

Δt → 0

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

x (m)

t (s)

1

2

3

4

0,5

1,5

2,5

3,5

8

10

12

4

6

2

0

Δt₁

Δt₂

Δt₃

A velocidade instantânea é igual à declividade da reta tangente à curva x vs. t no ponto correspondente àquele instante

t = 2,00 s

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

A velocidade instantânea pode ser positiva ou negativa grandeza Vetorial

x

t

x

t

v é positiva

v é negativa

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Exemplo: variação da derivada de uma função matemática

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Unidade:

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

2.7 – Aceleração média e aceleração instantânea:

Aceleração é a medida da rapidez com a qual a velocidade de uma partícula é alterada.

A aceleração média é dada pela razão entre a variação da velocidade de uma partícula e o tempo gasto durante tal variação, desde um instante inicial t_i até um instante final t_f

Unidade: m/s²

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

A aceleração instantânea no instante t_x é definida como o valor limite da aceleração média quando Δt → 0 ao redor de t_x

A aceleração instantânea no instante t_x nos dá a taxa de variação da velocidade em função do tempo naquele instante t_x

A aceleração instantânea pode ser positiva ou negativa grandeza Vetorial

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Aula 003

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Exemplo 2.3 (H.R., 8ª ed, ex. 2.2)

Um elevador, inicialmente em repouso, desloca-se para cima e depois pára. O gráfico x vs. t correspondente ao seu movimento é apresentado abaixo.

5

10

15

20

25

0

x (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

A

B

C

D

(3;4)

(8;24)

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a) Construa o gráfico v vs. t a partir do gráfico x vs. t

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

5

10

15

20

25

0

x (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

1

2

3

4

0

v (m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

A velocidade instantânea é igual à declividade da reta tangente à curva x vs. t no ponto correspondente àquele instante

A

B

C

Δx_B-C

Δt_B-C

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

b) Que informação relativa à posição é possível se extrair do gráfico v vs. t ?

1

2

3

4

0

v (m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

Área

A1

A2

A3

Área_total = 26 m = Δx_total

É possível calcular a variação da posição (deslocamento)

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

Aula 003

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c) Construa o gráfico a vs. t a partir do gráfico v vs. t

1

2

3

4

0

v (m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

- 4

- 2

2

4

0

a (m/s²)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

A aceleração instantânea é igual à declividade da reta tangente à curva v vs. t no ponto correspondente àquele instante

Δv

Δt

Δv

Δt

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d) Esboce como um passageiro se sentiria dentro do elevador, para cada trecho do percurso.

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

- 4

- 2

2

4

0

a (m/s²)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s)

O corpo humano é muito sensível à aceleração, mas não à velocidade

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Cel. J. P. Stapp é acelerado a uma velocidade alta e depois freado

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Aula 004

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Exemplo 2.4

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

A equação do movimento de uma partícula é dada por

, onde x é dado em m e t em s.

a) Determine v e a para essa partícula

b) A v será nula em algum instante durante o movimento?

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-50

x

(m)

0

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c) Descreva em detalhe o movimento da partícula

CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

- Inicialmente (t = 0 s) a partícula se encontra na posição x₀ = 4 m, de onde parte com velocidade inicial v₀ = - 27 m/s e aceleração nula. Portanto, a partícula inicia seu movimento movendo-se na direção negativa do referencial

4

v₀

- Entre t = 0 e t = 3 s a partícula se move com velocidade negativa variável, se deslocando portanto para a esquerda. Mas nesse intervalo a aceleração cresce positivamente, fazendo com que a velocidade diminua em módulo. Em t = 3 s a velocidade atinge módulo zero (é nula) e a aceleração é positiva, o que indica que a partícula passará a se mover para a direita. A posição onde a inversão do movimento ocorre é x = -50 m.

x

(m)

0

4

v

a

v

a

V = 0 m/s

a

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CAPÍTULO 2 – CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RETILÍNEO

- A partir de t = 3 s a partícula passa a se mover para a direita, indefinitivamente, com velocidade e aceleração positivas, continuamente aumentando em módulo. Por exemplo, em t = 5 s a partícula estará em x = -6 m, com v = 48 m/s e a = 30 m/s².

x

(m)

0

-6

v

a

Lembrete:

Se uma partícula está “freando”, isso NÃO quer dizer que sua aceleração tem que ser negativa. Da mesma forma, se a partícula está “acelerando” isso NÃO implica que o sinal da aceleração tem que ser positivo.

Quando a e v têm sinais opostos, |v| diminui 🡪 partícula “freando”

Quando a e v têm o mesmo sinal, |v| aumenta 🡪 partícula “acelerando”

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Até a próxima aula ...