10.02.2025
Сьогодні
Урок
№40
Розв’язування
вправ і задач
Геометрія
Розділ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника
10.02.2025
Сьогодні
Організація класу
10.02.2025
Сьогодні
Перевірка домашнього завдання
Перевіряємо
домашнє
завдання
10.02.2025
Сьогодні
Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної
діяльності учнів
Мета уроку:�формувати поняття суми кутів трикутника, вміння знайти невідомий кут; розвивати вміння застосовувати набуті знання на практиці
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Цікаві факти
Властивість про суму кутів трикутника експериментальним шляхом було встановлено в Давньому Єгипті, проте відомості про різні способи доведення цієї теореми належать до більш пізніх часів.
Доведення, яке ми розглянули на уроці, є в коментарях Прокла до «Начал» Евкліда. Він же стверджував, що це доведення було відоме ще учням школи Піфагора (піфагорійцям) у V ст. до н. е.
А сам Евклід у першій книжці «Начал» запропонував доведення теореми про суму кутів трикутника у спосіб, який можна побачити на малюнку (виконайте це доведення самостійно).
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Повторимо…
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Доведення. Проведемо через вершину В трикутника пряму MN, паралельну АС (мал. ). Утворені кути позначимо цифрами: ∠1 і ∠ 2.
∠1 = ∠C, ∠2 = ∠A як внутрішні різносторонні при паралельних прямих MNіАС та січних ВС і АВ відповідно. Кути 1, 2 і В утворюють розгорнутий кут, тому ∠1 + ∠B + ∠2 = 180°. Замінивши в цій рівності кути 1 і 2 рівними їм кутами С і А, отримаємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Дано: АВС.
Довести:
∠A + ∠B + ∠C = 180°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Математична розминка
1. Чи існує трикутник з кутами:
1) 50°, 70° і 80°; 2) 30°, 60° і 90°?
Відповідь:
2) так.
2. 1) 127;
2) 47;
3) 82.
2. Знайдіть третій кут трикутника, якщо перший і другий кути дорівнюють:
1) 15° і 38°; 2) 28° і 105°; 3) 7° і 91°
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
(Усно.) Закінчіть речення:
1) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші... ;
2) якщо один з кутів трикутника прямий, то інші... .
Розв’язування вправ і задач
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 154°. Знайдіть кути трикутника, не суміжні з ним, якщо один із цих кутів на 28° більший за другий.
Завдання №426
Підручник.
Сторінка
154
1
рівень
А
В
С
D
154°
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Нехай дано ∆ABC. ∠BCD = 154° — зовнішній кут.
∠B більший за ∠A на 28°.
Нехай ∠A = ху тоді ∠B = х + 28.
Оскільки ∠BCD = ∠A + ∠B, то
154° = х + x + 28;
2x = 154 – 28;
2х = 126;
x = 63.
∠A = 63°. ∠B = 63° + 28° = 91°.
Відповідь: ∠A = 63°; ∠B = 91°.
Завдання №426
Розв’язання:
Підручник.
Сторінка
154
1
рівень
А
В
С
D
154°
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо зовнішній кут при його вершині дорівнює 38°.
Завдання №428
Підручник.
Сторінка
154
1
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (АВ = BC), ∠CBD = 38° — зовнішній.
Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C.
Даний кут не може бути зовнішнім кута при основі, так як якщо зовнішній кут гострий, то внутрішній кут — тупий, а при основі два тупих кута не може бути.
За властивістю зовнішнього кута:
∠CBD = ∠A + ∠C. ∠A + ∠C = 38°. ∠A = ∠C = 38° : 2 = 19°.
Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то 38° + ∠B = 180°.
∠B = 180° – 38° = 142°.
Відповідь: ∠A = 19°, ∠C = 19°, ∠B = 142°.
Завдання №428
Розв’язання:
1
рівень
D
B
A
C
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
На сторонах трикутника ABC (рис. 276) позначено точки E та F так, що ∠1 = ∠ 2 Доведіть, що ∠3 = ∠ 4.
Завдання №431
Підручник.
Сторінка
154
1
рівень
Розв’язання:
Сума кутів будь–якого трикутника 180°.
У трикутнику ВЕF ∠2 + ∠4 + ∠B = 180° ⇒ ∠4 = 180° – ∠2 – ∠В.
У трикутнику АВС ∠1 + ∠3 + ∠В = 180° ⇒ ∠3 = 180° – ∠1 – ∠В.
Праві частини рівні, отже рівні і ліві. Тоді ∠3 = ∠4.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
На рисунку 278 BC ∥ AD , ∠A = 25°, ∠В = 55°.
Знайдіть кут CMD.
Завдання №436
Підручник.
Сторінка
155
2
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Оскільки BC ∥ AD, BD — січна, то ∠CBD = ∠BDA = 55° (як різносторонні кути).
∠CMD є зовнішнім для ∆AMD при вершині M.
∠CMD = ∠A + ∠MDA (властивість зовнішнього кута трикутника).
∠CMD = 25° + 55° = 80°.
Відповідь: ∠CMD = 80°.
Завдання №436
Розв’язання:
2
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Відрізок BK — бісектриса рівнобедреного трикутника ABC з основою BC, ∠AKB = 105°.
Знайдіть кути трикутника ABC.
Завдання №437
Підручник.
Сторінка
155
2
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (BC — основа), BK — бісектриса, ∠AKB = 105°.
Розглянемо ∆ABC — рівнобедрений, тоді ∠B = ∠C.
Так як BK — бісектриса, то ∠ABK = ∠KBC.
Нехай ∠ABK = ∠KBC = x, тоді ∠B = ∠C = 2x. ∠AKB — суміжний з ∠BKC і зовнішній кут ∆BKC при вершині K.
∠AKB = ∠KBC + ∠C.
105° = x + 2x;
3x = 105;
x = 35.
∠B = ∠C = 2 ∙ 35° = 70°.
В ∆ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠A + 70° + 70° = 180°;
Завдання №437|Розв’язання:
2
рівень
В
С
А
К
105°
∠A = 180° – 140°; ∠A = 40°.
Відповідь: ∠B = ∠C = 70°; ∠A = 40°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
У трикутнику ABC бісектриси кутів A і C перетинаються в точці O.
Знайдіть кут AOC, якщо ∠В =100 °
Завдання №441
Підручник.
Сторінка
156
2
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Нехай даний ∆ABC, AO — бісектриса, CO — бісектриса, ∠B = 100°.
Знайдемо ∠AOC.
Нехай ∠BAO = ∠OAC = x (AO — бісектриса).
∠BCO = ∠OCA = у (CO — бісектриса), тоді
∠A = 2х, ∠C = 2у.
Розглянемо ∆ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
2х + 100 + 2у = 180;
2х + 2y = 180 – 100;
2х + 2у = 80;
х + у = 40.
Розглянемо ∆AOC: ∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°.
х + у + ∠AOC = 180°; 40 + ∠AOC = 180; ∠AOC =180° – 40° = 140°.
Завдання №441|Розв’язання:
2
рівень
В
А
С
О
Відповідь: ∠AOC = 140°.
10.02.2025
Сьогодні
Завдання для домашньої роботи
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
У трикутнику ABC ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5.
Знайдіть ці кути.
Завдання
3
рівень
Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 5x.
∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).
Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°.
Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°.
Відповідь:
45°, 60°, 75°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника,
якщо кут при основі на 15°
більший за кут при вершині.
Завдання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’язання
3
рівень
Нехай ΔKLM — рівнобедрений, ∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°.
Складемо рівняння:
x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180°
(за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°;
3x = 150°;
x = 50°.
Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.
Відповідь:
50°, 65°, 65°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Доведіть, що кути при основі рівнобедреного трикутника гострі.
Завдання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Припустимо, що кути в основі рівнобедреного трикутника не гострі, тобто прямі або тупі.
Тоді сума цих двох кутів дорівнює 180° або більша за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
Отже, припущення є невірним.
Кути в основі рівнобедреного трикутника гострі.
Доведення
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Якщо один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то трикутник — рівносторонній.
Доведіть твердження. (Розгляньте два випадки.)
Завдання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
I випадок. Припустимо, що кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді сума кутів в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 180° – 60° = 120°. Оскільки кути в основі рівні, кожен з них дорівнює 60°. Отже, всі кути трикутника по 60°, тобто трикутник — рівносторонній.
II випадок. Нехай кут в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді і другий кут в основі дорівнює 60°. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника кут у вершині дорівнює 180° – (60° + 60) = 60°. Таким чином, всі кути трикутника по 60°, отже, трикутник — рівносторонній.
Розв’язання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’яжіть задачі, умови яких подано в таблиці, та прочитайте прізвище видатного українського вченого в галузі ракетобудування та космонавтики.
Завдання
3
рівень
У Δ АВС: ∠А = 80°. Визначте градусні міри кутів В і С, якщо | ∠В | ∠С |
кут В на 14° більший за кут С | О | Ь |
кут В у 3 рази менший від кута С | Л | К |
∠В:∠С= 2:3 | В | Р |
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’язання
3
рівень
Маємо рівняння:
80° + х + х + 14° = 180°;
2х = 180° – 94°;
2х = 86°;
х = 86° : 2;
х = 43°.
Отже, ∠С = 43°;
∠В = 43° + 14° = 57°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’язання
3
рівень
2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х.
Маємо рівняння:
80° + х + 3х = 180°;
х + 3х = 180° – 80°;
4х = 100°;
х = 25°;
∠C = 3 × 25° = 75°.
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’язання
3
рівень
3)
75° | 57° | 60° | 57° | 25° | 43° | 57° | 40° |
К | О | Р | О | Л | Ь | О | В |
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
У трикутнику два кути дорівнюють 46° і 64°. Знайдіть кут між прямими, на яких лежать бісектриси цих кутів.
Завдання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Розв’язання
3
рівень
Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.
Звідси ∠AOC = 180° – (∠OAC + ∠OCA) = 180° – (23° + 32°) = 180° – 55° = 125°.
Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC.
Отже, цей кут дорівнює 180° – 125° = 55°.
Відповідь: 55°
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них дорівнює:
1) 12°;
2) 92°.
Завдання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
1) I випадок. Нехай кут 12° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі трикутника дорівнює 180° – 12° = 168°. Отже, кожен із кутів в основі дорівнює 168° : 2 = 84°.
II випадок. Нехай кут 12° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 12°. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° – (12° + 12°) = 180° – 24° = 156°.
2) Один з кутів дорівнює 92°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° – 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).
Розв’язання
3
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них удвічі більший за інший. Скільки випадків слід розглянути?
Завдання
4
рівень
10.02.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
I випадок. Кут у вершині удвічі більший за кут в основі.
Нехай кут в основі дорівнює x, тоді кут при вершині дорівнює 2x.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + 2x = 180°; 4x = 180°; x = 45°. Отже, кути в основі дорівнюють 45° кожен, кут у вершині –
2 × 45° = 90°.
II випадок. Кут в основі рівнобедреного трикутника удвічі більший за кут у вершині. Нехай кут у вершині дорівнює x, тоді кожен з кутів в основі дорівнює 2x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.
Отже, кут у вершині дорівнює 36°, а кожен з кутів в основі дорівнює
36° × 2 = 72°.
Розв’язання
4
рівень
Відповідь: І випадок: 45°, 45°, 90°. ІІ випадок: 72°, 72°, 36°.
10.02.2025
Сьогодні
Гімнастика для очей
10.02.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 72°, а бісектриса кута при основі цього трикутника - 5 см.
Знайдіть основу трикутника.
ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ
СКЛАДНОСТІ
10.02.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Нехай ΔKLM — рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°,
KP — бісектриса ∠K, KP = 5 см.
Оскільки KP — бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM.
∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).
Звідси ∠KPM = 180° – (∠PKM + ∠LMK) =
=180° – (36° + 72°) = 180° – 108° = 72°.
Отже, ∠KPM = ∠LMK.
За ознакою рівнобедреного трикутника ΔKPM — рівнобедрений.
KM = KP = 5 см.
Розв’язання:
Відповідь:
KM = KP = 5 см.
10.02.2025
Сьогодні
Закріплення матеріалу
Чи можна двома ударами сокири розрубати підкову (див. мал.) на 6 частин, не переміщуючи частин після першого удару? Якщо відповідь ствердна, укажіть, як це зробити.
ЖИТТЄВА
МАТЕМАТИКА
10.02.2025
Сьогодні
Підсумок уроку. Усне опитування
1. Сформулюйте та доведіть теорему про суму кутів трикутника.
2. Поясніть, чому трикутник може мати лише один прямий або тупий кут?
10.02.2025
Сьогодні
Вправа «5 сходинок успіху»
Яку тему вивчали на уроці?
Чи хочеш ти дізнатися більше з цієї теми?
Яка інформація тебе вразила?
Що ти для себе взяв / взяла?