Hitung �Diferensial

Widita Kurniasari, SE, ME

Sumber: Husain Bumulo & Djoko Mursinto, Matematika Ekonomi

• Jika diketahui fungsi y = f (x) maka : y ’ = f ’ (x)

​

Contoh :

1. y = x³ + 7x maka dy = (3x² + 7). dx

​

2. y = ln (5x + 10) maka 5 . dx

5x + 10

3. 3x + 4y = 5 maka y’ = …….

dy =

dy = f’ (x). dx

Konsep pengertian diferensial ini dapat diterapkan untuk menentukan turunan pertama dari

fungsi implisit f (x,y) = c

Misalnya: 3x + 4y = 5 maka

3.dx + 4.dy = 0

4.dy = -3. dx atau dy - 3

Fungsi diatas bisa diubah bentuk menjadi

fungsi eksplisit : 4y = -3x + 5

y = -3/4x + 5/4 maka

y’ = -3/4

=

dx

4

Turunan Parsial / Diferensial Parsial

• Jika fungsi implisit terdiri 2 variabel atau lebih, misalnya f (x,y) = c atau f (x,y,z,…) = 0 maka turunan fungsi ini dapat ditentukan melalui turunan parsial atau diferensial parsial
• Kalau f (x,y) = c, maka turunan parsialnya :

δf : turunan parsial ke x, dimana variabel y

δx dianggap tetap fx

​

δf : turunan parsial ke y, dimana variabel x

δy dianggap tetap fy

Contoh :

1. x³ - 2x²y + xy² + 6x – 3y = 7

maka δf

δx

δf

δy

Berdasarkan perhitungan diferensial parsial maka dy/dx dari fungsi implisit f (x,y) = c dapat dihitung sbb: fx.dx + fy.dy = 0

sehingga

= 3x² - 4xy + y² + 6 – 0 = 0

= 0 -2x² + 2xy + 0 – 3 = 0

dy

dx

= -

fx

fy

• Dari contoh (1) diatas hasilnya adalah sbb:

3x² - 4xy + y² + 6

-2x² + 2xy - 3

​

2. x²y - y²lnx = 8

fx = 2xy - y² / x ; fy = x² - 2y lnx

sehingga 2xy - y² / x

x² - 2y lnx

3. 5x³ - 7x²y + 3xy² + 8x – 3y = 9

Hitung y’

= -

y’ = -

dy

dx

Turunan Kedua dan Turunan Yang Lebih Tinggi Dari Fungsi Y = F (X)

dy

dx

dy’

dx dx dx²

y’ = f ’ (x) =

y’’= f ’’ (x) =

=

d

dy

dx

=

d²y

y’’’= f⁽³⁾ (x) =

d³y

dx³

Y⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾ (dx) =

dⁿy

dxⁿ

Contoh :

1. y = f (x) = (3x+2)⁴

y’= 4.(3x+2)³.3 = 12 (3x+2)³

y”= 12.3.(3x+2)².3 = 108 (3x+2)²

y”’= 108.2.(3x+2).3 = 648 (3x+2)

Jadi turunan keempat y :

y⁽⁴⁾= 648.3 = 1944

​

2. y = (5x + 10)⁴

Hitung y’ , y”, y”’ , y⁽⁴⁾

2. Jika y = f(x) = ln (x²+4x) maka tentukan

y’ dan y”

Jawab :

y’ = (bentuk pecahan)

​

jadi y” = U’=2 ; V’= 2x+4

​

y” =

2x + 4

x² + 4x

U’V – V’U

V²

2(x²+4x) - (2x+4).(2x+4)

(x² + 4x)²

Turunan Kedua Fungsi Dalam Bentuk Parameter

x = f(t)

y = g(t)

​

​

Contoh :

x = t² + 3t

y = ln (4t + 6) maka hitunglah y’ dan y”

dy

dx

dy/dt

=

dx/dt

g’(t)

f’(t)

=

g’’(t).f’(t) – f”(t).g’(t) .

(f’(t)²)

dt

dx

d²y

dx²

=

Tugas

• Dapatkan y’ dan y” dari:

x = e^2t

y = t. e^3t

Terima Kasih