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SESIΓ“N S10.s2

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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  • Actividad: Los estudiantes comparten con el docente las dudas que hubieran existido en la quinta sesiΓ³n.
  • El estudiante responde con atenciΓ³n sobre los conocimientos que tiene sobre Intervalos de Confianza para la diferencia de medias, proporciΓ³n, diferencia de proporciones y varianza y para que servirΓ‘n en su profesiΓ³n?

Inicio

Inicio (10min)

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SABERES PREVIOS

LA ESTADISTICA INFERENCIAL

Conoces en que se utiliza los cΓ‘lculos de Intervalo de Confianza de la diferencia de medias, proporcion, diferencia de proporciones y varianza?

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​

  • Actividad: El estudiante escucha el logro de la sesiΓ³n.

​

Utilidad

Utilidad (5min)

Principio pedagΓ³gico: Aprendizaje AutΓ³nomo

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LOGRO DE LA SESION

Al finalizar la sesiΓ³n el estudiante conoce los principales conceptos del intervalo de confianza para la diferencia de medias, la proporcion, diferencia de proporciones y varianza para poder aplicarlos en el campo de la ciencia y la investigaciΓ³n.

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  • Actividad: A continuaciΓ³n el estudiante va revisar los conceptos bΓ‘sicos correspondientes a intervalos de confianza para la diferencia de medias, proporciΓ³n, diferencia de proporciones y varianza, y se van a resolver ejercicios para poder desarrollar los conceptos revisados en clase.

TransformaciΓ³n

TRANSFORMACIΓ“N (60 min)

Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo.

​

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Β 

Β 

Β 

Β 

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

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Usamos Z:

    • MUESTRAS GRANDES (n1 β‰₯ 30, n2 β‰₯ 30).

​

VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: Οƒ21, Οƒ22

POBLACIONES NORMALES O NO.

​

2. MUESTRAS PEQUEΓ‘AS (n1 < 30, n2 < 30)

​

VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: Οƒ21, Οƒ22

POBLACIONES NORMALES

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

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Interpretaciones adicionales segΓΊn los intervalos obtenidos:

Si IC=(+,+), P(+ <ΞΌ1 - ΞΌ2 < +) = 1-Ξ±

Si IC=(-,-), P(- < ΞΌ1 - ΞΌ2 < - ) = 1-Ξ±

Si IC=(-,+), P(- < ΞΌ1 - ΞΌ2 < +) = 1-Ξ±

ΞΌA > ΞΌB

ΞΌA < ΞΌB

ΞΌA = ΞΌB (Las medias de ΞΌ1 - ΞΌ2 son iguales)

​

1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

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1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

En un estudio para determinar el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B con desviaciones estΓ‘ndar de 15 y 10 soles respectivamente. Se toma una muestra al azar de 200 hogares de A arrojando un gasto medio de S/250. Una muestra al azar de 180 hogares de la ciudad B da una gasto medio de 235.

​

  1. Determine un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia del gasto medio en las ciudades A y B.

​

b) ΒΏEs diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B?

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1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

SoluciΓ³n a:

Β 

Β 

Β 

Β 

Con el 99% de confianza, la diferencia del gasto medio mensual

en arbitrios en las ciudades A y B se encuentra entre S/. 11.66 y 18.34.

Β 

Β 

Β 

Datos poblaciΓ³n

Β 

Β 

Β 

Β 

Datos Muestra

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1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

Responder a la pregunta ΒΏEs diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? implica responder si ΒΏ A β‰  B? o tambiΓ©n ΒΏA - B β‰  0? Si apreciamos el intervalo de confianza construido no puede ser cero.

Β 

Si IC=(+,+), P(+ <ΞΌ1 - ΞΌ1 < +)=1-Ξ±

ΞΌA > ΞΌB

Β 

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1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensiΓ³n sobre diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricaciΓ³n de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricaciΓ³n de largueros y del procedimiento de prueba los datos obtenidos aparecen en la tabla siguiente. Si Β΅1 y Β΅2 denotan los promedios verdaderos de las resistencias a la tensiΓ³n para las clases de largueros, entonces se pide encontrarse un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias Β΅1 βˆ’ Β΅2 .

​

​

​

​

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1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA

SoluciΓ³n a:

Β 

Β 

Β 

Β 

Con el 95% de confianza, la diferencia entre la resistencia a la tenciΓ³n en largueros de aluminio clase 1 y 2 se encuentra entre 12.05 y 14.15.

Datos poblaciΓ³n

Datos Muestra

Β 

Β 

Β 

Β 

Β 

Β 

Β 

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

VARIANZA DESCONOCIDA

    • Muestras pequeΓ±as (n1 < 30, n2 < 30)
    • Varianzas poblacionales desconocidas e iguales. (Οƒ12 =Οƒ22)
    • Poblaciones normales

Caso 1:

Β 

Β 

Β 

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

PROBLEMA 1:

En un proceso quΓ­mico, se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de la reacciΓ³n del proceso. Se preparΓ³ una muestra de 12 procesos utilizando el catalizador 1 y una de 10 con el catalizador 2, en el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85 con una desviaciΓ³n estΓ‘ndar muestral de 4, mientras que el promedio para la segunda muestra fue 81 y la desviaciΓ³n estΓ‘ndar muestral de 5. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que las poblaciones estΓ‘n distribuidas aproximadamente en forma normal, con varianzas iguales.

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

VARIANZA DESCONOCIDA

Β 

SOLUCIΓ“N:

Β 

Β 

Β 

Reemplazando en la FΓ³rmula:

Β 

Β 

Datos del problema:

PoblaciΓ³n

Β 

Β 

Muestra

Β 

Β 

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

Β 

Reemplazando en la FΓ³rmula:

Β 

InterpretaciΓ³n:

Con un nivel de confianza del 90% la diferencia de medias del rendimiento del catalizador 1 y 2 estΓ‘ comprendido de 0.69 a 7.31

Nota: tienen un rendimiento diferente.

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

Caso 2:

VARIANZA DESCONOCIDA

  • Muestras pequeΓ±as (n1 < 30, n2 < 30).
  • Varianzas poblacionales desconocidas y diferentes. (Οƒ12 β‰  Οƒ22)
  • Poblaciones normales

Β 

Β 

Β 

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

PROBLEMA 2:

Se registraron los siguientes datos en dΓ­as, que representan los tiempos de recuperaciΓ³n de pacientes tratados aleatoriamente con dos medicamentos para aliviarlos de graves infecciones en la vesΓ­cula:

Medicamento 1

Medicamento 2

​

​

Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia Β΅1-Β΅2 en el tiempo promedio de recuperaciΓ³n para los medicamentos, suponiendo poblaciones normales con varianzas diferentes.

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

SOLUCIΓ“N:

Β 

Β 

Β 

Reemplazando en la FΓ³rmula:

Β 

Β 

Β 

PoblaciΓ³n

Β 

Β 

Muestra

Β 

Β 

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA

Β 

Reemplazando en la FΓ³rmula:

Β 

Β 

Β 

Con nivel de confianza del 99% la verdadera diferencia del tiempo medio de recuperaciΓ³n para los medicamentos esta comprendido de 0.651 a 3.349

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3. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIΓ“N

2

𝑝 βˆ’ 𝑍 1βˆ’π›Ό .

𝑛

1βˆ’

< πœ‹ < 𝑝 + 𝑍 𝛼 .

2

π‘π‘ž π‘π‘ž

𝑛

NIVEL DE CONFIANZA : 1- Ξ‘= 99%, 98%, 95%, 90%,… NIVEL DE SIGNIFICANCIA: Ξ‘=1%, 2%, 5%, 10%,…

Nivel confianza:

𝟏 βˆ’ 𝜢

π’πŸ 𝜢

βˆ’πŸ

90%

𝑍0.95 =1.645

95%

𝑍0.975 =1.96

98%

𝑍0.99=2.33

99%

𝑍0.995 =2.578

CompruΓ©balo usando tu tabla Z!!

Valores tabla Z aproximados

𝑃 = 𝑛 =

𝑋 π‘ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒 Γ©π‘₯π‘–π‘‘π‘œπ‘  𝑒𝑛 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›

π‘‡π‘Žπ‘šπ‘ŽΓ±π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIΓ“N

Los compradores de ΓΊltima hora se quejan de que las tiendas por departamento de LIMA cierran muy temprano. En una muestra aleatoria de 600 compradores compulsivos de un centro comercial se encontrΓ³ que 360 estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras.

​

Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la proporciΓ³n verdadera de compradores que estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras.

EJERCICIO NΒͺ1

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n = 600

X=360

𝑃 = =

𝑋 360

𝑛 600

𝑃 = 0.6

q=0.4

Datos poblaciΓ³n

?

Datos Muestra

1βˆ’

0.05

2

π‘‡π‘Žπ‘π‘™π‘Ž: 𝑍 = 1.96

𝑍 0.975

= 1.96

πΆπ‘œπ‘›π‘“π‘–π‘Žπ‘›π‘§π‘Ž = 1 βˆ’ 𝛼 = 0.95

𝛼 = 0.05

0.6(0.4)

600

βˆ’2

𝑝 βˆ’ 𝑍 1 𝛼 .

π‘π‘ž

𝑛

βˆ’2

< 𝝅 < 𝑝 + 𝑍 1 𝛼 .

π‘π‘ž

𝑛

𝐼𝐢 πœ‹ = 0,6 Β± 1,96.

​

0,561 ≀ πœ‹ ≀ 0,639

Con un 95% de confianza la verdadera proporciΓ³n (porcentaje) de compradores que estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras en el centro comercial, se encuentra entre 0.561 y 0.639 (56.1% y 63.9%).

SoluciΓ³n:

𝑋: 𝐢𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 π‘Ž π‘“π‘Žπ‘£π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘–π‘œ β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘œ

SOLUCION NΒͺ1

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIΓ“N

En las elecciones del Colegio de Abogados de Lima, la empresa IPSOS APOYO, para dar su resultado a boca de urna, utilizΓ³ una muestra aleatoria de 600 votantes despuΓ©s de emitir su voto.

Si el sondeo indica que 240 electores votaron a favor del candidato A obtenga el intervalo de estimaciΓ³n del porcentaje de electores a favor de A en toda la poblaciΓ³n con un nivel de confianza de 95%.

EJERCICIO NΒͺ2

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIΓ“N

𝑃 = =

n = 600

X=240

𝑋 240

600

𝑛

𝑃 = 0.4

Q = 0.6

Datos poblaciΓ³n

?

Datos Muestra

1βˆ’

0.05

2

π‘‡π‘Žπ‘π‘™π‘Ž: 𝑍 = 1.96

𝑍 0.975

= 1.96

πΆπ‘œπ‘›π‘“π‘–π‘Žπ‘›π‘§π‘Ž = 1 βˆ’ 𝛼 = 0.95

𝛼 = 0.05

𝐼𝐢 πœ‹ = 0.4 Β± 1,96.

0.4(0.6)

600

βˆ’2

𝑝 βˆ’ 𝑍 1 𝛼 .

π‘π‘ž

𝑛

βˆ’2

< 𝝅 < 𝑝 + 𝑍 1 𝛼 .

π‘π‘ž

𝑛

0.361 ≀ πœ‹ ≀ 0.439

Con un 95% de confianza la verdadera proporciΓ³n (porcentaje) electores que votaron a favor del candidato A, se encuentra entre 0.361 y 0.439 (36.1% y 43.9%).

SoluciΓ³n:

𝑋: electores votaron a favor del candidato A

SOLUCION NΒͺ2

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4. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

2

𝑝1-p2 βˆ’ 𝑍 1βˆ’ 𝛼

p1q1

n1 +

​

< πœ‹ <

NIVEL DE CONFIANZA : 1- Ξ‘= 99%, 98%, 95%, 90%,… NIVEL DE SIGNIFICANCIA: Ξ‘=1%, 2%, 5%, 10%,…

Nivel confianza:

𝟏 βˆ’ 𝜢

π’πŸ 𝜢

βˆ’πŸ

90%

𝑍0.95 =1.645

95%

𝑍0.975 =1.96

98%

𝑍0.99=2.33

99%

𝑍0.995 =2.578

CompruΓ©balo usando tu tabla Z!!

Valores tabla Z aproximados

𝑃 1= 𝑛

𝑋 π‘ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒 Γ©π‘₯π‘–π‘‘π‘œπ‘  𝑒𝑛 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›1

π‘‡π‘Žπ‘šπ‘ŽΓ±π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›

𝑝1- p2 + 𝑍

p2q2

n2

​

1 - Ξ±

2

𝑃 2= 𝑛

𝑋 π‘ΓΊπ‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒 Γ©π‘₯π‘–π‘‘π‘œπ‘  𝑒𝑛 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›2

π‘‡π‘Žπ‘šπ‘ŽΓ±π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘šπ‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Ž π‘œ π‘π‘œπ‘π‘™π‘Žπ‘π‘–Γ³π‘›

p2q2

n2

​

p1q1 +

n1

​

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2. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIΓ“N

Los compradores de ultima hora de los centros comerciales se quejan de que las tiendas por departamento de LIMA cierran muy temprano. En una muestra aleatoria de 600 compradores compulsivos del Centro Comercial La Rambla y del Centro Comercial Jockey Plaza se encontrΓ³ que 360 estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras y del Centro Comercial Jockey Plaza encontrΓ³ que 240 estΓ‘n a favor de un horario mas amplio de compra

​

Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de proporciones verdadera de compradores de los 2 centros comerciales que estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras.

EJERCICIO NΒͺ1

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n = 600

X=360

𝑃1 = =

𝑋 360

𝑛 600

Datos poblaciΓ³n

?

Datos Muestra

1βˆ’

0.05

2

π‘‡π‘Žπ‘π‘™π‘Ž: 𝑍 = 1.96

𝑍 0.975

= 1.96

πΆπ‘œπ‘›π‘“π‘–π‘Žπ‘›π‘§π‘Ž = 1 βˆ’ 𝛼 = 0.95

𝛼 = 0.05

0.6(0.4) + 0.4(0.6)

600

𝐼𝐢 πœ‹ = 0,6-0.4 Β± 1.96

​

0,14 ≀ πœ‹ ≀ 0,25

Con un 95% de confianza la verdadera proporciΓ³n (porcentaje) de compradores que estΓ‘n a favor de un horario mΓ‘s amplio para las compras en el centro comercial, se encuentra entre 0.14 y 0.25 (14.4% y 25.5%).

SoluciΓ³n:

𝑋1: 𝐢𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 π‘Ž π‘“π‘Žπ‘£π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘–π‘œ β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘œ de CC La Rambla

X2: 𝐢𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 π‘Ž π‘“π‘Žπ‘£π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘–π‘œ β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘œ de CC Jockey Plaza

SOLUCION NΒͺ1

𝑃2 = =

𝑋 240

𝑛 600

600

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DistribuciΓ³n Ji-cuadrado

AsimetrΓ­a Positiva

http://www.lock5stat.com/StatKey/theoretical_distribution/theoretical_distribution.html#chi

​

Enlace: DistribuciΓ³n ji-cuadrado

5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

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5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

  • Para hacer inferencias acerca de la varianza poblacional. Es decir, para calcular Intervalos de Confianza y Prueba de hipΓ³tesis para la varianza poblacional.
  • Para hacer pruebas de Bondad de Ajuste. O sea, para probar si un conjunto de datos sigue una distribuciΓ³n pre-determinada.
  • Para hacer anΓ‘lisis de tablas de contingencia.

Usos de la Ji-Cuadrado

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5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

http://oszielmedina.blogspot.es/1273527350/

​

RELACION ENTRE VARIABILIDAD Y CALIDAD:

​

La calidad de un producto depende mucho de la variabilidad. Se establecen lΓ­mites de variabilidad, esto para evitar deformas, defectos o diferencias entre un producto y otro. Por lo que podrΓ­amos concluir que:

​

β€œa menor variabilidad tendremos una mejor calidad en el producto o servicio ofrecido”.Β 

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5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

Β 

Usos de la Tabla Chi-Cuadrado

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5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

Β 

Β 

Intervalo de Confianza para la varianza

Intervalo de Confianza para desviaciΓ³n Estandar

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5. INTERVALO DE CONFIANZA VARIANZA

80

90

85

82

75

58

70

84

87

81

87

61

73

84

85

70

78

95

77

52

Los siguientes datos representan las edades que tenΓ­an al momento de morir por enfermedad de una muestra de 20 personas de un pueblo:

Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edad de muerte.

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SOLUCION

SoluciΓ³n:

Β 

Β 

Β 

Β 

Β 

Tabla:

Calculadora

Β 

Datos muestra

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Actividad:

El estudiante responde en el chat sobre 2 principales preguntas del docente sobre su aprendizaje en la clase de hoy.

CIERRE (15 min)

Principio pedagΓ³gico: Aprendizaje autΓ³nomo.

Cierre

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¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?

  1. ΒΏPor quΓ© es importante calcular un Intervalo de Confianza?

​

  • ΒΏQuΓ© aplicaciones le darΓ­as al Intervalo de confianza de la proporcion y la varianza en tu campo profesional?

Datos/Observaciones

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