Алгебра и начала анализа, 10 класс

Графики тригонометрических функций

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

sinα

cosα

α

x

y

0

1

0

1

sinα - ордината точки поворота

cosα - абсцисса точки поворота

(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на α радиан от начала отсчета»)

0

0

π

π

x

x

y

y

0

1

1

α₁

α₂

α₃

α₃

α₂

α₁

1

Масштаб π:3

α₄

α₄

α₅

α₅

α₆

α₆

На оси абсцисс координатной плоскости Оху будем отмечать точки, соответствующие различным углам поворота, а на оси ординат – значения синусов этих углов.

Таким образом мы получили график функции y=sinx на промежутке [0; π].

0

π

x

y

1

Масштаб π:3

Таким образом, мы получили график функции y=sinx на промежутке [−π ; π].

−1

−π

Теперь воспользуемся тем, что функция y=sinx является нечетной, а, значит, график функции на промежутке [−π ; 0] можно получить из данного симметрией относительно начала координат (или поворотом на 180⁰).

x

y

0

1

0

1

Напомним некоторые рациональные значения функции у=sinx на промежутке [−π; π]:

−1

x

y

1

0

Масштаб π:3

На практике, для построения графика функции у=sinx на промежутке [0; π], сначала отмечают точки с координатами (0; 0), ( π/6; 0,5), ( π/2; 1), ( 5π/6; 0,5) и ( π; 0). Они образуют своеобразную «арку», которая периодически (с периодом π) отображается симметрично оси Ох.

После этого используют свойство периодичности функции у=sinx. Так как наименьший положительный период функции y=sinx равен 2π, то изображенный участок графика можно параллельно переносить влево и вправо вдоль оси Ох на 2π⋅n (n∈) единичных отрезков.

−1

График функции y=sinx называется синусоидой.

x

y

1

0

Масштаб π:3

−1

Используя равенство cosx=sin( ), график функции у=cosx можно

получить из синусоиды путем параллельного переноса вдоль оси Ох

влево на единичных отрезков.

И опять, воспользовавшись свойством периодичности функции y=cosx, достраивают график на всей числовой прямой.

График функции y=cosx называется косинусоидой.

0

0

π

x

x

y

y

0

1

1

α₁

α₂

α₃

α₃

α₂

α₁

1

линия тангенсов

1

Комментарий учителя

0

y

1

x

−1

Комментарий учителя

График функции y=tgx называется тангенсоидой

0

y

1

x

−1

Комментарий учителя

Масштаб π:3

0

y

1

x

−1

Комментарий учителя

График функции y=ctgx называется котангенсоидой

Масштаб π:3