Рациональные неравенства
Содержание
Рациональные неравенства
Определение. Пусть А и В многочлены от одной и той же переменной. Неравенства вида
называются рациональными.
Рациональные неравенства
Теорема. Пусть А и В многочлены от одной и той же переменной х. Тогда неравенства
равносильны.
Пример 1. Решить неравенство .
Решение. По теореме данное неравенство равносильно неравенству (х – 1)(х + 3)(2х – 5) > 0.
Ответ: .
-3 1 2,5 х
-
-
+
+
Рациональные неравенства
Пример 2.
Решить неравенство .
Решение. По определению нестрогого неравенства данное неравенство равносильно
(х – 1)(х + 3)(2х – 5) > 0. х1 = 1, х2 = -3.
Ответ: .
или
или
-3 1 2,5 х
-
-
+
+
Рациональные неравенства
Пример 3.
Решить неравенство .
Решение. Рассмотрим функцию .
Ее область определения: х ≠ 0 и х ≠ 2.
Нули функции: х1 = -3, х2 = 3,5.
Ответ: .
-3 0 2 3,5 х
-
-
+
+
-
Системы неравенств �с одним неизвестным
Определение. Система неравенств с одной переменной – совокупность нескольких неравенств с одной и той же переменной.
2х ≥ 5, 2x – 1 < 14, 2x ≥ 5,
3х – 1 < 14; |x| > 3; 3x2 – 4x – 15 < 0,
|x| > 3.
Решение системы неравенств �с одним неизвестным
Определение. Значения неизвестного, которые являются решениями каждого неравенства системы, называются решениями этой системы.
Решить систему неравенств
– это значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Равносильные системы неравенств
Определение. Две системы неравенств называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой системы.
-2х ≥ 0,5, х ≤ -0,25,
3х2 – 4х – 15 < 0. (3x + 5)(x – 3) < 0.
Равносильные
системы
Схема решения систем неравенств с одним неизвестным
Пример 1.
2х ≥ 5, х ≥ 2,5,
3х – 1 < 14; х < 5.
Ответ: [2,5; 5) .
2,5 х
5 х
2,5 5 х
//////////////////////////////////
Решение системы неравенств �с одним неизвестным
Пример 2.
5(х – 2) + 3х < 6, х < 2,
23 – 7х ≤ 3 – 2х; х ≥ 4.
Ответ: нет решений.
4 х
2 х
4 х
2
Решение системы неравенств �с одним неизвестным
Пример 3. 2x ≥ 5, х ≥ 2,5,
3x2 – 4x – 15 < 0,
|x| > 3; -3 < x < 3.
Ответ: [2,5; 3).
-3 2,5 3 x
///////////////
-3/5
Решение неравенств с параметром
Решить неравенство с параметром – это значит указать значения параметра, при которых неравенство имеет решения, и для этих значений параметра найти множество его решений, а так же указать, при каких значениях параметра решений нет.
Решение неравенств с параметром
Пример.
Решить неравенство с параметром m х2 ≤ m2 – 1.
Решение.
Если m2 – 1 = 0, т. е. m = -1 или m = 1, то данное неравенство равносильно неравенству х2 ≤ 0 х = 0.
Если m2 – 1 < 0, т. е. , то данное неравенство решений не имеет.
Если m2 – 1 > 0, т. е. , то данное неравенство равносильно неравенству
Ответ: если m = ± 1, то х = 0;
если , то решений нет;
если , то