TEORI PROBABILITAS (PELUANG)�

STATISTIKA ILMU TANAH​-A

​

PENDAHULUAN

PROBABILITAS>>>> suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

​

Probabilitas dinyatakan dengan decimal atau bilangan pecahan.

​

Nilai probabilitias berkisar antara 0 dan 1.

>> semakin dekat nilai P ke 0 maka akan semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi

>> semakin dekat nilai P ke 1 semakin besar peluang kejadian akan terjadi

Presentation title

2

DALIL PROBABILITAS

​

​

Jika timbulnya kejadian A dapat terjadi melalui n kemungkinan, dan kejadian B dapat terjadi melalui m kemungkinan, maka

Kejadian A atau B dapat terjadi melalui m+n kemungkinan, asalkan kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama

Kejadian A dan B dapat terjadi melalui nxm kemungkinan

KONSEP PROBABILITAS

! Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikan dengan n(A), dan banyaknya kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel = S) dinotasikan dengan n(S) maka

Peluang kejadian A ditulis

CONTOH

CONTOH

Presentation title

7

PERMUTASI

Susunan yang dibentuk dari anggota suatu Himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota dan memeberi urutan dari masing-masing susunan tersebut.

Ciri khas dari permutasi adalah untuk mencari susunan dengan memperhatikan susunan/ urutan.

​

​

​

CONTOH SOAL PERMUTASI

Ada berapa cara 2 dari 4 buku dapat disusun ?

​

KOMBINASI

• Kombinasi

susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan tanpa memberi arti pada urutan anggota dari susunan

Contoh:

1. Ada berapa cara akan dipilih 2 orang dari 4 orang siswa?

​

​

​

• Diagram Venn

​

​

Aturan Dasar Peluang

​

​

CONTOH SOAL

1. Sebuah toko menerima 100 buah televisi dari sebuah pabrik. 10 dari 100 televisi mengalami kerusakan. Jika 2 televisi dipilih secara acak dari 100 televisi, berapakah probabilitas kedua-duanya rusak.

18

2. Sebuah terbitan Sinar harapan melaporkan bahwa 40% dari pelanggannya secara teratur membaca majalah Tempo, dan 32% membaca majalah Time, dan 11% membaca keduanya. Bila kita tentukan:

Peristiwa A = pelanggan sinar harapan yang membaca Tempo

Peristiwa B = pelanggan sinar harapan yang membaca Time

Carilah probabilitas dari peristiwa A, B, AB, dan A ∪ B

Contoh :

Probabilitas seseorang mahasiswa lulus matakuliah Statistika 2/3 dan probabilitas lulus matakuliah matematika 4/9. Jika probabilitas lulus kedua matakuliah 1/4, maka tentukan probabilitas mahasiswa akan lulus paling sedikit satu mata kuliah?

Jawab: misalkan;

A = himpunan mahasiswa yang lulus matakuliah statistika,

B = himpunan mahasiswa yang lulus matakuliah matematika,

= himpunan mahasiswa yang lulus kedua matakuliah

Maka peluang mahasiswa akan lulus paling sedikit satu mata kuliah adalah:

​

Aturan Dasar Peluang

​

​

​

​

Presentation title

20

Apabila event B tak bergantung pada event A (keduanya merupakan

independent events), maka

❑ prob(B|A) = prob(B), dan

❑ prob(A∩B) = prob(A)⋅prob(B)

TEORI BAYES

Merupakan salah satu pengaplikasian dari aturan perkalian dalam konsep probabilitas.

Kejadian yang digunakan dalam aturan perkalian adalah kejadian yang bersyarat.

Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.

Teorema ini ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke-18.

Rumusan:

​

CONTOH

Tiga orang mahasiswa dicalonkan menjadi ketua himpunan. Peluang A terpilih sebesar 30%, peluang B dan C terpilih masing masing sebesar 50% dan 20%. Jika A yang tepilih maka peluang menaikkan iuran keanggotaan sebesar 80%, sedangkan jika B atau C yang terpilih, peluang menaikkan iuran masing masing sebesar 10% dan 40%. Jika dalam beberapa minggu telah terjadi pemilihan dan diketahui iuran keanggotaan sudah naik, maka tentukan peluang C yang terpilih menjadi ketua himpunan.

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

Statistika Ilmu Tanah

DISTRIBUSI SERAGAM DISKRIT

Distribusi seragam merupakan distribusi probabilitas diskrit yang paling sederhana dimana seluruh variabel randomnya diasumsikan memiliki nilai probabilitas yang sama.

Definisi Jika X variabel random dengan harga-harga 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘 yang mempunyai nilai probabilitas yang sama, maka distribusinya adalah:

Presentation title

29

DISTRIBUSI SERAGAM DISKRIT

Presentation title

30

DISTRIBUSI BERNOULLI

Distribusi Bernoulli adalah suatu distribusi random yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya tidak, baik cacat, dan sebagainya. Distribusi ini memiliki sifat-sifat:

• Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan
• Tiap kali, outcome hanya dua macam, dilabeli “sukses” dan "gagal”
• Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p, besarnya tetap dari satu percobaan ke berikutnya.
• Satu percobaan dan yg berikutnya bersifat independen

Presentation title

31

DISTRIBUSI BERNOULLI

Misalkan 𝐸 kejadian sukses dengan peluang 𝑝 maka 𝐸 𝑐 kejadian gagal dengan peluang 𝑞 = 1 − 𝑝. Jika 𝑋 suatu variabel random yang nilainya hanyalah 0 dan 1 maka 𝑋 disebut dengan variabel bernoulli. Distribusi bernoulli dirumuskan:

Presentation title

32

DISTRIBUSI BINOMINAL

sifat dari percobaan binomial, yaitu antara lain

 Percobaanya terdiri atas n percobaan yang berulang

 Setiap percobaan menghasilkan satu hasil yang dapat dinyatakan sebagai sukses, dan hasil lain sebagai gagal

 Percobaan yang berulang bersifat independent

 Kemungkinan terjadinya sukses, yaitu p, berharga konstan dari satu percobaan ke percobaan lainnya.

 Merupakan proses pengambilan sampel dengan pengembalian

Presentation title

33

DISTRIBUSI BINOMINAL

Jumlah sukses yang terjadi dalam n percobaan dari eksperimen binomial disebut variabel random binomial Distribusi probabilitas dari variabel random binomial 𝑥 disebut distribusi binomial. Distribusi ini tergantung pada jumlah percobaan dan kemungkinan terjadinya sukses dari percobaan tersebut dan dinotasikan sebagai 𝑏(𝑥; 𝑛; 𝑝). Jika setiap percobaan dari percobaan binomial memilki hasil sukses dengan kemungkinan p dan kemungkinan 𝑞 − 1 untuk gagal, maka distribusi probabilitas dari variabel random binomial 𝑥 yang menyatakan jumlah sukses yang terjadi dalam n percobaan yang independen adalah:

Presentation title

34

n = jumlah ulangan

p = peluang ‘berhasil’ pada setiap ulangan

1 – p = peluang ‘gagal’ pada setiap ulangan

x = 0, 1, 2, …, n

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … × 3 × 2 × 1

Contoh:

Probabilitas sebuah komponen mobil tidak rusak ketika dijatuhkan adalah ¾. Berapakah probabilitasnya ada 2 dari 4 komponen yg dijatuhkan akan tidak rusak?

​

Sukses = tidak rusak → 𝑝 = 3/ 4 Gagal = rusak → 𝑞 = 1 − 3 /4 = 1/ 4 Total semua percobaan adalah 𝑛 = 4 Jumlah yang sukses adalah 𝑥 = 2

​

​

Presentation title

35

NILAI HAPARAN DAN VARIANS DISTRIBUSI BINOMIAL�

Presentation title

36

CONTOH

Presentation title

37

Jika dari satu set kartu remi diambil empat buah kartu, tentukan peluang bahwa dua diantaranya adalah kartu hati ()

JAWABAN

Sampel Dgn Pengembalian

​

Presentation title

38