Эффективные методы и приёмы решения стереометрических задач

Ковалёва С.Б., учитель математики ГУО «Средняя школа № 37 г. Могилёва

Приёмы повышения мотивации к решению геометрических задач

1.Решение задач несколькими способами

2. Исследовательская деятельность учащихся

3.Изучение меж предметных методов решения задач

4.Изучение нестандартных методов решения задач

Теория разнообразия

S

​

M

Q T

A B

O

K

F C

​

Описанная сфера

1)Подобие треугольников

2)Угол, опирающийся на

диаметр сферы

Вписанная сфера

1)Подобие треугольников

2)Биссектриальная

плоскость

Теория разнообразия

S

M

Q

B N C

T O

A K

D

​

F

Описанная сфера

1)Подобие треугольников

2)Угол, опирающийся на

диаметр сферы

3)Диагональное сечение

Вписанная сфера

1)Подобие треугольников

2)Биссектриальная плоскость

3)Сечение, проходящее через

апофемы противолежащих

боковых граней

ЗАДАЧА. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 6 см и апофема наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Построим сечение.

А

B

C

S

М

К

O_ш

r

60°

О

6 см

30°

ЗАДАЧА. Около правильной четырехугольной пирамиды описан шар. Боковое ребро равно 2 см, угол между противоположными боковыми ребрами равен 60°. Найдите радиус шара.

60°

A

В

С

D

S

P

О

С

A

2 см

60°

Построим сечение.

A

В

С

ЗАДАЧА. Около правильной треугольной пирамиды описан шар. Найдите радиус шара, если высота пирамиды равна 8 см, а боковое ребро равно 10 см.

S

10 см

8 см

P

О

F

М

R

A

В

С

S

10 см

8 см

P

О

F

SF - диаметр

A

В

С

S

О

6 см

8 см

45°

ЗАДАЧА. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

A

В

С

S

О

6 см

8 см

45°

M

F

Q

ЗАДАЧА. 2007г. В правильную 4-уг. пирамиду с высотой 4 и стороной основания 6 вписан шар. Секущая плоскость, параллельная основанию, касается шара . В образовавшуюся пирамиду вписан другой шар. Найти радиус второго шара. В ответ записать 8r.

Исследовательская деятельность.��Заметь,� докажи, � применяй

Теорема� Банчикова - Павловского

Если α угол развертки боковой

поверхности конуса, β угол между

образующей и плоскостью основания

конуса, то между ними существует

следующая связь α= 360°∙cosβ

Теорема Банчикова - Павловского

Рассмотрим конус, образующая

которого составляет угол β с

плоскостью основания.

Развёрткой боковой поверхности

данного конуса является круговой

сектор с центральным углом α.

Докажем, что для данных углов

выполняется равенство

​

s

s

A

Применение теоремы

S

α

​

A B

Задача

Вычислите центральный

угол развёртки боковой

поверхности конуса, если его

высота 8см, а радиус

основания равен 6см

Применение Теоремы к решению задач школьного курса

Задача 1

Применение теоремы

S

α

​

A B

Задача

Вычислите высоту конуса,

если развёрткой его боковой

поверхности является

сектор, радиус которого равен

9см, а градусная мера дуги

равна 120°

Применение Теоремы к решению задач школьного курса

Задача 2

s

s

A

Применение теоремы

S

α

​

A B

Задача

Площадь поверхности конуса

равна 28π. Центральный угол

развёртки его боковой

поверхности равна 60°.

Вычислите объём конуса.

Применение Теоремы к решению задач школьного курса

Задача 3

s

s

A

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Задача 5

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Задача 5

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Задача 6

​

​

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Решение

​

​

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Задача 7

​

​

​

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Решение

​

​

​

Применение теоремы к решению задание РТ и ЦТ

Решение

​

​

​

Меж предметные методы

Геометрия масс

Задача �На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки К и N, так, что СК:КА=2:3, CN:NВ=4:3. В каком отношении точка пересечения отрезков АN и ВК делит отрезок ВК?

Решение:

Пусть ВN=3х, СN=4х, а

АК=3у, КС=2у.

С учётом правила

рычага, размещаем

массы: А 2, С 3, В 4.

Тогда в точках К и N

получим массы 5 и 7.

По правилу рычага имеем:

4 ОВ=5 ОК. Тогда

ОВ:ОК=5:4.

A

B

C

N

O

K

Задача �В треугольнике АВС медиана АF и биссектриса BE равны 4 и пересекаются под прямым углом. Найдите стороны треугольника АВС. ( Вузовская олимпиада при БГУ)��

Т.к. треугольники АВО и FВО равны (прямоугольные, по катету и прилежащему углу), то АВ=ВF, АО=ОF.

Т.к. АF – медиана, то BF=FC=AB.

ВЕ – биссектриса, значит АВ:ВС=АЕ:ЕС=1:2.

Т.к. BF=FC, то размещаем массы :

В 1, С 1.

Следовательно в точке F – 2.

АО=ОF, значит размещаем массы:

А 2, О 4.

Тогда в точке Е – 3.

По правилу рычага имеем:

1 ОВ=3 ОЕ. Тогда

ОВ:ОЕ=3:1. Следовательно,

ВО=3, ОЕ=1.

Из этого по т. Пифагора можно вычислить, что АВ= √13 , ВС=2 √13 , АС=3√5 .

​

3

1

1

2

2

4

Задача �В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСD точки К и М делят рёбра РА и РС так, что АК:КР=1:3 и РМ:МС=1:1. В каком отношении плоскость КМD делит ребро РВ и высоту пирамиды РО?

Решение:

Применим метод рычага к каждому ребру. Получим 3А и 1Р, 3С и 3Р.

Так как АВСD квадрат, то 3В, 3D, 3С.

Так как точка О центр масс квадрата, то 6О.

Общая масса в точке Р равна 4.

Тогда по принципу рычага для РО

имеем 4 РТ=6 ТО, РТ:ТО= 6:4=3:2.

Для ребра РВ имеем 4 РL=3 LВ,

РL: LВ=3:4

​

3

3

3

3

1

3

6

Задача 1�На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки K и N, так, что CN:NB=4:3, CK:KA=2:3. В каком отношении точка пересечения отрезков AN и BK делит отрезок BK?�

Задача 2�В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне BC взята точка D так, что BD:DC=1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE, считая от вершины B?�

Задача 3�Точка N делит сторону RQ �треугольника PRQ в отношении �RN: NQ = 2:7, точка F делит сторону RP в отношении RF : FP = 3:1. Прямые QF и PN пересекаются в точке М. Найдите длину отрезка MN, если РМ =12.�

Задача 4�На медиане АД треугольника АВС взята точка К, так, что АК:КД=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два треугольника. Найдите отношение площадей этих треугольников.�

N

�Задача 5�В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты точки N и M соответственно,�AN:NB=2:3.Отрезки CN и BM пересекаются �в точке О, так, что ВО:ОМ=5:2.� Найдите CO:ON.�

Задача 6�Точки M, N, K расположены соответственно на сторонах АВ, АС, ВС треугольника АВС, так, что AM:MB=1:4, AN:NC=2:3, CK:KB=3:2. Отрезок АК и MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL?�

АВСДА1В1С1Д1 правильная треугольная призма, все рёбра которой равны 24√5. Точки Р и К середины рёбер АА1 и АС. Точка М лежит на ВС и ВМ:ВС= 1:3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость МКР пресекает грань ВВ1С1С. (ЦТ 2019 год, А 18)

Решение

1.В сечении получим четырёхугольник

PKMQ. АР=0,5АА1⅓=12√5, ВМ=⅓ ВС= =8√5.

2.Для ∆АВС и секущей КМ по т. Менелая

​

​

3.Треугольники ХВО и ХАР подобны ,

причём

4.Т.к. ∆ BQN прямоугольный, то

ДМ=

Ответ:

А1 С1

Р В1

К С

Q M

В X

А

Спасибо �за внимание