Прямокутна система координат у просторі

Прямокутна система координат на площині

Кожній точці площини ставиться у відповідність два числа х і у, які називаються координатами точки, і навпаки: кожній парі чисел х і у можна поставити у відповідність лише одну точку площини

Прямокутна система координат на площині

На координатній площині задано точки �А, В, С, D, F, К .

Визначте їх координати.

Прямокутна система координат у просторі

Три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О називаються координатними осями: вісь х – вісь абсцис,

вісь у – вісь ординат,

вісь z – вісь аплікат .

точку О називають початком координат

​

Прямокутна система координат у просторі

Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну.

x

z

y

Прямокутна система координат у просторі

Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координатними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz. Координатні площини розбивають весь простір на вісім частин, які називають октантами.

Координати точки у просторі

• Якщо задано систему координат у просторі, то кожній точці простору можна поставити у відповідність три впорядковані дійсні числа х, у, z, �і навпаки: кожній трійці чисел х, у, z — єдину точку простору.

К (x; y; z)

А( 2; 4; -2)

В( 3; -1; 5)

С( -2; 0; -1)

М( 5; -2; 3)

​

x

z

y

Координати точки у просторі

для визначення координат точки в даній прямокутній системі координат у просторі достатньо побудувати прямокутний паралелепіпед з вершинами: у даній точці, у її проекціях на координатні площини, у проекціях цих проекцій на осі координат і в початку координат.

​

Координати точки у просторі

Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5 .

Знайдіть координати його вершин.

​

А( 5; 0; 0)

В( 5; 5; 0)

С( 0; 5; 0)

О( 0; 0; 0)

А( 5; 0; 0)

В( 5; 0; 5)

С( 0; 0; 5)

О( 0; 0; 0)

А( 0; -5; 0)

В( 0; -5; 5)

С( 0; 0; 5)

О( 0; 0; 0)

Координати точки у просторі

Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.

​

О( 0; 0; 0)

А( 0; 10; 0)

В( 10; 10; 0)

С( 10; 0; 0)

О₁( 0; 0; 10)

А₁(0; 10; 10)

В₁( 10; 10; 10)

С₁( 10; 0; 10)

О( 0; 0; 0)

А( 0; 10; 0)

В( -10; 10; 0)

С( -10; 0; 0)

О₁( 0; 0; 10)

А₁(0; 10; 10)

В₁( -10; 10; 10)

С₁( -10; 0; 10)

Координати точки у просторі

Проекції точки на площину

Існує точка А (x; y; z).

​

​

​

Проекції точки на площину

Знайти координати точки, що є проекцією:

• точки М ( 2; 4; 7) на площину ху; M₁ ( ; ; )
• точки А ( 5; 3; 9) на площину xz;
• точки C ( -3; 6; -2) на площину yz;

​

​

Відстань від точки до площини

Існує точка А (x; y; z).

​

​

​

Відстань від точки до площини

Знайти відстані від точки до площини:

• точки М ( 2; 4; 7) до площини ху;
• точки А ( 5; 3; 9) до площини xz;
• точки C ( -3; 6; -2) до площини yz;

​

​

Координати точки у просторі

Запишіть координати точки А, якщо відомо, що вона розміщена:

а) на від'ємній півосі y на відстані 3 від початку координат;

б) в площині ху на відстані 3 і 4 від осі х і у відповідно;

в) на відстані 3, 4, 5 від координатних площин ху, zх, zу відповідно.

​

Відстань між двома точками у просторі

Довжина відрізка АВ у просторі.

А(х₁; у₁; z₁) В ( x₂; y₂; z₂)

Координати середини відрізка

Кінці відрізка задані точками

А (х₁; у₁; z₁) і В ( x₂; y₂; z₂) .

М (х_М; у_М; z_М) – середина відрізка.

​

Координати точки М:

Домашнє завдання

• Параграф 11
• Номери 11.2, 11.8, 11.10,11.13