คำว่า “คาน” ในความหมายของบุคคลทั่วไป หมายถึง คานบ้าน คานหาบ คานยกของ เป็นต้น แต่คานในวิชาความแข็งแรงของวัสดุมีความหมายรวมถึง ชิ้นส่วนเครื่องจักรหรือโครงสร้างที่เป็นแท่งยาวถูกออกแบบให้รับน้ำหนักหรือแรงด้านข้าง ทำให้เกิดโมเมนต์ดัด เช่น เพลา สะพาน โครงหลังคา เป็นต้น

คานมีลักษณะทั่วไปอยู่ 2 ลักษณะ คือ คานรองรับแบบปลายอิสระ (Cantilever Beam) และคานรองรับอย่างง่าย (Simply Support Beam) รายละเอียดดังนี้

11.2.1 คานปลายอิสระ (Cantilever Beam)

คานปลายอิสระ คือ คานที่มีปลายด้านหนึ่งถูกยึดแน่น ส่วนปลายอีกด้านหนึ่งเป็นอิสระ�ดังรูปที่ 11.1 (ก) ถ้ามีแรงทิศทางลงในแนวดิ่งมากระทำที่คานปลายอิสระ ที่ปลายยึดแน่นจะถูกผนังรองรับกระทำด้วยแรงขึ้นในแนวดิ่งพร้อมกับโมเมนต์ดัดทันที ดังรูปที่ 11.1 (ข)

ลักษณะของคานปลายอิสระ (Cantilever)

11.1

ลักษณะของหน้าตัดแบบต่าง ๆ ของคานปลายอิสระ

11.2.2 คานรองรับอย่างง่าย (Simply Support Beam)

ลักษณะของคานรองรับอย่างง่าย (Simply Support Beam)

คำว่า คานรองรับอย่างง่าย หมายถึง จุดรองรับของคานสามารถรองรับได้เฉพาะแรงในแนวดิ่งเท่านั้น ไม่สามารถรับแรงในแนวระดับหรือแนวอื่นได้ ดังรูปที่ 11.3 จะพบคานรองรับอย่างง่ายอยู่ทั่วไป เช่น คัสซีรถยนต์ สะพาน สะพานแขวน เป็นต้น

สะพานและคัสซีรถยนต์เป็นคานแบบรองรับอย่างง่าย

คัสซีรถยนต์ดังรูป จะถูกรองรับด้วยแหนบสปริงล้อหน้าและล้อหลัง ในการคำนวณหาค่าน้ำหนักบรรทุกสุทธิ จะคำนวณน้ำหนักในแนวดิ่งเท่านั้นเท่ากับคัสซีรถยนต์เป็นคานรองรับอย่างง่าย �แต่ขณะรถยนต์เริ่มเคลื่อนหรือขณะเบรก จุดรองรับจะรับแรงในแนวระดับด้วย แต่แรงในแนวระดับไม่มีผลต่อโมเมนต์ดัด

แรงที่กระทำกับคานมี 3 แบบ ดังนี้

11.3.1 แรงกระทำแบบจุด (Concentrated or Point Load)

แรงกระทำเป็นจุดดังรูป

คานที่มีแรงกระทำเป็นจุด

11.3.2 แรงกระจายสม่ำเสมอ (Uniformly Distributed Load; UDL)

อาจเขียนแทนแรงได้ดังรูป

แรงกระจายสม่ำเสมอบนคาน

แรงกระจายนี้อาจอยู่ในรูปของการบรรทุกวัตถุ เช่น ทรายหรือสินค้าที่น้ำหนักกระจายลงบนพื้นกระบะ น้ำหนักของคาน สะพาน หรือแรงกระจายของกระเบื้องโครงหลังคา เป็นต้น

11.3.3 แรงกระจายเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ (Linearly Increasing Distributed Load)

แรงกระจายที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ

คานรองรับอย่างง่ายมีแรงกระทำแบบจุด

11.8

11.4.1 การหาค่าแรงเฉือน

วิธีคำนวณหาค่าแรงเฉือนที่จุด X ใด ๆ บนคานมี 2 วิธี คือ

1. คิดจากทางซ้ายมือ

แรงเฉือนที่จุด X ใด ๆ บนคานมีค่าเท่ากับผลรวมของแรงทางพีชคณิตจากทางปลายคานซ้ายมือมายังจุด X โดยกำหนดเครื่องหมายดังนี้

แรงขึ้น มีเครื่องหมายเป็น บวก

แรงลง มีเครื่องหมายเป็น ลบ

ดังนั้น จากรูปที่ 11.8 แรงเฉือนที่จุด x จึงมีค่าดังนี้

ทั้งสองวิธีล้วนได้ค่าแรงเฉือนเท่ากัน แต่วิธีที่ 1 เป็นวิธีที่นิยมใช้มากกว่า ดังนั้น ในที่นี้จึงใช้วิธีที่ 1 เป็นหลัก

2. คิดจากทางขวามือ

แรงเฉือนที่จุด X ใด ๆ บนคานมีค่าเท่ากับผลรวมของแรงทางพีชคณิตจากทางปลายคานขวามือมายังจุด X

แรงขึ้น มีเครื่องหมายเป็น ลบ

แรงลง มีเครื่องหมายเป็น บวก

ดังนั้นจากรูปที่ 11.8 แรงเฉือนที่จุด X จึงมีค่าดังนี้

ทั้งสองวิธีล้วนได้ค่าแรงเฉือนเท่ากัน แต่วิธีที่ 1 เป็นวิธีที่นิยมใช้มากกว่า ดังนั้น ในที่นี้จึงใช้วิธีที่ 1 เป็นหลัก

11.4.2 การหาค่าโมเมนต์ดัด

คานจะถูกโมเมนต์มากระทำหรือถูกแรงหลายแรงมากระทำ แต่แนวแรงไม่ได้อยู่แนวเดียวกันจะเกิดโมเมนต์ทำให้คานถูกดัด เรียกว่า โมเมนต์ดัด เมื่อคานอยู่ในสภาวะสมดุล ทุกจุดบนคานจะมีผลรวมของโมเมนต์เท่ากับศูนย์ แต่มิได้หมายความว่าโมเมนต์ดัดในแต่ละส่วนของคานจะเป็นศูนย์ไปด้วยการหาค่าความเค้นดัดที่จุด X ใด ๆ บนคานมี 2 วิธีดังนี้

1. คิดจากทางซ้ายมือ

โมเมนต์ดัดที่จุด X ใด ๆ บนคานมีค่าเท่ากับผลรวมของแรงทางพีชคณิตจากทางปลายคานซ้ายมือมายังจุด X โดยกำหนดเครื่องหมาย คือ

โมเมนต์ดัดทิศทาง ตามเข็มนาฬิกา มีเครื่องหมายเป็น บวก

โมเมนต์ดัดทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกา มีเครื่องหมายเป็น ลบ

ดังนั้น จากรูปที่ 11.8 โมเมนต์ดัดที่จุด x จึงมีค่าดังนี้

ทั้งสองวิธีล้วนได้ค่าโมเมนต์ดัดเท่ากัน แต่วิธีที่ 1 เป็นวิธีที่นิยมใช้มากกว่า ดังนั้นในที่นี้จึงใช้�วิธีที่ 1 เป็นหลัก และสรุปเครื่องหมายบวกลบของโมเมนต์ดังรูป

ข้อกำหนดเครื่องหมายโมเมนต์ดัด

ลักษณะกราฟแรงเฉือน (Shearing Force Diagrams: SFD) และกราฟโมเมนต์ดัด (Banding Moment Diagram: BMD) ขึ้นอยู่กับลักษณะของคานและประเภทของแรง ดังนี้

11.5.1 คานปลายอิสระมีแรงเป็นจุดกระทำที่ปลายอิสระ

กราฟ SFD และ BMD เมื่อมีแรงกระทำแบบจุดที่ปลาย

จากรูป กำหนดให้

A เป็นจุดที่ปลายคานอิสระ

x เป็นจุดใด ๆ บนคานมีระยะห่างจากปลายคานเท่ากับ x

B เป็นจุดอยู่ที่ปลายคานยึดแน่นอยู่กับผนัง

L = ความยาวคาน

F = แรงกระทำที่ปลายคานอิสระ (จุด A)

SFD = กราฟแรงเฉือน (Shearing Force Diagrams) ตลอดความยาวคาน

BMD = กราฟโมเมนต์ดัด (Bending Moment Diagram) ตลอดความยาวคาน

1. การคำนวณหาค่าแรงเฉือนบนคาน

ให้หาผลรวมของแรงจากทางซ้ายมือมายังจุดที่ต้องการหาค่าแรงเฉือน กำหนดให้แรงที่กระทำกับคานทิศทางขึ้นมีเครื่องหมายบวก แรงที่กระทำกับคานทิศทางลงมีเครื่องหมายลบ

ที่จุด x = 0 แรงเฉือนเท่ากับ –F

ที่จุด x = x แรงเฉือนเท่ากับ –F

ที่จุด x = L แรงเฉือนเท่ากับ –F

ดังนั้น กราฟแสดงค่าแรงเฉือนในคานจึงมีค่าเท่ากับ –F ตลอดความยาวคานดังรูป

2. การคำนวณหาค่าความเค้นดัดบนคาน

ให้หาผลรวมของโมเมนต์ดัดจากทางซ้ายมือมายังจุดที่ต้องการหาค่าโมเมนต์ดัดกำหนดให้โมเมนต์ดัดที่กระทำกับคานทิศทางตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายบวก โมเมนต์ดัดที่กระทำกับคานทิศทางทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายลบ

ที่จุด x = 0 ความเค้นดัดเท่ากับ – F (0) = 0

ที่จุด x = x ความเค้นดัดเท่ากับ – F x

ที่จุด x = l ความเค้นดัดเท่ากับ – F

ดังนั้น กราฟแสดงค่าโมเมนต์ดัดในคานจึงมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ปลายคานอิสระ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องจนมีค่ามากสุดที่ปลายยึดแน่น มีค่าเท่ากับ – FL ดังรูป

11.5.2 คานปลายอิสระอยู่ภายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอ

กราฟแรงเฉือน (SFD) และกราฟโมเมนต์ดัด (BMD) เมื่อมีแรงกระจายสม่ำเสมอบนคาน

1. การคำนวณหาค่าแรงเฉือนบนคาน

กำหนดให้

w = แรงกระจายอย่างสม่ำเสมอบนคาน (น้ำหนักต่อหน่วยความยาว; N/mm)

ให้หาผลรวมของแรงจากทางซ้ายมือมายังจุดที่ต้องการหาค่าแรงเฉือน กำหนดให้แรงที่กระทำกับคานทิศทางขึ้นมีเครื่องหมายบวก แรงที่กระทำกับคานทิศทางลงมีเครื่องหมายลบ

ที่จุด x = 0 แรงเฉือนเท่ากับ – w(0) = 0

ที่จุด x = x แรงเฉือนเท่ากับ – wx

ที่จุด x = L แรงเฉือนเท่ากับ – wL

ดังนั้นกราฟแสดงค่าแรงเฉือนในคานจึงมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ปลายอิสระ และมีค่าเท่ากับ −wL ที่ปลายยึดแน่นดังรูป

2. การคำนวณหาค่าความเค้นดัดบนคาน

ให้หาผลรวมของโมเมนต์ดัดจากทางซ้ายมือมายังจุดที่ต้องการหาค่าโมเมนต์ดัดกำหนดให้โมเมนต์ดัดที่กระทำกับคานทิศทางตามเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายบวก โมเมนต์ดัดที่กระทำกับคานทิศทางทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมายลบ

11.5.3 คานรองรับอย่างง่ายมีแรงกระทำแบบจุด

กราฟแรงเฉือน (SFD) และกราฟโมเมนต์ดัด (BMD) เมื่อมีแรงกระทำแบบจุดกระทำบนคานอย่างง่าย

1. กราฟแรงเฉือน

เขียนกราฟเริ่มจากปลายคานด้านซ้าย กำหนดแรงขึ้นเป็นบวก แรงลงเป็นลบตามมาตราส่วนที่เหมาะสม จนกระทั่งสิ้นสุดที่ปลายคานด้านขวา หากเขียนกราฟได้ถูกต้อง เส้นกราฟจะสิ้นสุดที่ปลายด้านขวามีค่าเป็นศูนย์พอดี ดังกราฟ SFD

2. กราฟโมเมนต์ดัด

เขียนกราฟเริ่มจากปลายคานด้านซ้ายตามมาตราส่วนที่เหมาะสม จนกระทั่งสิ้นสุดที่ปลายของคานด้านขวา หากเขียนกราฟได้ถูกต้อง เส้นกราฟจะสิ้นสุดที่ปลายด้านขวามีค่าเป็นศูนย์พอดี�ดังกราฟ BMD

11.5.4 คานรองรับอย่างง่ายมีแรงกระทำตลอดพื้นที่คาน

กราฟแรงเฉือน (SFD) และกราฟโมเมนต์ดัด (BMD) เมื่อมีแรงกระจายสม่ำเสมอกระทำบนคานอย่างง่าย

กำหนดให้ คานรองรับอย่างง่ายมีแรงกระจาย

w = แรงกระจายบนคาน (F/unit length; kN/mm)

L = ความยาวคาน (mm)

X = ระยะใด ๆ บนคานที่ต้องการหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์

น้ำหนักเนื่องจากแรงกระจายบนคานทั้งหมดมีค่ากับ wL เนื่องจากคานมีความสมมาตร ดังนั้น

1. กราฟแรงเฉือน มีลำดับการหาค่าแรงเฉือนดังนี้

หาค่าแรงเฉือนที่จุดรับแรงทุกจุด

2. กราฟโมเมนต์ดัด มีลำดับการหาค่าโมเมนต์ดัดดังนี้

หาค่าโมเมนต์ดัดที่จุดรับแรงทุกจุด

เขียนกราฟเริ่มจากปลายคานด้านซ้ายตามมาตราส่วนที่เหมาะสม จนกระทั่งสิ้นสุดที่ปลายคานด้านขวา หากเขียนกราฟได้ถูกต้อง เส้นกราฟจะสิ้นสุดที่ปลายด้านขวามีค่าเป็นศูนย์พอดี ดังกราฟ BMD

สรุปสาระสำคัญ

1. ในหน่วยนี้ไม่มีสูตรสำเร็จตายตัวในการหาค่าแรงเฉือนและความเค้นดัดบนคาน ผู้เรียนต้องประยุกต์จากตัวอย่าง เพื่อใช้ในการคำนวณกับคานแบบต่าง ๆ ซึ่งมีแรงกระทำต่างกันไป

2. ตัวอย่างสูตรการคำนวณหาค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ลักษณะกราฟแรงเฉือน และกราฟโมเมนต์ดัดของคานลักษณะต่าง ๆ มีหลากหลายมาก ให้ผู้เรียนศึกษาค้นคว้าจากอินเทอร์เน็ต ตัวอย่าง

ตัวอย่างการหาค่าแรงเฉือน (SF) และค่าโมเมนต์ดัด (BM) ของคานและแรงแบบต่าง ๆ

(ต่อ) ตัวอย่างการหาค่าแรงเฉือน (SF) และค่าโมเมนต์ดัด (BM) ของคานและแรงแบบต่าง ๆ

ตัวอย่างที่ 11.1 คานปลายอิสระยาว 4 m มีแรงกระทำที่ปลายเท่ากับ 60 kN ดังรูป จงหาค่าแรง� เฉือน และค่าโมเมนต์ดัด ที่จุดปลายถูกยึดให้อยู่กับที่ พร้อมทั้งเขียนกราฟ� แรงเฉือน และกราฟโมเมนต์ดัด

ตัวอย่างที่ 11.1

11.16

ตัวอย่างที่ 11.1

ตัวอย่างที่ 11.2

ตัวอย่างที่ 11.3 คานรองรับอย่างง่ายยาว 10 m อยู่ภายใต้แรงแบบจุด มีค่า 20, 40 และ 50 kN� ดังรูป จงเขียนกราฟแรงเฉือนและกราฟโมเมนต์ดัด

ตัวอย่างที่ 11.3

3. การเขียนกราฟได้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 11.3

ตัวอย่างที่ 11.4