Статистика

Жукова Юлия Николаевна,

учитель математики

МОУ «СОШ №64 им. Б. Ручьева» г. Магнитогорска

Статистика занимается сбором, представлением больших массивов данных и анализом информации о различных случайных величинах.

Описательная статистика

Представление данных

• Таблицы
• Графики

Числовые показатели

• Меры центральной тенденции
• Меры рассеивания (изменчивости, разброса)

Предметные планируемые результаты

7 класс. Углубленный уровень (17 ч)

• Использовать для описания данных квартили, частоты значений, группировать данные, строить гистограммы группированных данных.

​

7 класс. Базовый уровень (17 ч)

• Читать информацию, представленную в таблицах и диаграммах, представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы
• Интерпретировать данные, представленные в таблицах, диаграммах, графиках.
• Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
• Иметь представление о случайной изменчивости и статистической устойчивости.

Предметные планируемые результаты

8 класс. Углубленный уровень (5 ч)

• Описывать данные с помощью средних значений и мер рассеивания (дисперсия и стандартное отклонение).
• Уметь строить и интерпретировать диаграммы рассеивания, иметь представление о связи между наблюдаемыми величинами

8 класс. Базовый уровень (5 ч)

• Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
• Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
• Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений.

​

Предметные планируемые результаты

9 класс. Углубленный уровень (12 ч)

• Оперировать понятием «распределение вероятностей». Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин
• Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять в задачах числовые характеристики изученных распределений
• Иметь представление о законе случайных чисел и роли закона больших чисел в природе и обществе, понимать математическое обоснование близости частоты и вероятности

​

9 класс. Базовый уровень (12 ч)

• Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания
• Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей
• Иметь представление о законе больших чисел и о роли закона больших чисел в природе и обществе

​

Предметные планируемые результаты

10 класс. Углубленный уровень (14 ч)

• Свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина, геометрическое, биномиальное распределение.

​

10 класс. Базовый уровень (10 ч)

• Читать и строить таблицы и диаграммы.
• Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных.
• Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения.

​

Предметные планируемые результаты

11 класс. Углубленный уровень (34 ч)

• Оперировать понятием совместное распределение случайных величин, использовать таблицу для выделения распределения каждой величины;
• Оперировать понятием математическое ожидание биномиального и геометрического распределений; дисперсии, стандартного отклонения
• Вычислять выборочные характеристики. Оценивать характеристики генеральной совокупности и вероятности событий, проверять простейшие статистические гипотезы.

​

11 класс. Базовый уровень (34 ч)

• Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью диаграмм.
• Оперировать понятием математического ожидания; приводить примеры применения математического ожидания случайной величины, находить математическое ожидание по данному распределению.
• Иметь представление о законе больших чисел.
• Иметь представление о нормальном распределении.

​

Проверяемые предметные результаты. ГИА 2024

ОГЭ

• Умение оперировать понятиями: диаграммы, таблицы, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора
• Умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах и на диаграммах
• Умение распознавать изменчивые величины в окружающем мире
• Знакомство с понятием закона больших чисел и его роли в массовых явлениях

ЕГЭ

• Умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение, функции распределения
• Умение использовать свойства изученных распределений для решения задач
• Знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных исследований

Представление данных

Таблицы, графики

Таблицы

• Статистическая таблица — система строк и столбцов, в которых в систематизированном порядке, в логической последовательности излагается числовая информация о явлениях. Позволяет проводить глубокий количественный и качественный анализ.

Графическое представление

• Графики – условное изображение статистических данных при помощи различных геометрических образов (точек, линий, фигур). Придаёт статистическим данным наглядность и облегчает их восприятие.

Основные виды

Применение таблиц и графиков

• Если важны точные значения, используются таблицы
• Если важнее наглядное представление – диаграммы
• Если важна динамика данных – столбиковая диаграмма или график
• Для сравнения части целого – круговая диаграмма
• Для оценки согласованности двух типов данных – диаграмма рассеивания и т.п.

ОГЭ. Математика

• Практико-ориентированные

задания № 1 - 5

ЕГЭ. Математика. Базовый уровень

Задание 3

ЕГЭ. Математика. Базовый уровень

Задания 6 и 7

ЕГЭ. Обществознание

ЕГЭ. География

ЕГЭ. Биология

Диаграмма рассеивания

• Диаграмма рассеивания – графическое представление пар исследуемых данных в виде множества точек на координатной плоскости.

Предназначена для оценки наличия или отсутствии взаимосвязи (корреляции) между двумя изучаемыми величинами.

�

8 класс, 10 класс

По диаграмме рассеивания однозначно можно сказать, что связи межу величинами нет, но сказать так о том, что связь существует – нельзя, требуются дальнейшие исследования

Облако рассеивания или созвездие

Статистические данные для построения диаграмм

• Сельское хозяйство
• География и климат
• Общество и правопорядок
• Антропометрия и медицина
• Демография
• Экономика
• Образование

​

https://ptlab.mccme.ru/node/350

https://rosstat.gov.ru/folder/10705

Интерактивные таблицы для лабораторных и практических работ

• Архивы с таблицами для построения основных видов диаграмм и инструкции можно скачать: https://ptlab.mccme.ru/node/188

Числовые показатели описательной статистики

Меры центральной тенденции

• Показывают вокруг каких значений колеблется большинство значений числового ряда (результаты опросов, экспериментов, данных)

Меры рассеивания (разброса)

• Показывают в какой степени полученные результаты отклоняются от центра группирования, определяют меру отклонения от среднего

Меры центральной тенденции

Мода, среднее арифметическое, медиана

Мода

• Мода (лат. modus – мера, способ, правило) — число, которое встречается в числовом наборе наиболее часто.

7 класс

Среднее арифметическое

7 класс

Недостатки среднего

• Вводит в заблуждение, если распределение ассиметричное или есть выбросы

​

​

​

​

​

​

В таких случаях используют  медиану

Медиана

• Медиана (от лат. mediana – среднее) — число, разделяющее упорядоченный ряд на две равные по количеству данных части.

7 класс

1С:Урок. Модель для изучения медианы и среднего арифметического

• Интерактивное задание для использования на уроке https://urok.1c.ru/share/task/e1fcbe37d75a38846e19a962b3630f5b/

​

• Методические рекомендации по работе с моделью https://urok.1c.ru/share/task/328d00668064b021a8690eec55d46556/

​

7 – 9 классы

Меры рассеивания (изменчивости)

Размах, квартили, отклонение от среднего, дисперсия, стандартное отклонение

Наибольшее, наименьшее, размах

• Размах числового ряда – разность между наибольшим и наименьшим из чисел этого ряда.

7 класс

Квартили

• Квартили – значения, которые делят упорядоченный ряд (распределение) на четыре равные по величине части.

Квартили являются показателями структуры распределения. Значение квартилей позволяет оценить разброс данных, выделить наиболее типичные значения и исключить возможные выбросы. 

​

7 класс, 10 класс

Квартили

• Первый квартиль — это значение, меньше которого будет 25% наблюдений, а 75% будут больше, второй является медианой и делит распределение пополам, третий квартиль — значение, больше которого будет 25% наблюдений.

​

​

7 класс

Задача. Имеются данные о сбыте продукции (в тыс. руб.) в различных фирмах города: 87, 75, 66, 60, 87, 67, 66, 69, 89, 74, 90, 78, 99, 86, 76, 95, 69, 68, 87, 63. Определите: средний объем сбыта, моду, медиану, квартили.

​

​

7 класс, 10 класс

Применение квартилей

Используются в диаграммах размаха – "ящик с усами" (box plot) – одномерное распределение вероятностей.

Задача. Эколог изучил возраст около ста деревьев в местном лесу. Полученные данные он отразил в виде показанной ниже диаграммы типа «ящик с усами».

​

​

​

​

​

​

7, 10 класс

Чему равен размах возраста изученных деревьев? Чему равна медиана возраста деревьев в лесу?

Ответ: 42; 21

KhanAcademyRussian Курс «Статистика и теория вероятностей»

Отклонение от среднего

8 класс

Дисперсия

8 класс

Стандартное отклонение

8 класс

Программа для вычисления средних значений

https://mathege.ru/mediumaxis/

Интерактивные модели для практических работ

Использование – выяснение за счет каких факторов формируется рассеивание, наблюдение за частотой события, сколько опытов надо провести, чтобы увидеть к чему стремится частота, почему так мало абсолютно «везучих» и «невезучих» горошин.

Скачать - Вероятность в школе. Эл. ресурсы. Компьютерные модели

7 – 9 классы

Модуль «Игральные кости»

Модуль «Монеты»

Модуль «Доска Гальтона»

Задачи для уроков и домашних заданий

https://www.yaklass.ru/

7-9 классы

https://onlinetestpad.com/

https://onlinetestpad.com/ru/testview/1046203-statisticheskie-kharakteristiki

https://onlinetestpad.com/ru/testview/1592780-opisatelnaya-statistika-rasseivanie-dannykh-8-klass

(7 класс)

https://onlinetestpad.com/ru/testview/1830256-mat-statistika-8-klass-fevral-mart-2023

https://onlinetestpad.com/ru/testview/389216-statisticheskaya-obrabotka-dannykh

7-9 классы

Задачи для уроков и домашних заданий

Статистическое определение вероятности

• Вероятность – это число, к которому стремится относительная частота события при увеличении количества испытаний

Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины (дискретной) – число, равное сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих значений.

​

​

​

При достаточном количестве испытаний примерно равно среднему значению случайной величины (закон больших чисел)

9 класс, 11 класс

EХ = x1⋅p1 + x2⋅p2 +...+ xn−1⋅pn−1 + xn⋅pn

Дисперсия

9 класс, 11 класс

DX = E(X−EX)²

или

D(X) = E(X²)−E²(X)

или

DX = EX² − E²X

Задача. Кидают три правильных игральных кубика. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков.

Фоксфорд. Курс «Комбинаторика и теория вероятности в школьном курсе математики», 2023

Решение:

​

4. Находим отклонения случайной величины от математического ожидания, равного 10,5

​

​

​

​

5. Квадраты отклонений умножаем на соответствующие вероятности, находим сумму этих произведений:

​

​

​

​

​

Ответ: 10,5; 8,75

Задача. Кидают три правильных игральных кубика. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков.

Фоксфорд. Курс «Комбинаторика и теория вероятности в школьном курсе математики», 2023

Задача. Кидают три правильных игральных кубика. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков.

Фоксфорд. Курс «Комбинаторика и теория вероятности в школьном курсе математики», 2023

ОГЭ. Математика

Сайт Д. Гущина «Сдам ГИА: Решу ОГЭ» Математика.

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень

Задача 2. В таблице показано распределение случайной величины Х. Найдите ЕХ – математическое ожидание этой случайной величины

​

а)

​

Решение: используя определение математического ожидания, получим

​

-3 ∙ 0,6 + 0 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,2 + 3 ∙ 0,1 = - 1,1

​

Ответ: - 1,1

​

б)

​

Ответ: 0,3

Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. Р. Высоцкий, Л. А. Титова и др. ; под ред. И. В. Ященко

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень

Задача 3. В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной лотереи (в рублях). Цена одного билета равна 400 рублей. Всего выпущено 1600 билетов. Горислав покупает один случайный билет. На сколько рублей цена купленного билета превышает математическое ожидание выигрыша?

​

Решение:

​

​

​

​

​

1) 100 ∙ 0,6 + 200 ∙ 0,3 + 500 ∙ 0,09 + 8000 ∙ 0,01 = 245 (руб) – математическое ожидание

2) 400 – 245 = 155 (руб) – превышение цены билета

Ответ: 155

Математика. ЕГЭ-2023. Тематический тренинг. 10-11-е классы/ под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова, 2022

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень

ЕГЭ 2024. Математика. Профильный Уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий Пособие Ященко ИВ, 2023

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень

Задача 5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,2. Вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе» равна 0,6. Считая эти события независимыми, найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе

​

Решение:

​

​

ЕХ = 0 ∙ 0,32 + 1 ∙ 0,56 + 2 ∙ 0,12 = 0,8

​

Ответ: 0,8

Сайт Д. Гущина «Сдам ГИА: Решу ЕГЭ» Математика профильного уровня

Р(останется в обоих) = 0,8 ∙ 0,4 = 0,32

Р(закончится в обоих автоматах) = 0,2 ∙ 0,6 = 0,12

P(закончится в одном) = 1 – 0,12 – 0,32 = 0,56

https://mathb-ege.sdamgia.ru/prob-catalog

Ресурсы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

https://math-ege.sdamgia.ru/test?category_id=130&filter=all

Ресурсы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Ресурсы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ

Обновленный банк ФИПИ

Старый банк ФИПИ

Первичность статистики

• Наблюдая изменчивые величины, угадывая их тенденции, пытаясь понять, какие факторы формируют рассеивание, мы встречаем закономерности
• Возникают вопросы о природе средних, о том, можно ли понять, как устроены тенденции, в каких случаях они схожи, как могут вести себя колебания. Ответы на эти вопросы дает теория вероятностей. Она вторична. Первично наблюдение
• Теория вероятностей дает математическую базу описанию изменчивости, подобно тому как геометрия дает математическую основу любому профессиональному рисунку от живописи до чертежей

Вебинар издательства «Экзамен» «Методика преподавания вероятности» Высоцкий И. Р. - автор пособий по математике, заместитель председателя федеральной комиссии по разработке КИМ ЕГЭ, декабрь 2023г

Законы распределения случайной величины

10 – 11 классы

https://urok.1c.ru/share/task/0e901d116733745b51ab3409fffd85a6/

1С:Урок. Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины

10 класс

Биномиальное распределение

• Биномиальное распределение описывает вероятность достижения k успехов в n биномиальных (имеющих два исхода) экспериментах

​

​

1С: Урок

• https://urok.1c.ru/share/task/a37bf7e3c05a1d70dbaeb10496249474/

​

10 класс

Геометрическое распределение

• Геометрическое распределение описывает вероятность испытать определенное количество неудач, прежде чем испытать первый успех в серии биномиальных экспериментов.

​

• Методические рекомендации по работе с моделями 1С:Урок

https://urok.1c.ru/library/mathematics/virtualnye_laboratorii_po_matematike_7_11_kl/teoriya_veroyatnostey/dopolnitelnye_modeli/193505.phd

10 класс

Сходства и различия биномиального и геометрического распределений

Сходства

• Результат экспериментов можно классифицировать как «успех» или «неудача»
• Вероятность успеха одинакова для каждого испытания
• Каждое испытание является независимым.

​

Различия

• В биномиальном распределении – фиксированное количество попыток (подбросить монету 3 раза).
• В геометрическом распределении – количество попыток, необходимых до тех пор, пока не наступит успех (сколько бросков нужно сделать, прежде выпадет, например, «решка»)

​

10 класс

Нормальное распределение

11 класс

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, симметрично относительно среднего значения, показывающим, что данные около среднего значения встречаются чаще, чем данные, далекие от среднего значения.

Описывает случайную изменчивость в ряде природных явлений.

​

1С:Урок. Закон распределения непрерывной случайной величины

https://urok.1c.ru/share/task/caaaebf9c0383dbadd76e5b715a84042/

11 класс

Используемая литература и ресурсы

• Комбинаторика. Статистика. Вероятность/ Шахмейстер А.Х. – М.: МЦНМО, 2012
• Статистика и котики/ Савельев Владимир. – Москва : Издательство АСТ, 2021. – (Звезда нонфикшн).
• Статистика : учебник / И.В. Гладун. — 3-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2017. — (Среднее профессиональное образование)
• Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни / Сергей Борисович Самойленко. — Москва : Манн, Иванов и Фербер, 2022
• 1С:Урок https://urok.1c.ru/library/
• Вероятность в школе https://ptlab.mccme.ru/
• Лекторий учителей математики https://www.youtube.com/live/JMXcqmQ1iOw?feature=share
• Цикл вебинаров Академии Министерства Просвещения https://www.youtube.com/live/fUneePxDsts?feature=share
• KhanAcademyRussian. Курс «Статистика и теория вероятностей» https://youtube.com/playlist?list=PLxGo9dxQkqWCJBpHTlDUBrjUni4srjj4U&si=7m7aqBbQciWJSymT
• https://tidydata.ru/rebelytics/basic-statistics
• https://bigdevops.ru/article/predstavlenie-kvartiley-podobno-kvartile-v-forme-krivoy-normalnogo-raspredeleniya

Статистика

Жукова Юлия Николаевна,

учитель математики

МОУ «СОШ №64 им. Б. Ручьева» г. Магнитогорска