SIMULAÇÃO E MODELAGEM

Semana 04 - Aula 11

Redes de filas abertas

Prof. Anibal Tavares de Azevedo

Sistemas de filas em série: Aula 10

https://colab.research.google.com/drive/1jL85GnO8f5059PmY8grh1a98nmH3se9p?usp=sharing

Sistemas maiores e mais complexos: combinando modelos M/M/1 e M/M/s

A partir de deduções matemáticas é possível aplicar as equações de um ou múltiplos servidores em configurações mais complexas: em série ou em rede:

Sistemas de filas em série

Sistemas maiores e mais complexos: combinando modelos M/M/1 e M/M/s

A partir de deduções matemáticas é possível aplicar as equações de um ou múltiplos servidores em configurações mais complexas: em série ou em rede:

Sistemas de filas em série

Redes de filas abertas

Prova matemática que o retrabalho não compensa

Utilizando o equacionamento de redes de filas abertas é possível provar que o retrabalho de 33% irá levar o sistema a um incremento na taxa de chegada de 50%!

Prova matemática que o retrabalho não compensa

Utilizando o equacionamento de redes de filas abertas é possível provar que o retrabalho de 33% irá levar o sistema a um incremento na taxa de chegada de 50%!

Sistemas de filas em série: Dados

Sistemas de filas em série: Modelo

Caminhões

Estimativa

semanal produtos

λ

Caixas/hora

Sistemas de filas em série: Estágio 1

Caminhões

1

Docas

Estimativa

semanal produtos

1

2

3

4

μ₁

λ

Caixas/hora

Sistemas de filas em série: Estágio 2

Caminhões

1

Docas

Picking

Estimativa

semanal produtos

1

2

3

4

1

2

3

μ₁

μ₂

2

λ

Caixas/hora

Sistemas de filas em série: Entrada

Caminhões

1

Docas

Armazenagem

Picking

Estimativa

semanal produtos

1

2

3

4

1

2

3

μ₁

μ₂

2

1

2

3

μ₃

3

λ

Caixas/hora

Sistemas de filas em série: Recursos

Caminhões

1

Docas

Armazenagem

Picking

Estimativa

semanal produtos

1

2

3

4

1

2

3

μ₁

μ₂

2

1

2

3

μ₃

3

#E

#C

λ

Caixas/hora

Sistemas de filas em série: Saída

Caminhões

1

Docas

Armazenagem

Picking

Estimativa

semanal produtos

1

2

3

4

1

2

3

μ₁

μ₂

2

1

2

3

μ₃

3

λ

Caixas/hora

λ

Modelo Equivalente de redes de filas

Estratégia de solução:

• Dividir para conquistar;
• Reduzir a um caso conhecido: M/M/1 e M/M/s.

Modelo Equivalente de redes de filas

Estratégia de solução:

• Dividir para conquistar;
• Reduzir a um caso conhecido: M/M/1 e M/M/s.

Redes de Filas

Modelo Equivalente

Fluxo x probabilidade outros estágios

Estágio j

Modelo Equivalente de redes de filas

r_j

Estágio j

∙∙∙

r_j - chegadas fora do sistema no estágio j.

j=1,2,...,K

Chegada de clientes no

estágio j e que provém

de outros estágios

Chegada de clientes no

estágio j e que são de

fora do sistema

Redes de Filas

j=1,2,...,K

Redes de Filas

Sistema linear para determinar λ_j

O valor de L é obtido ao se somar o número esperado de clientes em cada estágio L_j.

Redes de Filas

Estágio j

∙∙∙

Estágio i

∙∙∙

Estágio 1

∙∙∙

Estágio K

∙∙∙

∙∙∙

Redes de Filas

Para encontrar W basta usar L = λW para todo o sistema e usar λ = r₁ + r₂ + ... + r_K, tal que λ representa o número médio de clientes que chegam ao sistema.

​

​

​

​

​

​

​

​

Servidor 1

​

​

​

​

​

Estágio 1

Estágio 2

​

​

​

​

​

​

​

​

Servidor 2

​

​

​

​

Taxa

r₁ = 8

Taxa

r₂ = 17

Exemplo 1

​

​

​

​

μ₁ = 20

peças/hora

​

​

Estágio 1

Estágio 2

​

​

μ₂ = 30

peças/hora

Exemplo 1

​

​

​

​

Servidor 1

​

Estágio 1

Estágio 2

​

​

​

Servidor 2

Exemplo 1

Peças

prontas

1/2

1/2

​

​

​

​

Servidor 1

​

Estágio 1

Estágio 2

​

​

​

Servidor 2

Exemplo 1

Peças

prontas

3/4

1/4

​

​

​

μ₁ = 20

peças/hora

​

Estágio 1

Estágio 2

​

​

​

μ₂ = 30

peças/hora

​

Exemplo 1

Peças

prontas

3/4

1/4

Peças

prontas

1/2

1/2

Taxa

r₁ = 8

Taxa

r₂ = 17

Modelo Equivalente

Modelo Equivalente

Exemplo 1

Sejam r₁ = 8 clientes por hora e r₂ = 17 clientes por hora. Além disso, p₁₂ = 0,5, p₂₁ = 0,25, p₁₁ = p₂₂ = 0. Para encontrar λ₁ e λ₂ basta resolver o seguinte sistema:

, j=1,2,...,K

Exemplo 1

Sejam r₁ = 8 clientes por hora e r₂ = 17 clientes por hora. Além disso, p₁₂ = 0,5, p₂₁ = 0,25, p₁₁ = p₂₂ = 0. Para encontrar λ₁ e λ₂ basta resolver o seguinte sistema:

Exemplo 1

Exemplo 1

https://colab.research.google.com/drive/1PMu0dhMrWZvC_iooyc1XnWC30xAtKr9m?usp=sharing

Exemplo 1

(A)Qual fração do tempo o servidor 1 está ocioso?

Agora o primeiro servidor pode ser tratado como um modelo M/M/1/GD/∞/∞ com λ₁ = 14 clientes por hora e μ₁= 20 clientes por hora. Se ρ = λ₁/μ₁ =14/20 = 7/10 = 0,7, então:

π₀ = (1 - ρ) = (1 - 0,7) = 0,3

30% do tempo ocioso

Exemplo 1

(B) Número esperado de clientes no sistema?

No primeiro servidor usa-se um modelo M/M/1/GD/∞/∞ com λ₁ = 14 clientes por hora e μ₁ = 20 clientes por hora. Se ρ = λ₁/μ₁ = 14/20 = 0,7:

Exemplo 1

(B) Número esperado de clientes no sistema?

No segundo servidor usa-se um modelo M/M/1/GD/∞/∞ com λ₂ = 24 clientes por hora e μ₂ = 30 clientes por hora. Se ρ = λ₂/μ₂ = 24/30 = 0,8:

Exemplo 1

(B) Número esperado de clientes no sistema?

O número médio de clientes no sistema é a soma do número médio de clientes em cada servidor, isto é: 7/3 + 4 = 19/3 clientes em média estarão presentes no sistema.

Exemplo 1

(C) Qual o tempo médio do cliente no sistema?

λ = r₁ + r₂ + ... + r_K = 8 + 17 = 25 clientes/hora

Seja L = 19/3 e:

Em um drive-through com 1

atendente 10 carros chegam

por hora. Assumir que o

tempo médio de serviço

por cliente é de 4 minutos

e tanto o tempo entre as

chegadas e o tempo de

atendimento seguem distribuição exponenciais.

A. Qual a probabilidade do servidor estar ocioso?

B. Em média qual o tamanho da fila?

C. Em média quanto tempo um carro gasta no sistema?

π₀ = (1 - ρ)

W = L / λ

ρ = 1/3

Semana 03 - Aula 08

https://colab.research.google.com/drive/1zXmsziQLiHp5o62W4CpqVazQmf4QZK9Y?usp=sharing

Mapas Mentais da Semana 04

https://drive.google.com/file/d/1YeCgIR378VVCXTWLtxmqLqKq3yBHiFsD/view?usp=sharing

Sistemas de filas em série: Modelo

Caminhões

1

2

3

Docas

Armazenagem

Empilhadeiras

Picking

#

Colaboradores

Estimativa

semanal pedidos