Рівняння. �Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Вчитель: Мартинишин Леся

Володимирівна

Цілі:

-формування предметних компетентностей: повторити способи розв'язу-

вання основних рівнянь, продовжити роботу над виробленням умінь застосовувати вивчені формули для розв'язування рівнянь; повторити методи розв’язування рівнянь, формувати вміння застосовувати отримані знання під час розв'язування рівнянь.

-формування ключових компетентностей:

спілкування державною мовою: формувати вміння аналізувати та робити висновки; грамотно висловлюватися рідною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло висловлювати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень;

-соціальна і громадянська компетентності: уміння висловлювати власну думку, слухати і чути інших, співпрацювати в команді, сприяти вихованню позитивної мотивації навчання, зацікавленість математикою, організованість, колективізм, дисциплінованість;

-інформаційно-цифрова: усвідомлення важливості ІКТ для ефективного розв'язування математичних задач;

-ініціативність та підприємливість: вирішувати життєві проблеми, аналізувати, прогнозувати, ухвалювати оптимальні рішення, аргументувати та захищати свою позицію, шукати оптимальні способи розв'язання життєвого завдання.

Область визначення рівняння

Нехай задано дві функції

y = f (x) та y = g (x) і поставлено задачу знайти множину значень аргументу x, при яких значення функцій f і g рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв’язати рівняння f (x) = g (x).

Областю визначення рівняння f (x) = g (x) називають множину значень змінної x, при яких мають зміст обидві частини рівняння.

З означення випливає, що областю визначення рівняння

f (x) = g (x) є множина

D (f) ∩ D (g).

​

Кожний корінь рівняння обов’язково належить його області визначення.

Рівняння f₁ (x) = g₁ (x),

f₂ (x) = g₂ (x) називають рівносильними, якщо множини їх коренів рівні

​

​

Рівносильні рівняння

​

Розглянемо два рівняння:

​

Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені: –2 і 2.

У таких випадках кажуть, що рівняння x² = 4 і |x| = 2

рівносильні

​

Рівносильні рівняння

Якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин рівняння відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

​

Розглянемо рівняння виду

​

​

де f(x) і g(x) – многочлени.

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Наприклад:

Дане рівняння рівносильне системі:

Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональними

Будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна звести до рівняння виду:

де f(x) і g(x) – многочлени.

Наприклад:

;

;

;

;

Турист проплив на човні 3 км за течією річки та 2 км проти течії за 30 хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2км/год.��Розв'язування� Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює х км/год. Тоді його швидкість за течією річки становить (х + 2) км/год, а поти течії – (х - 2)км/год. Оскільки весь шлях було пройдено за 30 хв = 0,5 год, �то маємо рівняння: �

Наприклад:

Бажаю успіхів

Вчитель: Мартинишин Л.В.