Pembahasan
Soal Halaman 18-19 (Pilihan Ganda)
Fungsi Invers dan Komposisi Fungsi
Matematika SMA/MA Kelas XI
@gurumatematis
@gurumatematis
Nomor 1 — Hitung Nilai Komposisi
f(x)=2x²+5x−7 dan g(x)=3x−12
B
jawaban
Ditanya: (g ∘ f)(2) = g(f(2))
kerjakan f(2)
masukkan ke g
dapat hasil
1
Cari f(2)
f(2)=2(2)²+5(2)−7
=8+10−7
=11
2
Substitusi ke g
g(11)=3(11)−12
=33−12
=21
3
Kesimpulan
(g ∘ f)(2)=21
Jawaban: B
Catatan: g ∘ f dibaca “g setelah f”.
@gurumatematis
Nomor 2 — Rumus (f ∘ g)(x)
f(x)=x²−12x+10 dan g(x)=2x+1
E
jawaban
Ditanya: rumus dari (f ∘ g)(x) = f(g(x))
(f ∘ g)(x) = f(2x+1)
1
Substitusi g(x) ke f(x)
f(2x+1)=(2x+1)²−12(2x+1)+10
2
Uraikan bentuk kuadrat
=4x²+4x+1−24x−12+10
3
Gabungkan suku sejenis
=4x²−20x−1
Jawaban: E
Ingat: (2x+1)² = 4x² + 4x + 1.
@gurumatematis
Nomor 3 — Rumus (g ∘ f)(x)
f(x)=2x+3 dan g(x)=3x²−5x+1
C
jawaban
Ditanya: (g ∘ f)(x) = g(f(x))
g(2x+3)=3(2x+3)²−5(2x+3)+1
1
Kembangkan
3(4x²+12x+9)−10x−15+1
2
Kalikan dan rapikan
12x²+36x+27−10x−14
3
Hasil akhir
12x²+26x+13
Jawaban: C
Kunci: karena g ∘ f, maka bentuk 2x+3 masuk menggantikan x pada g(x).
@gurumatematis
Nomor 4 — Menentukan g(x)
f(x)=x−7 dan (f ∘ g)(x)=x²+12x+35
A
jawaban
Karena f(x)=x−7, maka f(g(x))=g(x)−7.
g(x)−7 = x² + 12x + 35
1
Pindahkan −7 ke ruas kanan
g(x)=x²+12x+35+7
2
Sederhanakan
g(x)=x²+12x+42
Jadi fungsi g(x) adalah x² + 12x + 42.
Jawaban: A
Strategi: jika f mengurangi 7, maka g(x) harus ditambah 7 dari hasil komposisi.
@gurumatematis
Nomor 5 — Menemukan Fungsi f
g(x)=2x+6 dan (f ∘ g)(x)=4x²+22x+18
A
jawaban
Kita ingin bentuk f(x), bukan f(g(x)). Maka ubah g(x) menjadi variabel baru.
1
Misalkan u = g(x)
u=2x+6
2x=u−6
x=(u−6)/2
2
Ganti x pada komposisi
f(u)=4((u−6)/2)²+22((u−6)/2)+18
3
Sederhanakan
f(u)=(u−6)²+11u−66+18
=u²−12u+36+11u−48
=u²−u−12
Karena variabel bebas boleh diganti, maka f(x)=x²−x−12.
Jawaban: A
Tips: metode “misal u = g(x)” sangat cepat untuk mencari rumus f.
@gurumatematis
Nomor 6 — Hitung Nilai Komposisi
f(x)=(2x−1)³−4 dan g(x)=1/2 + 1/2 ∛(x+4)
E
jawaban
Ditanya: (g ∘ f)(2) = g(f(2))
hitung f(2)
masukkan ke g
dapat hasil
1
Cari f(2)
f(2)=(2·2−1)³−4
=(4−1)³−4
=3³−4=23
2
Substitusi ke g
g(23)=1/2 + 1/2 ∛(23+4)
=1/2 + 1/2 ∛27
=1/2 + 3/2
3
Kesimpulan
(g ∘ f)(2)=2
Jawaban: E
Catatan: ∛27 = 3.
@gurumatematis
Nomor 7 — Rumus (g ∘ f)(x)
f(x)=3/(x+2), x≠−2 dan g(x)=1−2x
B
jawaban
Ditanya: (g ∘ f)(x) = g(f(x))
g(f(x)) = 1 − 2·(3/(x+2))
1
Substitusi f(x) ke g(x)
(g ∘ f)(x)=1−6/(x+2)
2
Samakan penyebut
= (x+2)/(x+2) − 6/(x+2)
3
Sederhanakan
= (x+2−6)/(x+2)
= (x−4)/(x+2), x≠−2
Jawaban: B
Domain mengikuti f(x), yaitu x tidak boleh −2.
@gurumatematis
Nomor 8 — Rumus (f ∘ g)(x)
f(x)=2x²−5x+3 dan g(x)=2x+4
B
jawaban
Ditanya: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
f(2x+4)=2(2x+4)²−5(2x+4)+3
1
Kembangkan
2(4x²+16x+16)−10x−20+3
2
Kalikan dan rapikan
8x²+32x+32−10x−17
3
Hasil akhir
8x²+22x+15
Jawaban: B
Ingat: (2x+4)² = 4x² + 16x + 16.
@gurumatematis
Nomor 9 — Mencari f(−2)
(f ∘ g)(x)=4x²+8x−3 dan g(x)=2x+4
E
jawaban
Kita butuh f(−2). Cari nilai input x sehingga g(x)=−2.
1
Cari x dari g(x)=−2
2x+4=−2
2x=−6
x=−3
2
Gunakan komposisi
Jika g(−3)=−2, maka
(f ∘ g)(−3)=f(−2)
3
Hitung nilainya
f(−2)=4(−3)²+8(−3)−3
=36−24−3
=9
Jadi nilai f(−2) = 9.
Jawaban: E
Strategi: target output g(x) disamakan dengan input yang diminta pada f.
@gurumatematis
Nomor 10 — Menentukan x jika f(x)=11
g(x)=2x−3 dan (f ∘ g)(x)=4x²−16x+18
C
jawaban
Ubah dulu rumus komposisi menjadi rumus fungsi f.
1
Misalkan u = g(x)
u=2x−3
2x=u+3
x=(u+3)/2
2
Bentuk f(u)
f(u)=4((u+3)/2)²−16((u+3)/2)+18
=(u+3)²−8(u+3)+18
3
Sederhanakan f
f(u)=u²+6u+9−8u−24+18
=u²−2u+3
Jadi f(x)=x²−2x+3
f(x)=11 ⇒ x²−2x+3=11 ⇒ x²−2x−8=0 ⇒ (x−4)(x+2)=0
Jadi x = 4 atau x = −2. Jawaban: C
Hati-hati: huruf x pada soal akhir adalah input fungsi f, bukan input awal komposisi.
@gurumatematis
Nomor 11 — Menentukan Nilai a
f(x)=x² dan g(x)=1−2x, diketahui (f ∘ g)(a)=25
D
jawaban
Ditanya: nilai a yang memenuhi (f ∘ g)(a)=25.
1
Bentuk komposisi
(f ∘ g)(a)=f(g(a))
=(1−2a)²
2
Samakan dengan 25
(1−2a)²=25
1−2a=±5
3
Cari kemungkinan a
1−2a=5 → a=−2
1−2a=−5 → a=3
Karena pilihan yang tersedia adalah 3, maka jawabannya D.
Dari dua hasil, ambil yang terdapat pada opsi jawaban.
@gurumatematis
Nomor 12 — Nilai Invers Komposisi
f(x)=3x+1 dan g(x)=(2x−1)/(x+3)
A
jawaban
Ditanya: (g ∘ f)⁻¹(−2).
(g ∘ f)(x)=g(3x+1)=(6x+1)/(3x+4)
1
Misalkan y komposisi
y=(6x+1)/(3x+4)
2
Selesaikan untuk x
y(3x+4)=6x+1
3xy+4y=6x+1
x(3y−6)=1−4y
3
Rumus invers
x=(1−4y)/(3y−6)
(g ∘ f)⁻¹(x)=(1−4x)/(3x−6)
(g ∘ f)⁻¹(−2) = (1−4(−2))/(3(−2)−6) = 9/(−12) = −3/4. Jawaban: A
Strategi: cari rumus komposisinya dulu, kemudian cari invers.
@gurumatematis
Nomor 13 — Invers dari Komposisi
f(x)=x+3 dan g(x)=2x−1
E
jawaban
Ditanya: (f ∘ g)⁻¹(6).
1
Cari komposisi
(f ∘ g)(x)=f(2x−1)
=(2x−1)+3
=2x+2
2
Cari invers
Misal y=2x+2
y−2=2x
x=(y−2)/2
3
Substitusi x=6
(f ∘ g)⁻¹(6)=(6−2)/2
=4/2
=2
Jadi nilai (f ∘ g)⁻¹(6) = 2. Jawaban: E
Invers mengembalikan nilai output menjadi input asal.
@gurumatematis
Nomor 14 — Rumus (g ∘ f)⁻¹(x)
f(x)=(x−1)/x, x≠0 dan g(x)=x+3
E
jawaban
Ditanya: fungsi invers dari (g ∘ f)(x).
1
Cari komposisi
(g ∘ f)(x)=g(f(x))
=(x−1)/x + 3
2
Sederhanakan
(x−1)/x + 3x/x
=(4x−1)/x
=4−1/x
3
Cari invers
y=4−1/x
1/x=4−y
x=1/(4−y)
Maka (g ∘ f)⁻¹(x)=1/(4−x), dengan x≠4. Jawaban: E
Perhatikan syarat domain hasil invers: penyebut tidak boleh nol.
@gurumatematis
Nomor 15 — Invers dari h(x)
f(x)=2x+4, g(x)=(2x+5)/(x−4), dan h(x)=(g ∘ f⁻¹)(x)
C
jawaban
Ditanya: h⁻¹(x).
1
Cari f⁻¹(x)
y=2x+4
x=(y−4)/2
Jadi f⁻¹(x)=(x−4)/2
2
Cari h(x)
h(x)=g((x−4)/2)
=(x+1)/((x−12)/2)
=2(x+1)/(x−12)
3
Cari invers h
y=2(x+1)/(x−12)
y(x−12)=2x+2
x(y−2)=12y+2
h⁻¹(x)=(12x+2)/(x−2), x≠2. Jawaban: C
Langkah penting: kerjakan f⁻¹ lebih dahulu karena h(x)=g(f⁻¹(x)).
@gurumatematis
Nomor 16 — Menentukan f(2x−4)
Diketahui g(x)=3x+1 dan (f ∘ g)(x)=x²+3
C
jawaban
Ditanya: f(2x−4).
1
Gunakan bentuk g(t)
g(t)=3t+1.
Misalkan u=g(t), maka t=(u−1)/3.
2
Bentuk fungsi f
(f ∘ g)(t)=f(g(t))=t²+3.
Jadi f(u)=((u−1)/3)²+3.
3
Substitusi u=2x−4
f(2x−4)=((2x−4−1)/3)²+3
= (2x−5)²/9 + 3
Jadi f(2x−4) = (2x−5)²/9 + 3. Jawaban: C
Kunci: balik g(x)=3x+1 agar input asli f dapat diketahui.
@gurumatematis
Nomor 17 — Nilai x pada Komposisi
f(x)=3x²−4x+6 dan g(x)=2x−1, diketahui (f ∘ g)(x)=101
A
jawaban
Ditanya: nilai x yang memenuhi persamaan.
1
Substitusi g ke f
(f ∘ g)(x)=f(2x−1)
=3(2x−1)²−4(2x−1)+6
2
Sederhanakan
=3(4x²−4x+1)−8x+4+6
=12x²−20x+13
3
Samakan dengan 101
12x²−20x+13=101
12x²−20x−88=0
3x²−5x−22=0
(3x−11)(x+2)=0 → x=11/3 atau x=−2. Jadi x=3⅔ dan −2. Jawaban: A
Faktorkan persamaan kuadrat setelah nilai komposisi disamakan dengan 101.
@gurumatematis
Nomor 18 — Menghitung (f ∘ g ∘ h)(x)
f(x)=x²−x, g(x)=2x+3, dan h(x)=1−3x
C
jawaban
Ditanya: hasil dari (f ∘ g ∘ h)(x).
1
Mulai dari h(x)
h(x)=1−3x
2
Masukkan ke g
g(h(x))=2(1−3x)+3
=2−6x+3
=5−6x
3
Masukkan ke f
f(5−6x)=(5−6x)²−(5−6x)
=36x²−60x+25−5+6x
(f ∘ g ∘ h)(x)=36x²−54x+20. Jawaban: C
Urutan pengerjaan: h dahulu, lalu g, lalu f.
@gurumatematis
Nomor 19 — Nilai Komposisi di x=2
f(x)=−1/2 x, g(x)=2x+4, dan h(x)=x²−2
E
jawaban
Ditanya: (f ∘ g ∘ h)(2).
1
Hitung h(2)
h(2)=2²−2
=4−2
=2
2
Masukkan ke g
g(h(2))=g(2)
=2(2)+4
=8
3
Masukkan ke f
f(8)=−1/2(8)
=−4
Jadi (f ∘ g ∘ h)(2)=−4. Jawaban: E
Untuk komposisi nilai tertentu, hitung bertahap dari fungsi paling kanan.
@gurumatematis
Nomor 20 — Rumus (h ∘ f ∘ g)(x)
f(x)=3x+2, g(x)=2x²−4, h(x)=(x+3)/(2x−1)
A
jawaban
Ditanya: (h ∘ f ∘ g)(x).
1
Mulai dari g(x)
g(x)=2x²−4
2
Masukkan ke f
f(g(x))=3(2x²−4)+2
=6x²−12+2
=6x²−10
3
Masukkan ke h
h(6x²−10)=((6x²−10)+3)/(2(6x²−10)−1)
=(6x²−7)/(12x²−21)
(6x²−7)/(12x²−21) = (6x²−7)/(3(4x²−7)). Jawaban: A
Penyebut akhir tidak boleh nol, sehingga 4x²−7 ≠ 0.