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Tema 10�FUNCIONES

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Estándares

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Contenido

  1. Concepto de función
  2. Formas de expresar una función
    1. Función definida por un enunciado
    2. Función definida por una ecuación
    3. Función definida por una tabla de valores
    4. Expresión de una función mediante una gráfica
  3. Características de una función
    • Dominio
    • Recorrido
    • Continuidad
    • Puntos de corte
    • Crecimiento y decrecimiento
    • Máximos y mínimos
    • Periodicidad
    • Simetría

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1. Concepto de función

Una función es una relación entre variables x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x se denomina variable independiente y la variable y, variable dependiente.

Si al trazar una línea perpendicular en algún punto de la relación esta corta en más de un punto, esta no será una función.

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Actividad

Identifica de estos pares de relaciones cuál es la función

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2. Formas de expresar una función

2.1. Función definida por un enunciado

En un teatro cada entrada cuesta 10 €. La relación entre las entradas vendidas y la recaudación es una función porque para cada valor de número de entradas (variable independiente) corresponde un único valor de y (variable dependiente).

Variable independiente: número de entradas

Variable dependiente: recaudación.

1 entrada= 10 €

2 entradas= 20 €

3 entradas 30 €

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2.2. Función definida por una ecuación

Si en el ejemplo anterior damos a la variable independiente el valor “x” y a la variable dependiente “y”, obtenemos la ecuación que define nuestra función.

Variable independiente: número de entradas=x

Variable dependiente: recaudación=y

Recaudación=número de entradas*precio entrada

​

Y = X * 10

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2.3. Función definida por una tabla de valores

Las variables x e y de una función se pueden representar en una tabla de valores.

Entradas (x)

1

5

10

15

20

Recaudación (y)

10

50

100

150

200

2.4. Expresión de una función mediante gráfica

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Ejercicio 6 página 223

Determina la ecuación de la función que asocia a cada número su doble menos 3 unidades. Calcula f(8), f(-4) y f(10).

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Ejercicio 7 página 223

Halla la expresión algebraica de la función que pasa una medida expresada en metros a la misma medida expresada en centímetros.

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Actividad

Escribe la función y dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

  1. El doble de un número más dos unidades.
  2. La mitad de un número menos 3 unidades.
  3. El cuadrado de un número más 1.
  4. La distancia recorrida por un coche que circula a 60km/h en función del tiempo.

​

​

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Ejercicio 13 página 225

Un grifo, que arroja 4 litros de agua por minuto, se mantiene abierto hasta llenar un depósito de 200 litros. Representa la gráfica de la función que relaciona los minutos durante los que está abierto un grifo con:

  1. La cantidad de agua arrojada.
  2. La cantidad de agua que falta para llenar el depósito.

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Ejercicio 14 página 225

Representa gráficamente la función que relaciona la longitud x con el perímetro de la figura en cada caso.

​

x

x/2

x+4

x+1

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3. Características de una función

3.1. Dominio y recorrido

  • El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (x). Se presenta como Dom f.
  • El recorrido de una función f(x) es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y). Se presenta por Im f.
  • La función toma valores en x desde x=-4 hasta x=3, por lo que:

Dom f=(-4,3]

​

La función toma valores en y desde y=-5 hasta y=4, por lo que:

Im f=[-5,4]

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  • Dominio de funciones discontinuas.

Dom f=[-5,2)U(3,5]

​

Im f=[-2,3]U{4}

Recuerda:

Un intervalo abierto () supone que el número no pertenece al intervalo.

​

Un intervalo cerrado [] supone que el número pertenece al intervalo.

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Para calcular el dominio de una función dada su ecuación, debemos calcular los puntos de no dominio, esto es, ver los puntos en los que no existe la función.

​

  • En las funciones polinómicas, su dominio son todos los números reales, no hay puntos de no dominio.

​

  • En funciones racionales (con x en el denominador), se iguala el denominador a 0 ya que no podemos dividir entre 0.

​

​

​

  • En funciones irracionales ( con raíz) se iguala el radicando (lo de dentro de la raíz) a 0, ya que no existen raíces negativas.

Puntos de no dominio

Dom f= R-{3}

Dom f=(2, ∞)

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Actividad

Dominio y recorrido de la siguiente función

​

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3.2. Continuidad

  • Una función es continua en los puntos de un intervalo si se puede dibujar sin levantar el lápiz.
  • Si al dibujarla, tengo que levantar el lápiz en algún momento, esto es un punto de discontinuidad.

FUNCIONES CONTINUAS

FUNCIONES DISCONTINUAS

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3.3. Puntos de Corte

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de intersección de la gráfica con ambos ejes de coordenas.

  • Puntos de corte con el eje x:
    • Se hace y=0 y se resuelve la ecuación.
    • Se obtienen puntos de la forma (x,0)
    • Puntos de corte con el eje y:
      • Se hace x=0 y se resuelve f(0).
      • Se obtienen puntos de la forma (0,y)

Eje x:

(-2,0) y (4,0)

​

Eje y:

(0,-3)

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Actividad

Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones:

​

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3.4. Crecimiento y Decrecimiento

Dada una función f(x) en un intervalo (a,b):

​

  • La función es creciente si f(a)<f(b), es decir, si su pendiente es positiva.

​

​

  • La función es decreciente si f(a)>f(b), es decir, si su pendiente es negativa.

​

​

  • La función es constante si f(a)=f(b), es decir, es una línea horizontal.

​

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3.5. Máximos y mínimos

Una función tiene un máximo en el punto x=a cuando pasa de ser creciente a ser decreciente (una montaña).

​

Una función tiene un mínimo en x=a cuando pasa de ser decreciente a ser creciente ( un valle).

​

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Ejercicio 30 página 230

Determina el crecimiento, el decrecimiento, los máximos y los mínimos de esta función:

​

​

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Interpretación gráfica

Esta gráfica representa la velocidad de descarga de datos en el móvil de Verónica a lo largo de un día.

¿ A qué hora consigue Verónica mayor velocidad en su móvil?

¿Cuándo es más lento?

¿En qué intervalos la velocidad aumentaba?

​

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3.6. Periodicidad

Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período. Es decir, se cumple que:

​

f(x)=f(x+T) = f(x+2T) =…, siendo T el valor del período.

​

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3.7. Simetría

  • Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje y), o función par, cuando f(-x)=f(x).

​

  • Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas, o función impar, cuando f(-x)=-f(x) o bien –f(x)=-f(-x).

​

Simétrica respecto del eje y.

Simétrica respecto del origen.

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A la simetría respecto al eje y, también se le llama simetría par porque es la representación de una función en la que todos los exponentes de la x son pares.

​

Esta representación corresponde a la función:

 

A la simetría respecto al origen, también se le llama simetría impar porque es la representación de una función en la que todos los exponentes de la x son impares.

​

Esta representación corresponde a la función:

 

 

 

 

 

Simetría par

Simetría impar

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Actividad

Comprueba si las siguientes funciones son simétricas, y si lo son, di de qué tipo:

​

​

 

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Y(beneficio)

X(meses)

1000

-1000

0

1

2

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X(tiempo en días)

1

2

Y(distancia en km)

10

20

0

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23

24

Y(personas)

0

4

5

6

7

3

2

1

40

160

120

80

200

240

X(hora del día)

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ºº

ºº

º

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ºº

º

º

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0

5

0

7

8

20

15

10

25

100

75

50

60

Eje x (horas)

Eje y (euros)

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