FUNÇÕES

UMA FUNÇÃO É UMA RELAÇÃO ENTRE DOIS CONJUNTOS, ONDE A CADA ELEMENTO DO CONJUNTO DE PARTIDA (DOMÍNIO) CORRESPONDE UM ÚNICO ELEMENTO DO CONJUNTO DE CHEGADA (CONTRADOMÍNIO).

1. VARIÁVEIS

• VARIÁVEL INDEPENDENTE (X): A VARIÁVEL QUE PODE SER MANIPULADA OU ESCOLHIDA LIVREMENTE. GERALMENTE, É A VARIÁVEL DE ENTRADA DE UMA FUNÇÃO.

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EXEMPLO: SE TIVERMOS UMA FUNÇÃO QUE CALCULA O CUSTO DE UMA VIAGEM DE TÁXI, O TEMPO DA VIAGEM PODE SER A VARIÁVEL INDEPENDENTE (QUANTO MAIS TEMPO, MAIOR O CUSTO).

• VARIÁVEL DEPENDENTE (Y OU f(X)): A VARIÁVEL QUE DEPENDE DO VALOR DA VARIÁVEL INDEPENDENTE. É O RESULTADO DA FUNÇÃO.

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EXEMPLO: CONTINUANDO COM O EXEMPLO DO TÁXI, O CUSTO DA VIAGEM É A VARIÁVEL DEPENDENTE, POIS DEPENDE DO TEMPO DA VIAGEM.

EXEMPLOS:

1) FUNÇÃO LINEAR:

f(x)=2x+3

AQUI, x É A VARIÁVEL INDEPENDENTE, E f(x) É A VARIÁVEL DEPENDENTE. O VALOR DE f(x) DEPENDE DO VALOR DE x.

EXEMPLOS:

• SE x = 1 → f(1) = 2(1) + 3 = 5
• SE x = 3 → f(3) = 2(3) + 3 = 9

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2) FUNÇÃO QUADRÁTICA:

f(x) = x² − 4x + 6

NOVAMENTE, x É A VARIÁVEL INDEPENDENTE, E f(x) É A DEPENDENTE. PARA DIFERENTES VALORES DE x, TEREMOS DIFERENTES VALORES DE f(x).

EXEMPLOS:

• SE x = 1 → f(1) = 2(1) + 3 = 5
• SE x = 3 →

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COMO IDENTIFICAR AS VARIÁVEIS DEPENDENTES E INDEPENDENTES?

EM UM GRÁFICO, A VARIÁVEL INDEPENDENTE NORMALMENTE FICA NO EIXO HORIZONTAL (EIXO x), E A VARIÁVEL DEPENDENTE FICA NO EIXO VERTICAL (EIXO y).

EXEMPLO DE GRÁFICO:

• SE ESTAMOS MEDINDO A DISTÂNCIA DE UM OBJETO AO LONGO DO TEMPO, O TEMPO (x) É A VARIÁVEL INDEPENDENTE E A DISTÂNCIA (y) É A VARIÁVEL DEPENDENTE.

EXERCÍCIOS:

1. VERIFIQUE QUAIS RELAÇÕES ABAIXO REPRESENTAM FUNÇÕES.

0 ●

​

4 ●

● 2

​

● 3

​

● 5

A

B

a)

-4 ●

-2 ●

0 ●

2 ●

4 ●

● 0

● 2

● 4

● 6

● 8

A

B

b)

2) SEJA A FUNÇÃO f : D → R DADA PELA LEI DE FORMAÇÃO f(x) = 5x +2, DE DOMÍNIO D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. DETERMINE O CONJUNTO IMAGEM DESSA FUNÇÃO.

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3) CONSIDERE f UMA FUNÇÃO COM DOMÍNIO NOS REAIS TAL QUE SUA LEI DE FORMAÇÃO É DADA POR y = 5x – 4. MONTE UMA TABELA RELACIONANDO PELO MENOS CINCO VALORES DE x e y.

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4) DADA A FUNÇÃO f : R → R por f(x) = x² + 2x, DETERMINE O VALOR DE f(2) + f(3) – f(1).

CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES

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• FUNÇÃO SOBREJETORA - O CONTRADOMÍNIO É IGUAL AO CONJUNTO IMAGEM. PORTANTO, TODO ELEMENTO DE B É IMAGEM DE PELO MENOS UM ELEMENTO DE A.

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NOTAÇÃO:

f: A → B, OCORRE A Im(f) = B

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Para a função :

• O domínio é {-4, -2, 2, 3}
• O contradomínio é {12, 4, 6}
• O conjunto imagem é {12, 4, 6}

• FUNÇÃO INJETORA - TODOS OS ELEMENTOS DE A POSSUEM CORRESPONDENTES DISTINTOS EM B E NENHUM DOS ELEMENTOS DE A COMPARTILHAM DE UMA MESMA IMAGEM EM B.

ENTRETANTO, PODEM EXISTIR ELEMENTOS EM B QUE NÃO ESTEJAM RELACIONADOS A NENHUM ELEMENTO DE A.

Para a função :

• O domínio é {0, 3, 5}
• O contradomínio é {1, 2, 5, 8}
• O conjunto imagem é {1, 5, 8}

• FUNÇÃO BIJETORA - OS CONJUNTOS APRESENTAM O MESMO NÚMERO DE ELEMENTOS RELACIONADOS. ESSA FUNÇÃO RECEBE ESSE NOME POR SER AO MESMO TEMPO INJETORA E SOBREJETORA.

Para a função acima:

• O domínio é {-1, 1, 2, 4}
• O contradomínio é {2, 3, 5, 7}
• O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}

RESTRIÇÃO DO DOMÍNIO

ALGUMAS FUNÇÕES REAIS APRESENTAM PROBLEMAS NO CÁLCULO DE IMAGENS PARA CERTOS VALORES DE x. A FUNÇÃO f(x) = 3/x NÃO ESTÁ DEFINIDA PARA x = 0.

COMO O ELEMENTO x = 0 NÃO POSSUI IMAGEM, DIZEMOS QUE ELE NÃO ESTÁ DEFINIDO NO DOMÍNIO DESSA FUNÇÃO.

PARA DETERMINAR O DOMÍNIO MÁXIMO DA FUNÇÃO COM QUE ESTAMOS TRABALHANDO, TEMOS QUE OBSERVAR DUAS CONDIÇÕES NECESSÁRIAS:

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• O DENOMINADOR DE QUALQUER FUNÇÃO DEVE SER DIFERENTE DE ZERO.

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• RADICANDO DE RAÍZES DE ÍNDICE PAR SÃO SEMPRE POSITIVOS.

EXERCÍCIOS

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1. DETERMINE A LEI DE FORMAÇÃO DAS FUNÇÕES:
1. O SUCESSOR DE UM NÚMERO NATURAL x.
2. O DOBRO DE UM NÚMERO x.
3. O PREÇO DA QUANTIDADE DE SACOS DE ARROZ x COMPRADA, SABENDO QUE UM SACO CUSTA R$3,50.

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2) SEJA A FUNÇÃO f:D → R DADA PELA LEI DE FORMAÇÃO f(x) = 5x + 2, DE DOMÍNIO D = {– 1, 0, 1, 2}. DETERMINE O CONJUNTO IMAGEM DESSA FUNÇÃO.

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3) CONSIDERE QUE O CONTRADOMÍNIO DA FUNÇÃO DO EXERCÍCIO ANTERIOR SEJA CD = {−3, 2, 7, 12, 15}. ASSIM, A FUNÇÃO DO EXERCÍCIO ANTERIOR SERIA INJETIVA, SOBREJETIVA OU BIJETIVA?

4) SEJA A FUNÇÃO REAL f(x) = mx + 5, COM m ∈ ℝ. SABENDO QUE f(2) = 3, CALCULE O VALOR DE f(8).

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5) QUAL É O DOMÍNIO REAL DA FUNÇÃO f(x) = 4x + 1 ?

x² − 4

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6) (UNICAMP, 2023) SOBRE UMA CERTA FUNÇÃO f(x) = x²+ p ⋅ x + q, SABE-SE QUE f(1) = 0 e f(−1) = 4. O VALOR DE f(10) é:

1. 100.
2. 81.
3. 64.
4. 49.
5. 36.

7) (ENEM, 2020) A EXPOSIÇÃO A BARULHOS EXCESSIVOS, COMO OS QUE PERCEBEMOS EM GERAL EM TRÂNSITOS INTENSOS, CASAS NOTURNAS E ESPETÁCULOS MUSICAIS, PODEM PROVOCAR INSÔNIA, ESTRESSE, INFARTO, PERDA DE AUDIÇÃO, ENTRE OUTRAS ENFERMIDADES. DE ACORDO COM A ORGANIZAÇÃO MUNDIAL DA SAÚDE, TODO E QUALQUER SOM QUE ULTRAPASSE OS 55 DECIBÉIS (UNIDADE DE INTENSIDADE DO SOM) JÁ PODE SER CONSIDERADO NOCIVO PARA A SAÚDE. O GRÁFICO FOI ELABORADO A PARTIR DA MEDIÇÃO DO RUÍDO PRODUZIDO, DURANTE UM DIA, EM UM CANTEIRO DE OBRAS.

NESSE DIA, DURANTE QUANTAS HORAS O RUÍDO ESTEVE ACIMA DE 55 DECIBÉIS?

1. 5.
2. 8.
3. 10.
4. 11.
5. 13.