Тема заняття:

​

Тригонометричні функції

числового аргументу.

Співвідношення між тригонометричними функціями

одного і того ж аргументу

​

План заняття

​

1. Одиничне коло. Радіанна та градусна міра кута. Формули переходу від градусної міри до радіанної і навпаки.
2. Означення синуса числового аргументу. Монотонність та знаки синуса на чвертях.
3. Означення косинуса числового аргументу. Монотонність та знаки косинуса на чвертях.
4. Означення тангенса. Вісь тангенсів.
5. Означення котангенса. Вісь котангенсів.
6. Таблиця значень тригонометричних функцій для деяких кутів.
7. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу

​

​

Актуалізація опорних знань

​

​

​

​

​

​

​

Встановити відповідність:

​

А) sinα А) відношення протилежного катета до прилеглого

​

Б) cosα Б) відношення протилежного катета до гіпотенузи

​

В) tgα В) відношення прилеглого катета до протилежного

​

Г) ctgα Г) відношення гіпотенузи до прилеглого катета

​

Д) відношення прилеглого катета до гіпотенузи

​

c

α

a

b

​

​

Питання №1

Одиничне коло. Радіанна та градусна міра кута. Формули переходу від градусної міри до радіанної і навпаки.

(метод проектів, презентація, тренувальні вправи)

​

​

Питання №2

​

​

​

​

​

Означення синуса числового аргументу.

Монотонність та знаки синуса на чвертях.

​

(методи – пояснення, ілюстрації, інформаційно - комунікативний)

​

P

​

Синусом числа α називається ордината точки Р_α, утвореної поворотом точки Рo (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається sin α)

​

Синус визначений для будь-якого

числа α.

Значення синуса змінюється

від (-1) до 1, тобто

​

​

Монотонність синуса в чвертях:

​

I чверть – зростає від 0 до 1

II чверть – спадає від 1до 0

III чверть – спадає від 0до (-1)

IV чверть – зростає від (-1) до 0

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

0

sinα

sinβ

sinγ

y

​

x

​

O

α

​

знаки синуса на чвертях

​

​

​

+

+

-

-

y

x

​

Вправа. Зобразити кут синус якого дорівнює

0

O

α

β

y

x

a

​

​

​

​

Означення косинуса числового аргументу.

Монотонність та знаки косинуса на чвертях.

​

(методи – пояснювально- ілюстративний, аналітичний)

​

​

Питання №3

Косинусом числа α називається абсциса точки Р_α,

утвореної по­воротом точки Р_α (1; 0)

навколо початку координат на кут в α радіан

(позначається cos α)

Косинус визначений для будь-якого числа α.

Значення косинуса змінюється від (-1) до 1,

тобто

​

Монотонність косинуса в чвертях:

​

I чверть – спадає від 1 до 0

II чверть – спадає від 0до (-1)

III чверть – зростає від (-1) до 0

IV чверть – зростає від 0 до 1

​

​

cosα

cosβ

y

​

x

O

α

​

знаки косинуса на чвертях

​

​

​

​

x

+

-

+

-

O

y

​

​

​

​

​

Означення тангенса.

Вісь тангенсів

​

(метод – пояснювально - ілюстративний)

​

​

​

Питання №4

​

В

І

С

ь

Т

А

Н

Г

Е

Н

С

І

в

Тангенсом числа α називається відношення

синуса числа α до його косинуса:

​

​

​

Тангенс визначений для всіх а,

крім тих значень, для яких cos α = 0,

​

тобто, α = + πn, n є Ζ.

​

Для розв'язування деяких задач корисно

мати уявлення про вісь тангенсів.

Проведемо дотичну t до одиничного кола

в точці Ρ_о. Нехай α — довільне число, для

якого cos α ≠ 0, тоді точка Р_α (cos α; sin α)

не лежить на осі ординат і пряма ОР_α

перетинає t в деякій точці Т_α з абсцисою 1.

Знайдемо ординату точки Т_α із ОР_оТ_α.

; у = tgα.

​

Таким чином, ордината точки перетину

прямих ОР_α і t дорівнює тангенсу числа α.

Тому пряму t називають віссю тангенсів.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

t

Т_α

​

Вправа. Зобразити кут тангенс якого дорівнює 1,5

t

1,5

y

x

0

​

​

​

​

​

Означення котангенса.

Лінія котангенсів

​

(методи – пояснювально – ілюстративний, навчальний тренінг)

​

​

Питання №5

​

​

Котангенсом числа α називається відношення

косинуса числа α до його синуса:

Котангенс визначений для всіх α, крім таких

значень, для яких sin α = 0, тобто, α = π n, n є Ζ.

Q_α

q

​

Введемо поняття осі котангенсів .

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці

Для довільного числа α, якщо sin α ≠ 0 і відповідно

точка Р_α (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма

ОР_α перетинає пряму q у деякій точці Q_α з ординатою,

що дорівнює 1.

Із трикутника маємо: , звідси х = ctg α.

Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОР_α і q

дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають

віссю котангенсів.

​

знаки тангенса і котангенса на чвертях

​

​

​

​

x

+

-

-

+

O

y

Завдання на закріплення

№1. Якій чверті належить Р_α, якщо:

а) sin α cos α > 0; б) sin α cos α < 0;

в) tg α cos α > 0; г) ctg α sin α < 0?

Відповідь: а) І або III;

б) II або IV;

в) І або II;

г) II або III.

№2. Визначте знак добутку:

а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1;

б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.

Відповідь: а) мінус;

б) плюс.

​

​

​

Питання №6

Таблиця

значень тригонометричних функцій деяких кутів

(метод – ілюстративний, тренувальні вправи)

​

​

​

Таблиця

значень тригонометричних функцій деяких кутів

Завдання на закріплення

№3. Обчисліть:

а) 3sin + 2cos – tg ;

б) 5sin +3tg – 5cos – 10ctg

Відповідь: а)

б)-7

​

Властивості та графіки тригонометричних функцій

Властивості та графіки

Перетворення графіків

Графіки елементарних функцій (повторення)

Функція y=sin x, її графік та властивості

Побудова синусоїди

​

​

у

​

1

-π/2 π 2π 3π х

-π 0 π/2 3π/2 5π/2

-1

​

Властивості �функції

Функція y = cos x, її властивості та графік

�Графік функції y= cos x

​

​

у

​

1

-π/2 π 2π 3π х

-π 0 π/2 3π/2 5π/2

-1

​

Властивості �функції

Функція y = tg x, її властивості та графік

1

-1

Побудова тангенсоїди

1

-1

Властивості �функції

Властивості �функції

Перетворення графіків функцій (повторення)

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

y = f(x - a)

треба перенести графік функції y=f(x)

на а одиниць

вздовж осі ОХ

Перетворення графіків функцій

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

y = f(x) + b

треба перенести графік функції y=f(x)

на b одиниць

вздовж вісі ОY

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

y = - f(x)

треба відобразити

графік функції y=f(x)

відносно вісі ОХ

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

y = k f(x)

треба розтягнути

графік функції y=f(x)

в k раз вздовж вісі ОУ

(точки перетину з віссю ОХ залишаються на місцях)

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

треба розтягнути

графік функції y = f(x)

в k раз вздовж вісі ОХ (точки перетину з віссю ОУ залишаються на місцях)

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції

треба частину графіка

функції y = f(x)

розташовану

нижче вісі ОХ

відобразити

відносно

цієї вісі

Знаходження періоду функції (Т)

1. Якщо аргумент функції x; x+T; x-T, то період Т дорівнює періоду функції
2. Якщо функція періодична з періодом Т₁‡0, то

y=A· f(kx+m)+B периодичная с периодом

Приклади:

1)

​

2)

y=sin4x

Т₁=2π

y=-4cos(x/3-1)+2

T₁=2π

​

​

Щоб побудувати графіки функцій, треба

y=cosx

y=cos2x

y=cos1/2x

Щоб побудувати графіки функцій, треба

y=sinx

y=sin(x+2)

y=sin(x-2)

​

​

Щоб побудувати графіки функцій, треба

y=cosx

y=2cosx

y=1/2cosx

1. побудувати графік y=cosx

2. Збільшити значення ордінати в 2 рази

період Т=2π

1. побудувати графік y=cosx

​

2. Зменшити значення ордінати в 2 рази

период Т=2π

y=-cosx

1. побудувати графік y=cosx
2. Виконати дзеркальне відображення відносно вісі Ох

​

​

Щоб побудувати графіки функцій, треба

y=sinx

y=sinx+2

y=sinx-2

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

1. побудувати графік y=sinx
2. перемістити графік на 2 одиниці вгору вздовж вісі Оy

​

1. побудувати графік y=sinx

1. перемістити графік на 2 одиниці вниз вздовж вісі Оy

​

період Т=2π

період Т=2π

Знайти період функції

y=tg2x

y=ctg(x+2)

y=tg1/2x

y=ctg(x-1)

y=tgx

y=ctgx

Т=π

Т=1/2π

Т=2π

Т=π

Т=π

Т=π

Записати властивості функцій

y=cos2x

y=cos1/2x

Властивості функції:

D(y)=R; E(y)=[-1;1];

Період: π ; Парна;

Зростає: [-π/2+πn;πn]

Спадає: [πn;π/2+πn]

Нулі функції:(π/4+1/2πn;0)

Точки max: πn;

Точки min: π/2+πn;

Властивості функції:

D(y)=R; E(y)=[-1;1];

Період: 4π ; Парна;

Зростає: [-2π+4πn;4πn]

Спадає: [4πn;2π+4πn]

Нулі функції:(π+2πn;0)

Точки max: 4πn;

Точки min: 2π+4πn;

​

​

​

​

​

​

​

Питання №7

Співвідношення між тригонометричними

функціями одного і того ж аргументу

(метод – доведення формул, тренувальні вправи)

​

1. Співвідношення між синусом і косинусом

cos² α + sin² α = 1- основна тригонометрична тотожність

(тригонометрична одиниця)

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом

,

.

Звідки, перемноживши ці рівності, матимемо

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і

синусом

Формули зведення

або

Тригонометричні функції чисел виду

можуть бути виражені через функції кута α за допомогою формул, які називаються формулами зведення.

Формули зведення

Формули зведення?!!!! Як ними користуватись?

Спосіб 1

Користуйся таблицею

Найлегший, проте з низьким ККД

Формули зведення?!!!! Як ними користуватись?

Спосіб 2

Вивчи напам'ять таблицю

Найважчий

Формули зведення?!!!! Як ними користуватись?

Спосіб 3

Вивчи напам'ять правило

Стандартний

Формули зведення?!!!! Як ними користуватись?

Спосіб 4

Мнемонічне правилоʹ

Швидкий для запамятовування

1. Чверть.

2. Знак.

3. Назва.

сканворд “тригонометричний”

​

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”

​

​

​

​

​

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”

​

​

​

2. 1/180 частина розгорнутого кута.

​

2. 1/180 частина розгорнутого кута.

​

​

​

​

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.

​

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.

​

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?

​

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?

​

5. Ордината точки одиничного кола

​

5. Ордината точки одиничного кола

​

6. Абсциса точки одиничного кола

6. Абсциса точки одиничного кола

7. Відношення синуса числа до його косинуса

​

7. Відношення синуса числа до його косинуса

​

​

8. Відношення косинуса числа до його синуса

8. Відношення косинуса числа до його синуса

9. Дотична до одиничного кола в точці

​

9. Дотична до одиничного кола в точці

​

​

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?

​

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?