Тема уроку:
Рівняння дотичної.
х
у
0
y = f (x)
х0
f(x0)
M0
Задача про дотичну до графіка функції.
y = k x + b
З курсу геометрії 9 класу відомо,
що рівняння невертикальної
прямої має вигляд: y = kx + b.
Використовуючи геометричний
зміст похідної, маємо: k = fʹ(х0).
Тоді рівняння дотичної можемо
записати в такому вигляді:
y = fʹ(х0)x + b.
Оскільки пряма проходить через точку M0 (х0; f(х0)), то її
координати задовольняють рівняння прямої.
Отже, будемо мати: f(х0) = fʹ(х0)х0 + b.
Звідки виражаємо b: b = f(х0) - fʹ(х0) х0.
Підставимо значення b в рівняння дотичної:
у = fʹ(х0) x + f(х0) - fʹ(х0) х0,
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0) – рівняння дотичної, проведеної до
графіка функції з абсцисою х0.
або
у - у0= k(x - х0) , де у0 = f(х0) , k =fʹ(х0) –кутовий коефіцієнт прямої
Приклад [ЗНО 2018].
Задано функцію f(х) = х2 – 3х – 4. Знайдіть значення
х = х0, за якого похідна функції f дорівнює 1. Запишіть
рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у
точці з абсцисою х0.
Розв’язування.
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0).
fʹ(х0) = (х0 2 – 3х0 – 4 ) ʹ = 2х0 –3; 2х0 – 3 = 1, х0 = 2.
f(х0) = х0 2 – 3х0 – 4 = 4 – 6 - 4 = - 6.
Підставимо отримані значення в рівняння дотичної:
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0); у = 1(x - 2) + (- 6) = х – 8.
Відповідь: у = х – 8.
Приклад.
Складіть рівняння дотичної до графіка функції
f(х) = х2 + 3х – 5, яка паралельна прямій у = 7х - 2.
Розв’язування.
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0).
Оскільки дотична паралельна прямій у = 7х - 2, то
k = fʹ(х0) = 7. Знайдемо абсцису точки, в якій проведено
дотичну, до графіка заданої функції.
fʹ(х0) = (х0 2 + 3х0 – 5 ) ʹ = 2х0 + 3; 2х0 + 3 = 7, х0 = 2.
f(х0) = х0 2 + 3х0 – 5 = 4 + 6 - 5 = 5.
Підставимо отримані значення в рівняння дотичної:
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0); у = 7(x - 2) + 5 = 7х - 9.
Відповідь: у = 7х – 9.
Приклад.
Складіть рівняння дотичної до графіка функції
f(х) = - х2 + 3, яка проходить через точку С(1; 3).
Розв’язування.
у = fʹ(х0)(x - х0) + f(х0).
fʹ(х0) = (- х0 2 + 3) ʹ = - 2х0;
f(х0) = - х0 2 + 3.
Підставимо отримані вирази в рівняння дотичної:
у = - 2х0(x - х0) + (- х0 2 + 3). Оскільки дотична проходить
через т. С(1; 3), то її координати задовольняють рівняння
дотичної. Маємо: 3 = - 2х0(1 - х0) + (- х0 2 + 3). Звідки
х0 = 0 або х0 = 2. Тоді у = 3 або у = - 4х + 7.
Відповідь: у = 3 або у = - 4х + 7.
4
Презентація створена вчителем математики
Житомирського міського ліцею №1 ЖМР
Панським Володимиром Анатолійовичем
2021