IA PUCP - Diplomado de Desarrollo de Aplicaciones de Inteligencia Artificial

Python para Ciencia de Datos

Álgebra Lineal Aplicada con Numpy

Parte II: Matrices

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Contenido

• Matrices
• Vectores-fila y Vectores-columna
• Slicing
• Matriz cero y Matriz Identidad
• Transpuesta de una matriz
• Adición, sustracción y multiplicación por escalar
• Norma

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Ver más en

Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2018). Introduction to applied linear algebra: vectors, matrices, and least squares. Cambridge university press.

PDF Gratuito en�http://vmls-book.stanford.edu/

Los slides están basados en http://vmls-book.stanford.edu/vmls-slides.pdf

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Matrices

• Una matriz es un arreglo rectangular de números

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Matrices

• Su tamaño está dado por (dimensión filas) x (dimensión columnas). Por ejemplo la matriz anterior es 3 x 4. En Numpy podemos usar el atributo shape

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Matrices

• Los elementos también son llamados entradas o coeficientes
• B_ij es el elemento i,j de la matriz B
• i es el índice de la fila y j el índice de la columna

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Dos formas de acceder a las entradas

Recordar que en Numpy se indexa desde 0

Matrices

• Dos matrices son iguales, si tienen la misma dimensión y las entradas correspondientes son iguales

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Nota: Verificar qué pasa cuando se hace A==B

Matrices cuadradas

• Caso especial en el que una matriz A de dimensión m x n en el que m=n

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Vectores fila y Vectores Columna

• Consideramos una matriz n x 1 como un vector n-dimensional
• Consideramos una matriz 1 x 1 como un número
• Una matriz 1 x n es llamada un vector fila

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que no es lo mismo que un vector columna

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Columnas y Filas de una matriz

• Suponga que A es una matriz m x n con entradas A_ij para �i = 1,...,m,j = 1,...n
• La columna j-ésima es (el vector m-dimensional)

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• La fila i-ésima es (el vector fila n-dimensional)

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Slices de una matriz

• Un ‘slice’ de la matriz: A_{p:q, r:s} es la matriz con dimensiones �(q - p + 1) x (s - r + 1)

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¿Qué puede decir sobre el slicing de Numpy?

Matriz 0

• La matriz 0_mxn con dimensión m x n tiene todas sus entradas iguales a 0

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Matriz identidad

• Es una matriz cuadrada con las entradas en la diagonal iguales a 1, o �I_ii = 1 e I_ij =0 para i≠ j

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Transpuesta

• La transpuesta de una matriz A de dimensión m x n es denotada por A^T, y definida por

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• Por ejemplo

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• La transpuesta convierte vectores-columna en vectores-fila (y viceversa)
• (A^T)^T = A

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Adición, sustracción y multiplicación por escalar

• Similar al caso de los vectores, podemos sumar o sustraer matrices del mismo tamaño

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• Multiplicación por escalar

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Norma de una matriz

• Para una matriz A de dimensión m x n, definimos

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• Concuerda con la norma de los vectores cuando n = 1
• Distancia entre 2 matrices: || A - B ||
• Nota: Existen otras normas

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Diferencia de np.array y np.matrix

• np.array es un objeto que admite arreglos n-dimensionales, en particular, cuando n=2 estamos trabajando con matrices
• np.matrix hereda de np.array, pero admite únicamente n=2
• Se desalienta su uso

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