ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7Ο �ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
Β΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Στις οδηγίες διδασκαλίας, τονίζεται ότι δεν πρέπει να γίνουν αποδεικτικές ασκήσεις, σύνθετα θέματα καθώς και οι γενικές ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού. Άρα όσες ασκήσεις αναφέρονται σε αυτά τα σημεία είναι με προτροπή και ευθύνη του διδάσκοντα. ��Σε αυτή την παρουσίαση έχουμε πλήρη μελέτη του κεφαλαίου, άρα και ενδεικτικές ασκήσεις από τα σημεία αυτά. Ο μαθητής ή καθηγητής επιλέγει πόσα θέλει να διδαχθεί ή να διδάξει αντίστοιχα.
Από τις οδηγίες διδασκαλίας προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
2
Εισαγωγή
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
3
Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αρχικά τα ευθύγραμμα τμήματα. Θα εισαγάγουμε την έννοια του λόγου ευθύγραμμων τμημάτων, απ’ όπου θα προκύψει η έννοια της μέτρησης και του μέτρου ευθύγραμμου τμήματος.
�Στη συνέχεια θα αποδειχθούν οι βασικές προτάσεις του κεφαλαίου που είναι το θεώρημα του Θαλή και το θεώρημα των Διχοτόμων ενός τριγώνου. �
Μέγεθος �και �Γεωμετρικά μεγέθη
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
4
Μέγεθος γενικά λέγεται οτιδήποτε επιδέχεται αύξηση ή ελάττωση.
Γεωμετρικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που�εξετάζονται από τη Γεωμετρία. Τέτοια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα, οι γωνίες, τα τόξα, οι επιφάνειες επίπεδων σχημάτων, οι όγκοι των στερεών κτλ.
�Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τα απλούστερα γεωμετρικά μεγέθη, τα ευθύγραμμα τμήματα. �
Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος�σε ν ίσα μέρη �
Φέρουμε τυχαία ημιευθεία Αx, διαφορετική από την ΑΒ και παίρνουμε με το διαβήτη πάνω σε αυτή ν διαδοχικά ίσα τμήματα
ΑΜ1 = M1M2 = ... = Μν-1Μν.
�Έπειτα φέρουμε το τμήμα ΜνΒ
�Από τα σημεία Μ1, Μ2, ..., Μν-1 φέρουμε παράλληλες προς τη ΜνΒ που τέμνουν το ΑΒ στα σημεία Ρ1,Ρ2, ..., Ρν-1 αντίστοιχα.
Οι παράλληλες αυτές ορίζουν ν ίσα τμήματα πάνω στην ΑΒ. Επομένως τα ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα
ΑΡ1, Ρ1Ρ2, ..., Ρν-1Β είναι τα ζητούμενα. ��
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1
2
3
4
5
Παραδείγματα����Να διαιρέσετε το ευθύγραμμο τμήμα AB του παραπάνω σχήματος �(με κανόνα και διαβήτη) σε�α) δύο ίσα μέρη�β) τρία ίσα μέρη�γ) εικοσιένα ίσα μέρη�
Λύση μαθητή Σπύρου Μαρούση
για τρία ίσα μέρη
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Βήματα
6
Το ευθύγραμμο τμήμα �ν ∙ ΑΒ�(γινόμενο ενός φυσικού αριθμού με ευθύγραμμο τμήμα)��
Αν ΑΒ = α ευθύγραμμο τμήμα
και ν φυσικός αριθμός, ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος ΑΒ επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι το άθροισμα ν ευθύγραμμων τμημάτων ίσων προς το ΑΒ = α.
Γράφουμε
ΓΔ = ν ∙ ΑΒ. �
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
7
Το ευθύγραμμο τμήμα �ΑΒ / ν�(διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ευθύγραμμο τμήμα)��
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αν χωρίσουμε το ευθύγραμμο τμήμα
ΑΒ = α σε ν ίσα μέρη καθένα από τα ν ίσα τμήματα τα παριστάνουμε με ΑΒ/ν ή .
Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ λέγεται υποδιαίρεση του ΑΒ αν υπάρχει ένας φυσικός αριθμός ν ώστε ΕΖ = ΑΒ / ν .
8
Το ευθύγραμμο τμήμα ��(διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ευθύγραμμο τμήμα)��
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αν μ είναι ένας θετικός ακέραιος και προσθέσουμε μ τέτοια τμήματα προκύπτει το τμήμα
Ονομάζουμε λοιπόν γινόμενο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ επί το θετικό ρητό αριθμό q = μ / ν το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι το άθροισμα μ ευθύγραμμων τμημάτων ίσων με 1/ν ⸳ ΑΒ .
Γράφουμε ΓΔ = q ∙ AB.
9
Το ευθύγραμμο τμήμα ��όπου ρ άρρητος αριθμός��
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αποδεικνύεται ότι για ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα θετικό άρρητο αριθμό ρ υπάρχει πάντοτε ένα
ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ τέτοιο, ώστε
ΓΔ = ρ ∙ ΑΒ.
Η κατασκευή όμως, τέτοιων ευθύγραμμων τμημάτων με τον κανόνα και το διαβήτη δεν είναι πάντοτε δυνατή.
10
Σύμμετρα �ευθύγραμμα τμήματα
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Έστω δύο μη μηδενικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. Αν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και φυσικοί αριθμοί μ, ν τέτοιοι ώστε να ισχύει
ΑΒ = ν ∙ ΚΛ και ΓΔ = μ ∙ ΚΛ
τα δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται σύμμετρα.
Το ΚΛ λέγεται κοινό μέτρο των ΑΒ και ΓΔ.
11
Παραδείγματα�1) Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι σύμμετρα με κοινό μέτρο το ΚΛ διότι �………………………………………………………………�2) Αν Ν μέσο του ΚΛ, τότε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι σύμμετρα με κοινό μέτρο το ΚΝ διότι �………………………………………………………………
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
3. Να βρείτε το ρητό αριθμό q για τον οποίο ισχύει ΓΔ = q ΑΒ
12
Ασύμμετρα �ευθύγραμμα τμήματα
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Δύο ευθύγραμμα τμήματα που δεν είναι σύμμετρα λέγονται ασύμμετρα.
Θα λέμε επίσης ότι ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός.
13
Παραδείγματα
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
14
Παρατηρήσεις
Αν τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι σύμμετρα, τότε θα υπάρχει ένας θετικός ρητός αριθμός q = μ/ν τέτοιος, ώστε
ΓΔ = q ∙ ΑΒ .
Ο αριθμός q λέγεται λόγος των δύο τμημάτων και γράφεται με μορφή κλάσματος, δηλαδή
q = ΓΔ/ΑΒ.
Το κοινό μέτρο δεν είναι μοναδικό γιατί κάθε υποδιαίρεση του ΚΛ είναι κοινό υποπολλαπλάσιο των ΑΒ και ΓΔ.
Επίσης είναι φανερό ότι δύο σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα είναι (ακέραια) πολλαπλάσια κάθε κοινού τους μέτρου. �
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
15
1
2
3
Η γραφή ΓΔ / ΑΒ δεν σημαίνει διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων�αλλά είναι συμβολική γραφή της�ισότητας ΓΔ = q AB.
Σημαίνει διαίρεση όταν τα θεωρήσουμε πάνω στην ίδια ευθεία. �
Ανάλογα �ευθύγραμμα τμήματα
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Δύο ευθύγραμμα τμήματα α, γ λέγονται ανάλογα προς δύο�άλλα ευθύγραμμα τμήματα β, δ όταν ο λόγος του α προς το β ισούται με το λόγο του γ προς το δ, δηλαδή όταν ισχύει:
α / β = γ / δ (1).
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει θετικός αριθμός λ, ώστε να ισχύει
α = λ ∙ β και γ = λ ∙ δ.
Η παραπάνω ισότητα (1) λέγεται αναλογία με όρους τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ και δ. Τα τμήματα α και β λέγονται ομόλογα ή αντίστοιχα. Το ίδιο και τα γ και δ.�Τα α, δ λέγονται άκροι όροι, ενώ τα β, γ μέσοι όροι της�αναλογίας. Ο τέταρτος όρος δ της αναλογίας λέγεται και�τέταρτη ανάλογος των α, β και γ. �
16
Συνεχής αναλογία
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Στην αναλογία
α / β = β / γ
οι μέσοι όροι είναι ίσοι. Αυτή η αναλογία λέγεται συνεχής και ο β λέγεται μέση ανάλογος των α και γ.
Το β λέγεται επίσης γεωμετρικός μέσος των α και γ. ��
17
Ιδιότητες Αναλογιών για ευθύγραμμα τμήματα
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1
2
3
4
5
6
Όταν εφαρμόζουμε ιδιότητες σε αναλογίες με όρους ευθύγραμμα τμήματα, θεωρούμε ότι
έννοιες που δεν έχουν οριστεί για ευθύγραμμα τμήματα αναφέρονται αποκλειστικά στα μήκη τους
18
Παραδείγματα
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
19
Μήκος ευθύγραμμου τμήματος
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Ορισμός
Μέτρο ή μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο λόγος του προς ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα, που παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης.
Ιδιότητες�• Δύο ίσα τμήματα έχουν ίσα μέτρα και αντίστροφα, ως προς�οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης.�• Ο λόγος των μέτρων δύο τμημάτων, που μετρούνται με�την ίδια μονάδα μέτρησης, ισούται με το λόγο των δύο�τμημάτων και είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησης.
• Το μέτρο του τμήματος είναι μη αρνητικός αριθμός �
20
Διαίρεση τμήματος εσωτερικά σε λόγο
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Έστω σημείο Μ της ευθείας xy, διαφορετικό του Β. Αν το Μ είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ο λόγος των αποστάσεών του από τα Α και Β ισούται με ΜΑ / ΜΒ. Λέμε ότι το Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν
ΜΑ / ΜΒ= λ.
21
Πρόταση 1η ��Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι μοναδικό. �
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
22
Πρόταση 2η ���
Απόδειξη
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
23
Διαίρεση τμήματος εξωτερικά σε λόγο
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Έστω σημείο Μ της ευθείας xy, διαφορετικό του Β. Αν το Μ είναι εξωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ο λόγος των αποστάσεών του από τα Α και Β ισούται με ΜΑ / ΜΒ. Λέμε ότι το Μ διαιρεί εξωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν
ΜΑ / ΜΒ= λ.
Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση ότι το σημείο Μ είναι μοναδικό.
24
Πρόταση 3η ���
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
25
Οριακές θέσεις�του Μ �
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αν ΜB / ΜA = λ, τότε θα λέμε ότι το Μ διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ σε λόγο λ. �
26
οπότε
οπότε
οπότε
Παραδείγματα
�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
27
Παραδείγματα
5. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4, 3, 2. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου σε μοίρες.
6. Ο λόγος μιας γωνίας ω προς την παραπληρωματική της είναι 1 / 3. Να βρεθεί η γωνία ω.
7. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες
προς τους αριθμούς 6, 3, 4. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 65cm, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του.
8. Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4. Να υπολογισθούν οι εσωτερικές του γωνίες.��
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
9. Σε ευθεία ε παίρνουμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = 6cm, ΒΓ = 12cm, ΓΔ = 2cm. Να βρεθεί σημείο Μ του ΒΓ, το οποίο διαιρεί εσωτερικά τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ στον ίδιο λόγο.
10. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των αναλογιών, να διαιρέσετε δοσμένο τμήμα AB = α σε δύο τμήματα, τα οποία έχουν λόγο 3 / 4.
28
Θεώρημα �του Θαλή
1) Πάνω σε ποιο γνωστό θεώρημα «πάτησε» το Θεώρημα του Θαλή;
Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει.
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
29
2) Πώς γενικεύεται το προηγούμενο Θεώρημα που λέγεται Θεώρημα του Θαλή;��
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.
30
Απόδειξη για σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
31
Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Θεωρήματος Θαλή
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Απόδειξη
32
Εφαρμογή του Θεωρήματος Θαλή �σε τρίγωνο Ι
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Απόδειξη
33
Εφαρμογή Θ.Θ �σε τρίγωνο ΙΙ
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Απόδειξη
Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου. �
Σημείωση: Την παραπάνω γνώση θα την λάβουμε και από μια έννοια που θα δούμε παρακάτω, τα όμοια τρίγωνα.
34
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
35
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
36
Ασκήσεις Εμπέδωσης Σχολικού βιβλίου σελ. 17
Υπόδειξη: Αν θέλουμε να αποδείξουμε παράλληλες, τότε σκεφτόμαστε και το αντίστροφο του Θ. Θαλή…
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Αποδεικτική 3 σελίδα 19 Σχολικού βιβλίου
37
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Εμπέδωσης 9 / σελ. 19
Δεξαμενή ύψους υ = 12m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 15m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο παρακάτω σχήμα. Βγάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 10m. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ύψος h του νερού;
Αποδεικτική 4 / σελ. 19
H/W: Αποδεικτική 6 και 7 / σελ. 19
Αποδεικτική 5 / σελ. 19
38
Πρόβλημα 1: Κατασκευή τέταρτης αναλόγου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Λύση
�Αν δοθούν τρία ευθύγραμμα τμήματα α, β και γ, να κατασκευασθεί το τμήμα x,
που ορίζεται από την αναλογία
α / β = γ / x
Σημείωση: Είναι φανερό ότι με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζεται το τμήμα x αν x / α = β / γ ή α / x = β / γ ή α / β = x / γ, αρκεί κάθε φορά να γράφουμε το x ως τέταρτο όρο της αναλογίας.
39
Πρόβλημα 2: Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε δοσμένο λόγο
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Λύση
Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο
μ / ν , όπου μ, ν γνωστά τμήματα.
Σημείωση: Τι συμβαίνει αν μ = ν ; Να εξετάσετε εξ αρχής την περίπτωση αυτή.
40
Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο
Αποδεικτική 2 / σελ. 19
Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα AB = α σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε 4x = 6y = 3ω.
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Λύση
41
Συζυγή αρμονικά
Συζυγή αρμονικά
Τύπος
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
42
1
2
3
Δύο σημεία Γ και Δ, που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα ΑΒ στον ίδιο λόγο, λέγονται συζυγή αρμονικά των Α και Β (σχ.16).
Tα Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β, αν�τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά και ισχύει
ΓΑ / ΓΒ = ΔΑ/ ΔΒ (1). �
Αρμονική τετράδα
Τα τέσσερα σημεία (Α, Β) και (Γ, Δ) θα λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα αν ισχύει η σχέση (1) δηλαδή�
ΓΑ / ΓΒ = ΔΑ/ ΔΒ . �
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Το Δ λέγεται αρμονικό συζυγές του Γ ως προς τα Α και Β. Όπως είδαμε παραπάνω, αν το Γ είναι το μέσο του ΑΒ, το Δ δεν υπάρχει.
Παραδείγματα
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
43
7.8 Θεωρήματα �των διχοτόμων τριγώνου
ΘΕΩΡΗΜΑ (εσωτερικής διχοτόμου τριγώνου)�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1
2
3
4
44
Διατύπωση: Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών.
Τύπος: ΔΒ / ΔΓ = ΑΒ / ΑΓ όπου ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ
Απόδειξη: Επαφίεται ως άσκηση στο μαθητή. Δίνεται μόνο η βοηθητική ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα (από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο Ε.
Ιδιότητες εσωτερικής διχοτόμου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Απόδειξη
Ιδ1: (Αντίστροφο) Αν το Δ είναι σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει ΔΒ / ΔΓ = ΑΒ / ΑΓ τότε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας A.
Ιδ2: Αν ΑΔ (εσωτερική) διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει ΔΒ = α⸳ γ / (β + γ)
Ιδ3: Αν ΑΔ (εσωτερική) διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει ΔΓ = α⸳ β / (β + γ)
Ιδ4: Αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το σημείο Δ βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς, δηλαδή αν ΑΒ < ΑΓ τότε το σημείο Δ βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο Β από το σημείο Γ.
45
7.8 Θεωρήματα �των διχοτόμων τριγώνου
ΘΕΩΡΗΜΑ (εξωτερικής διχοτόμου τριγώνου)�
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
1
2
3
4
46
Διατύπωση: Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. �
Τύπος: ΕΒ / ΕΓ = ΑΒ / ΑΓ όπου ΑE είναι η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ
Απόδειξη: Επαφίεται ως άσκηση στο μαθητή. Δίνεται μόνο η βοηθητική ευθεία όπως φαίνεται στο σχήμα (από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο Ζ.
Για λόγους ευκολίας θα
μελετήσουμε την περίπτωση
ΑΒ < ΑΓ ή β > γ.
Ιδιότητες εξωτερικής διχοτόμου
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
Απόδειξη
Ιδ1: (Αντίστροφο) Αν Ε είναι σημείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει
ΕΒ / ΕΓ = ΑΒ / ΑΓ
τότε ότι η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος της γωνίας A.
Ιδ2: Αν ΑΔ εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει ΕΒ = α⸳ γ / (β – γ) (αν β > γ)
Ιδ3: Αν ΑΔ (εσωτερική) διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει ΕΓ = α⸳ β / (β – γ) (αν β > γ)
Ιδ4: Αν ΑΕ εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το σημείο Ε βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς, δηλαδή αν ΑΒ < ΑΓ τότε το σημείο Ε βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο Β από το σημείο Γ.
Ιδ5: Ta ίχνη Δ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. �
47
Απολλώνιος Κύκλος
Διατύπωση
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που οι αποστάσεις τους από δύο ορισμένα σημεία Α και Β του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο μ / ν ≠ 1. �
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
48
1
2
�
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Ο προηγούμενος γεωμετρικός τόπος λέγεται Απολλώνιος κύκλος, από το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Απολλωνίου που πρώτος μελέτησε το θέμα. Γενικά υπάρχουν άπειροι απολλώνιοι κύκλοι ως προς δύο σημεία Α και Β. Για να ορισθεί κάποιος από αυτούς, όταν δοθούν τα Α και Β, χρειάζεται να δοθεί ο λόγος μ / ν ή ένα από τα σημεία Γ, Δ, ή ισοδύναμα, ένα τυχαίο σημείο του απολλώνιου κύκλου, ώστε ο λόγος να είναι προσδιορισμένος
Ασκήσεις Κατανόησης Σχολικού βιβλίου �σελ. 24
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
49
Ασκήσεις Εμπέδωσης Σχολικού βιβλίου �σελ. 24
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
50
Ασκήσεις Αποδεικτικές Σχολικού βιβλίου �σελ. 25
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
51
Θεωρήματα με ονοματεπώνυμο!
Θεώρημα Μενελάου
Δίνεται τρίγωνο�ΑΒΓ και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ στα Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ��
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Καθηγητής στο Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής
52
1
2
Θεώρημα Ceva
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των ευθειών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ συντρέχουν, τότε ισχύει: ���
Σημείωση: Να εξετασθεί αν ισχύει το αντίστροφο και για τα δύο θεωρήματα,.