Media Pembelajaran

PELUANG

Sumber: shutterstock.com

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai kejadian yang memiliki dua kemungkinan seperti pada gambar di atas. Berikut contoh kejadian yang memiliki dua kemungkinan.

1. Kemungkinan seorang ibu melahirkan bayi adalah perempuan atau laki-laki.
2. Peluang koin uang logam yang muncul adalah angka atau gambar.
3. Peluang peserta tes adalah lolos atau gagal.

Dari setiap kejadian di atas, masing-masing kemungkinan dari suatu kejadian tersebut terjadi sama besar atau disebut peluangnya masing-masing 50% atau .

10.1 DASAR-DASAR PEMIKIRAN PELUANG

A. Penghitungan Peluang

Peluang munculnya suatu kejadian pada suatu eksperimen berasal dari nilai frekuensi relatif (f_r) munculnya kejadian tersebut jika eksperimen yang dimaksudkan telah dilakukan secara berulang-ulang.

Eksperimen adalah tindakan acak sedemikian sehingga si pelaku eksperimen tidak dapat mengatur hasil eksperimennya.

Dalam bentuk grafik, data frekuensi relatif (f_r) hasil eksperimen berulang dalam banyak eksperimen untuk mata uang logam dan paku payung standar tersebut masing-masing adalah seperti berikut (Gambar 10.1).

Jika frekuensi relatif (f_r) tersebut dinyatakan dalam satu tempat desimal, nilai n dilanjutkan sampai dengan tak hingga kali (n = ∞) sehingga hasil nilai kecenderungannya adalah: f_r (muncul sisi angka A) = 0,5 dan f_r (muncul hasil miring M) = 0,3.

Berdasarkan kedua contoh hasil eksperimen berulang tersebut, tampak bahwa:

1. Mata uang logam merupakan objek eksperimen yang setimbang
2. Paku payung merupakan objek eksperimen yang tidak setimbang

Objek eksperimen yang setimbang

Jika diadakan eksperimen atas objek tersebut akan dihasilkan ruang sampel yang berdistribusi (tersebar secara) seragam, yakni setiap titik sampel yang dihasilkan berpeluang sama untuk muncul.

Objek eksperimen yang tidak setimbang

Jika diadakan eksperimen atas objek tersebut akan dihasilkan ruang sampel yang tidak berdistribusi (tersebar secara) seragam.

Distribusi

Seragam

Tidak Seragam

Masing-masing sisi / permukaan yang mungkin terjadi dalam eksperimen tersebut akan berpeluang sama untuk muncul.

Masing-masing sisi / permukaan yang mungkin terjadi dalam eksperimen tersebut tidak berpeluang sama untuk muncul.

B. Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Kejadian dalam Suatu Eksperimen

Masalah

Sebuah kantong berisi 7 gulungan kertas kecil yang seukuran bertuliskan nama-nama hari dalam seminggu. Jika dari dalam kantong tersebut diambil satu gulungan kertas secara acak, tentukan:

1. Ruang sampel S pada eksperimen tersebut,
2. Peluang terambilnya sebuah gulungan kertas yang bertuliskan nama hari dengan huruf depan S,
3. Peluang terambilnya sebuah gulungan kertas yang bertuliskan nama hari yang terdiri atas 5 huruf.
4. Peluang terambilnya sebuah gulungan kertas yang bertuliskan nama hari dengan huruf depan S dan terdiri atas 5 huruf,
5. Peluang terambilnya sebuah lintingan yang bertuliskan nama hari dengan huruf depan S atau terdiri atas 5 huruf,
6. Gambarkan objek eksperimen, cara eksperimen, titik-titik sampel yang dihasilkannya, ruang sampel, kejadian A, dan kejadian B dalam bentuk diagram pohon dan diagram Venn.

Pembahasan:

Jika:

• O adalah objek eksperimennya , O= {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
• S adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut
• A adalah kejadian terambilnya sebuah gulungan bertuliskan nama hari dengan huruf depan S
• B adalah kejadian terambilnya sebuah gulungan bertuliskan nama hari yang terdiri atas 5 huruf

Maka gambaran selengkapnya dari eksperimen di atas akan menjadi seperti berikut.

Jawaban selengkapnya adalah seperti berikut.

1. Ruang sampel S dalam eksperimen tersebut adalah S = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}.
2. Jika A = kejadian terambilnya sebuah gulungan bertuliskan namanama hari dengan huruf depan S, maka P(A) =
3. Jika B = kejadian terambilnya sebuah gulungan bertuliskan nama hari dengan 5 huruf, maka P(B) =
4. A ∩ B = {Senin, Sabtu}.

​

• A ∪ B = {Senin, Selasa, Kamis, Jumat, Sabtu}.
• Diagram Venn:

10.2 KEPASTIAN DAN KEMUSTAHILAN

Dalam ilmu peluang, kepastian adalah kejadian yang pasti terjadi dan kemustahilan adalah kejadian yang tak mungkin / tak pernah terjadi. Jika dalam suatu eksperimen kejadian A tak mungkin (mustahil) terjadi, maka peluang munculnya kejadian A adalah P(A) = 0. Sementara itu, jika kejadian A selalu terjadi, maka P(A) = 1.

10.3 RELASI ANTARKEJADIAN

1) Kejadian A dan B adalah dua kejadian lepas (eksklusif).

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2) Kejadian A dan B adalah dua kejadian komplemen.

Kejadian A = bukan B atau B = bukan A, ditulis A = B^C atau B = A^C

⇒ P(A^C) = 1 – P(A).

A^C juga dapat ditulis dengan lambang lain, yakni A′.

3) Kejadian A dan B adalah dua kejadian tak bebas.

P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B)

4) Kejadian A dan B adalah dua kejadian bebas.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

10.4 AKSIOMA KOLMOGOROV DAN TEOREMA DASAR PELUANG

Aksioma atau postulat adalah ”kebenaran matematika yang diterima tanpa bukti” karena sebagai kebenaran pangkal (kebenaran matematika yang diterima tanpa bukti), aksioma dipakai sebagai alat (tool) dasar untuk membuktian kebenaran dari teorema atau sifat-sifat pangkal dalam matematika.

Diketahui di sebuah kampung dengan KK (Kepala Keluarga) sebanyak 40, banyak KK yang memiliki radio 30, banyak KK yang memiliki televisi 20, dan 5 KK di antaranya tidak memiliki radio maupun televisi. Misalkan dari ke 40 KK tersebut kita buatkan gulungan kertas seukuran berisi nama dan nomor KK lalu kita ambil secara acak sebuah gulungan. Tentukan peluang terambilnya KK yang memiliki radio maupun televisi.

Jawab:

Diketahui :

• n (S)
• A = himpunan pemilik radio, n(A) = 30
• B = himpunan pemilik televisi, n(B) = 20
• n(A ∪ B)′ = 5

​

Ditanya: P(A ∩ B)

Jawab

Oleh karena n(A ∪ B)^C = 5, maka

n(A ∪ B) = n(S) – n(A ∪ B)^C

= 40 – 5

= 35

Ruang sampel berdistribusi seragam, maka:

​

​

​

​

​

​

​

Berdasarkan substitusi dari rumus teorema dasar peluang, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) akan diperoleh

Lanjut

Jadi, peluang terambilnya KK yang memiliki radio maupun televisi adalah