Les lleis de l’atzar a través de jocs
Jordi Deulofeu
Departament de Didàctica de la Matemàtica
Universitat Autònoma de Barcelona
De què parlarem?
- Una mica d’història dels jocs d’atzar: els jocs que van donar origen a la probabilitat
- Can’t Stop: un joc per portar a l’aula
Interès per l’atzar?
- Necessitat i interès per conèixer el futur.
- La ciència adquireix “estatus” quan és capaç de predir (p.e. calendaris, efemèrides, eclipsis)
- Astronomia i astrologia sorgeixen plegades a Babilònia
- La limitació (i la cautela) de la ciència per predir fa que les pseudociències estableixin relacions de causa - efecte no verificables i tinguin “èxit”.
Jocs i atzar: Algunes referències de la història
L’atzar apareix lligat als jocs de taula.
Aquests són tan antics com la humanitat i ja els trobem tant a Egipte com a Babilònia.
Fresc egipci, de la tomba de Ramses II, on apareix la seva esposa Nefertari jugant al Senet.
El tauler del Senet i els “palets” que fan de daus� �En el Llibre dels Morts es suggereix que la �vida en el més enllà depèn del resultat de la partida que el difunt juga amb el destí, en presència del deu Osiris.
En lloc de daus s’usen quatre palets pintats de dos colors.
Quin és el problema d’aquests “daus”?
El reial joc d’Ur ��Babilònia (ciutat sumèria d’Ur), fa més de 4000 anys
Els daus emprats
eren tetràedres
(pirámides regulars
de 4 cares)
El libro de los juegos. Alfonso X el Sabio (1283)��Un text de 98 pàgines i 150 il·lustracions a color que s’ocupa dels principals jocs de taula coneguts a l’època medieval, com els escacs, els alquercs (dames), las “tabas”, els jocs de daus i altres jocs d’atzar.
L’únic original conservat es troba a la biblioteca del Monestir de l’Escorial
El valor d’aquest llibre, el més antic que es coneix sobre jocs de taula, és molt gran, tant pel seu contingut, com per les il·lustracions
Cardano (1501-1576), matemàtic, metge i científic, persontatge polifacètic.�� �Autor d’un llibre sobre jocs, �Liber de ludo aleae, �considerat com l’inici de l’estudi de l’atzar i on trobem les primeres idees sobre la probabilitat.���També és autor de Artis Magna (1545), un tractat d'àlgebra, on resol l’equació cúbica i la de quart grau
Un problema de Cardano: �La partida inacabada
En Roger i en Pau juguen a un joc d’atzar: qui arribi a 10 punts guanya la partida, i s’emporta tot el que s’ha apostat. Han jugat 17 rondes (en Pau té 9 punts, en Roger té 8 punts) quan, de sobte, s’interromp la partida i decideixen repartir-se les apostes fetes fins aquell moment. Com ho faran si el repartiment volem que sigui proporcional a la probabilitat que té de guanyar cadascun d’ells?
El naixement de la probabilitat: �Pascal i Fermat (s. XVII)
Els jocs d’atzar del cavaller de Meré �(1607-1685)
Jocs d’atzar i apostes:
JOC 1: Treure almenys un 6 en quatre llançaments d’un dau. Joc equilibrat o avantatjós ... Per a qui?
JOC 2: Treure almenys un doble 6, llançant dos daus 24 vegades. Joc equilibrat o avantatjós ... Per a qui?
El 1654, de Meré preguntà a Pascal com era que el 1er joc era a avantatjós i el segon desfavorable, i on era l’error del seu raonament. Això desencadenà una correspondència entre Pascal i Fermat del que s’anomenà “geometria de l’atzar” i que es considera l’inici de l’estudi matemàtic de la probabilitat.
Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)
Matemàtic, físic i teòleg francès.
Traité de mécanique céleste (5 vols.), una obra clau per una visió determinista de la ciència, on prova l’estabilitat del sistema solar.
Théorie analytique des probabilités (1812), el tractat clàssic més important sobre probabilitat.
Essai philosophique sur les probabilités (1814), obra divulgativa de l’anterior, on s’argumenta la concepció determinista de l'univers.
Equiprobabiltat, o no?
Un dels conceptes claus per analitzar la probabilitat és l’equiprobabilitat. En successos senzills (tirar una moneda, un dau,...) és senzill, però quan augmenta una mica la complexitat ja no és tant clar.
El treball d’aquest concepte es pot fer construint de manera adequada l’espai mostral, un altre concepte més complex del que sembla.
De la cursa de camells al Can’t Stop
Una de les activitats per experimentar que hi ha esdeveniments amb diferent probabilitat és la coneguda “cursa de camells”.
Una vegada constatada la no equiprobabilitat, podem passar a practicar el joc Can’t Stop.
Can’t Stop: No podràs parar!!!
Can’t stop és un joc de Sid Sackson (1981) magnífic per analitzar la probabilitat d’obtenir un cert valor, al sumar el resultat de tirar dos daus. Similar a la cursa de camells, però molt més divertit i elaborat, és més interessant que aquella, ja que el tauler tracta de compensar la no equiprobabilitat per tal de fer-lo un joc equitatiu
Una versió del professor Jordi Caelles
Cara o creu i nombres aleatoris
Podem generar nosaltres nombres aleatoris?
En grups de 4 feu el següent experiment. Dos membres del grup escriuen una seqüència de 50 nombres cadascun, 1 o bé 0 intentant que sigui aleatòria. Els altres dos tiren una moneda 50 vegades cadascun i anoten 1 o bé 0 segons surti cara o creu.
Creieu que és possible distingir les seqüències de nombres de l’activitat anterior?
En un full anoteu les seqüències, en dos grups: les 100 tirades per un costat i les 100 escrites per l’altre. Poseu els noms al full i un codi (no identificable pels altres grups) a cada seqüència per tal que vosaltres les pugeu identificar posteriorment.
Intercanvieu el full amb un altre grup i intenteu esbrinar quina seqüència s’ha fet d’una manera (tirant la moneda) i quina amb l’altre (escrivint nombres a l’atzar).
A qui teniu un exemple (50 llançaments)
OPCIÓ A:
1010001101001110101110001
0011010011110001010110101
OPCIÓ B:
1101011100000110000100011
0110111111101010101111101
Sabríeu “descobrir” quina seqüència s’ha fet tirant la moneda i quina escrivint directament uns i zeros?
Com justificaríeu la vostra elecció?
Una aparent paradoxa
Linus Pauling (1901-1994), al rebre el segon premi Nobel (de Química,1954 i de la Pau, 1962) va fer aquesta “broma”:
“Obtenir el segon (Nobel) es molt més fàcil que el primer, per que són molt pocs els que competim: només els que ja en tenen un!”
Què penseu d’aquesta afirmació?
Una altra situació curiosa
Què considereu més probable: que a la classe hi hagi almenys dues persones que celebren l’aniversari el mateix dia (en direm succés a) o que no?
Com podem fer-ho?
Recordem la propietat: p (a) + p (no a) = 1
Si poden passar només dues coses i la probabilitat de que passi una és p, llavors la probabilitat que passi l’altre és 1 – p.
Per a quin nombre de persones, la probabilitat de que passi a és més gran del 50%?
Què va passar a la classe?
Vam fer l’experiment a la classe (19 de novembre de 2019): érem 38 persones (assignatura jocs i matemàtiques, del grau de mestre de Primària, UAB) i va haver-hi dues parelles que van coincidir en la data de l’aniversari.
Quina era la probabilitat que hi hagués almenys una parella?
p (almenys una parella) = 1 – p (tothom data naixement diferent)
p (tothom data diferent) = 365/365 · 364/365 · ... · 329/365 · 328/365 = 365!/327!·365^38 = (amb calculadora) = 3,1·10^96 /23,2·10^96 = 0,14
Per tant, p (almenys una parella) = 1 – 0,14 = 0,86 >> 0,5
- En un grup de 23 persones la probabilitat que almenys dues hagin nascut el mateix dia ja és més gran de 0.5
Un últim joc: Footsteps, o qui estira millora la corda (I). Estratègia o atzar?
En un tauler de set caselles posem una única fitxa al centre. Un jugador, al guanyar el seu torn, mourà la fitxa cap a la dreta i l’altra mourà la mateixa fitxa cap a l’esquerra. El jugador que aconsegueixi portar la fitxa a l’extrem del seu costat, és a dir a una distància 3 del centre, serà el guanyador de la partida. Dit d’una altra manera, per guanyar una partida cal guanyar tres torns més que l’altre jugador.
Footsteps, o qui estira millora la corda (II)
Al començar el joc cada jugador té 30 punts; les jugades son simultànies, és a dir, els dos jugadors diuen, al mateix moment, el punts que inverteix cadascun d’ells en aquell torn (mínim 1 punt i màxim tots els punts que tingui en aquell moment). El jugador que ha invertit més punts en el torn guanya el torn i avança la fitxa una casella cap al seu costat. La partida segueix amb els punts que li queden a cada jugador, una vegada restats els punts invertits en la jugada anterior. En cas d’empat, la fitxa no es mou.
Si un jugador exhaureix els punts, l’altre pot seguir jugant (ara amb 1 sol punt ja guanya el torn). Si els dos acaben els punts sense guanyar la partida, es pot decidir que qui té la fitxa més a prop de l’objectiu guanya 1 punt, entenent que guanyar una partida val 2 punts. Qui arribi a 10 punts guanyarà la ronda.
Gràcies per la vostra atenció !
“Las preguntes més importants de la vida, de fet, no son més que problemes de probabilitat”
“Es un fet destacable que una ciència que va sorgir analitzant jocs d’atzar, s’acabi convertint en un dels més importants objectes del coneixement humà”
Pierre Simon Laplace