Determinan Matriks dan Sifat2 nya

Definisi

• Misalkan A adalah matriks bujur sangkar berukuran 2x2. Determinan matriks A didefinisikan sebagai:

​

Definisi

• Jika matriks A berukuran 3x3, determinan matriks A didefinisikan sebagai:

​

Metode Sarrus

• Determinan dapat dihitung dengan menggunakan metode Sarrus, diilustrasikan sebagai berikut:

​

​

​

​

• Aturan Saruss hanya berlaku untuk matriks berukuran maksimal 3x3

​

Latihan

Hitunglah determinan dari matrik berikut ini (dengan menggunakan aturan Sarrus):

Sifat determinan 1

Jika A matriks bujur sangkar maka:

1. Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det(A) = 0
2. det(A) = det (A^T)

​

Sifat determinan 2

Jika A adalah suatu matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya, yaitu

​

Sifat Determinan 3

Misal A matriks bujur sangkar berorde n

• Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari A dikalikan dengan suatu skalar α, maka det(B) = α.det(A).
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau kolom dari A dipertukarkan maka

det(B) = -det(A).

• Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu panggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A).

Sifat Determinan 4

Jika A adalah matriks bujur sangakr dengan dua baris proporsional atau dua kolom proporsional, maka det(A) = 0.

Sifat Determinan 5

Misalkan A dan B matriks mxn dan α skalar maka

​

Ekspansi kofaktor

• Jika A sebuah matriks bujursangkar nxn maka minor dari a_ij dituliskan dengan M_ij dan didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (-1)ⁱ⁺¹M_ij dinyatakan C_ij dan disebut kofaktor anggota a_ij.

Penggunaan Kofaktor untuk Determinan

• Determinan suatu matriks A berukuran nxn bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan yaitu untuk setiap dan 1≤ i ≤ n dan 1≤ j ≤ n
• Perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j

​

• Perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i

​

Aplikasi Determinan

• Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0
• Matriks yang mempunyai determinan ≠ disebut Matriks tak singular, sedangkan matriks yang mempunyai determinan = 0 disebut matriks singular.

Aplikasi Determinan (2)

• Jika A adalah sebarang matriks nxn dan C_ij adalah kofaktor dari a_ij maka matriks

​

​

​

​

• Disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin A dinyatakan adj(A).

Aplikasi Determinan

• Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka:

Aplikasi Determinan

• Jika A dan B adalah matriks-matriks nxn yang tak singular, maka AB juga tak singular dan (AB)^-1 = B^-1A^-1

Aturan Cramer

• Jika Ax = b merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n peubah sedemikian sehingga A≠0 maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu:

​

​

• Dengan A_i adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks

​