9.1

Límite de una Función

Motivación del concepto de Límite

• Históricamente el concepto de límite es motivado básicamente por los dos siguientes problemas:
• Encontrar la PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE a la gráfica de una función “ f “.

t

y

T

f

Motivación del concepto de límite

• Históricamente el concepto de límite es motivado básicamente por los dos siguientes problemas:
• Encontrar el ÁREA UNA REGIÓN PLANA encerrada por una curva cerrada arbitraria.

t

y

R

Motivación del concepto de límite

• El estudio de la PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE motivó el desarrollo del cálculo diferencial, el cual estudia el concepto de derivada de una función.

​

• El estudio del cálculo del área motivó el desarrollo del cálculo integral, el cual estudia el concepto de antiderivada o integral de una función.

EL CÁLCULO DIFERENCIAL Y CÁLCULO INTEGRAL dependen de la importancia del concepto de límite, que estudiaremos a continuación.

Definición intuitiva de un límite.

• Consideremos una función g(t), la cual mide la velocidad promedio de un auto:

​

​

• Queremos encontrar el valor de g(t) tan aproximado como sea posible cuando “t ” está muy próximo de 2.
• Primero tomamos valores de “t” que aproximan a 2 desde la derecha y vemos que g(t) está muy próximo de 16.,

​

​

​

• Similarmente, totamos valores de “t” que estén muy próximo de 2 desde la izquierda, vemos que g(t) está muy próximo de 16.

Definición intuitiva de límite

• Observamos que en ambos casos, g(t) se aproxima de 16 cuando “t” está muy próximo de 2.
• Cuando esto ocurre, decioms que el límite de g(t) cuando “t” está próximo de “2” es igual a 16. Lo cual es denotado de la forma siguiente:

​

​

• IMPORTANTE, observar que “t =2” no está en el dominio de la función g(t).

Límite de un función

• La función f(x) tiene un límite “L” cuando “x” está muy próximo de “a”, denotado por:

​

​

• Si el valor de “f(x)” toma valores muy próximos a “L” cada vez que tomamos valores de “x” muy próximos (pero no igual) al valor de “a”.

​

Ejemplos

• Sea f(x) = x³. Evaluate

Solución:

• Gráficamente podemos observar que “f(x)” está muy próximo de 8 cuando tomamos valores de “x” muy próximos de 2.
• Entonces:

​

– 2 – 1 1 2 3

8

6

4

2

​

– 2

x

y

f(x) = x³

Ejemplos

• Sea . Evaluar

Solution

– 2 – 1 1 2 3

5

3

1

​

x

y

g(x)

• Del gráfico se observa que g(x) cestá muy próximo de 3 cuando tomamos valores de x suficientemente cerca a 1.
• Entonces:

Ejemplos

• Sea Evaluar:

Solution

– 2 – 1 1 2

5

x

y

• El gráfico muestra que cuando x está muy próximo de 0 por ambos lados, f(x) crece infinitamente sin cota es decir, no se aproxima a ningún número real específico.
• En estos casos decimos que el límite de f(x) dno existe cuando x está próximo de 0.

Teorema 1�Propiedades de los límites.

Suponga que existen: y

Entonces, se cumplen:

• r : número real.
• c: número real.
• siempre que M ≠ 0

Ejemplos

• Use el Teorema 1 para evualuar los siguientes límites:

Examples

• Use el Teorema 1 para calcular los siguientes límites:

Formas Indeterminadas

• Consideremos el siguiente límite:

​

Si aplicamos la Propiedad 5 del Teorema 1, resulta:

​

• En estos casos, decimos que el límite del cociente f(x)/g(x) cuando x se aproxima 2 tiene la forma indeterminada 0/0.

Estrategias para evaluar Formas Indeterminadas

• Reemplazar la función original por otra función que sea más apropiada que toma los mismos valores que la función original excepto en x = a.
• Evaluar tel límite de la nueva función cuando x está muy próximo de a.

Ejemplo

• Evaluar:

​

Solución

• Hemos visto que tiene la forma indeterminada 0/0.
• La expresión original puede expresarse como sigue:

x ≠ 2

• Entonces, podemos decir que:

​

• Note que 16 is el mismo valor obtenido al tabular la expresión original para diferentes valores de “x” muy próximos de “2”.

Ejemplos

• Evaluar:

​

Solución

• El gráfico de abajo muestra que las dos funciones tienen el mismo gráfico, excepto para el valor x = 2:

20

16

12

8

4

x

y

– 3 – 2 – 1 1 2 3

20

16

12

8

4

x

y

– 3 – 2 – 1 1 2 3

Ejemplos

• Evaluar:

​

Solución

• Puede observarse que tiene la forma indeterminada 0/0.
• Restringiendo h ≠ 0, entonces, podemos escribir:

• Luego, podemos decir que:

Limites en el infinito

• Existen ocasiones donde queremos saber si f(x) se aproxima a un único número real cuando x crece indefinidamente.
• En el gráfico mostrado, cuando x crece indefinidamente, observamos que f(x) se aproxima al número real 400.
• En estos casos, decimos que la recta y = 400 es una asíntota horizontal.
• Es expresado como sigue:

​

y decimos que 400 es el

límite de la función en el

infinito.

400

300

200

100

​

x

y

10 20 30 40 50 60

Ejemplo

• Considere la función:
• Determine que sucede con f(x) cuando x tiende para el infinito (es decir, crece indefinidamente).

Solución:

• Tabulando para diversos valores de x y sustituyendo en la función, obtenemos los siguientes valores para f(x) :

​

​

• Vemos que si x toma valores cada vez mayores, f(x) toma valores cada vez más cercanos a 2.
• Entonces, podemos decir que:

Limite de una función en el infinito

• La función f tiene límite L cuando x crece indefinidamente (cuando x se aproxima al infinito), denotado por:

​

si f(x) se encuentra arbitrariamente cerca a L cuando x toma valores arbitrariamente grandes.

• Análogamente, la función f tiene límite M cuando x decrece indefinidamente, denotado por:

​

si f(x) puede aproximarse arbitrariamente cerca a M cuando x toma valores arbitrariamente pequeños.

Ejemplos

• Sea

​

• Evaluar y

Solución:

• Al graficar f(x) se observa que:

1

​

– 1

x

y

– 3 3

Ejemplos

• Sea

​

• Evaluar y

Solución

• Graficando g(x) se observa que:

x

y

– 3 – 2 – 1 1 2 3

Teorema 2�Propiedades de límites

Para todo n > 0:

y

​

​

• Todas las propiedades del Teorema 1 son válidas cuando a es reemplazado por ∞ o –∞.
• Adicionalmente se tienen las siguientes propiedades para límites en el infinito:

Ejemplos

• Evaluar

​

Solución

• Los límites del numerador y denominador no existen cuando x se aproxima al infinito, entonces la propiedad 5 NO ES aplicable.
• Para encontrar la solución procedemos a dividir el numerador y denominador por x³, resultando:

Ejemplos

• Evaluar

​

Solución

• Nuevamente, la propiedad 5 NO Es aplicable.
• Al igual que en el ejemplo anterior, dividimos numerador y denominator por x², resultando:

Ejemplos

• Evaluar

​

Solución:

• La propiedad 5 NO ES aplicable.
• Si dividimos numerador y denominador by x² se obtiene:

​

​

• En otras palabras, para estos casos decimos que el límite no existe.
• Esto es denotado por:

9.2

Límites laterales y continuidad

Límites Laterales

• Considere la función:

​

• Su gráifco muestra que f NO TIENE UN LÍMITE cuando x está próximo de cero, porque al aproximanos a cero por cada lado se obtienen resultados diferentes.

1

​

– 1

x

y

– 1 1

Límites Laterales

• Considere la función:

​

• Si restringimos x a tomar valores mayores que cero (a la derecha de cero), vemos que f(x) está muy próximo de 1 cuando damos valores a x próximos 0.
• En este caso, decimos que límite lateral a la derecha de f cuando x está próximo de 0 es 1, denotado por:

1

​

– 1

x

y

– 1 1

Límites Laterales

• Considere la función:

​

• Análogamente, si restringimos a x a tomar valores menores que cero (a la izquierda de cero), vemos que f(x) está muy próximo de –1 cuando x está próximo de 0.
• En este caso, decimos que el límite lateral a la izquierda de f cuando x está próximo de 0 es – 1, denotado por:

1

​

– 1

x

y

– 1 1

Límites Laterales

• La función f tiene límite lateral a la derecha L cuando x se aproxima por la derecha de a, denotado por:

​

si los valores de f(x) están muy cercanos a L cuando tomamos valores de x suficientemente cerca a (pero no igual a) a y a la derecha de a.

• Similarmente, la función f tiene Límite lateral a la izquierda L cuando x se aproxima por la izquierda de a , denotado por:

​

si los valores de f(x) se aproximan a L cuando tomamos valores de x suficientemente cerca a (pero no igual a) a y a la izquierda de a.

Teorema 3�Propiedades de Límites

• Sea f una función que está definida para todos los valores de x cercanos a x = a con la posible excepción que f también esté definida para x = a . Entonces:

• La conexión entre Límites laterales y el concepto de límite definido anteriormente es dado por el siguiente teorema:

Ejemplo

• Muestre que existe analizando los límites laterales de f cuando x está muy próximo de 0:

​

​

Solución:

• Para x > 0, tenemos:

​

• Y para x ≤ 0, se tiene que:
• Por tanto:

– 2 – 1 1 2

2

1

x

y

Funciones continuas

• La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni huecos.
• Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :

​

​

​

​

​

​

​

• Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
• En x = a, f no está definida (x = a no está en el dominio de f ).

a

x

y

Funciones continuas

• La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni huecos.
• Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :

​

​

​

​

​

​

​

• Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
• En x = b, f(b) no es igual al límite de de f(x) cuando x está muy próximo de b.

a

x

y

b

Funciones continuas

• La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni huecos.
• Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :

​

​

​

​

​

​

​

• Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
• En x = c, la función no tiene límite, porque los límites laterales a la izquierda y derecha son diferentes.

x

y

b

c

Funciones continuas

• La idea básica de una función continua es aquella cuyo gráfico se puede hacer de un sólo trazo, es decir, no tiene saltos ni huecos.
• Considere, por ejemplo el gráfico de la función f :

​

​

​

​

​

​

​

• Esta función es discontinua en los siguientes puntos:
• En x = d, the límite de la función no existe, resultando en un corte(quiebre) a la gráfica de la función.

x

y

c

d

Continuidad de una función en un punto x = a

• Una función f es continua en un número x = a si las siguientes condiciones son satisfechas:
• f(a) está defineda.

• Si f no es continua en x = a, entonces f is llamada discontinua en x = a.
• Además, f es continua sobre un intervalo si f es continua en todo punto del intervalo.

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución

• La función f es continua en todo punto porque las tres condiciones de continuidad son satisfechas para todos los valores de x.

– 2 – 1 1 2

5

4

3

2

1

x

y

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función g is discontinua en x = 2 porque g is no está definidad en ese punto. En cualquier otro punto, la función g es continua.

– 2 – 1 1 2

5

4

3

2

1

x

y

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función h es continua en todo punto excepto en x = 2 donde es discontinuous porque:

– 2 – 1 1 2

5

4

3

2

1

x

y

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función F is discontinuao en x = 0 porque el límite de F no existe cuando x se aproxima a 0. En cualquier otro punto, la función F es continua.

1

​

– 1

x

y

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función G es discontinua en x = 0 porque el límite de G no existe cuando x está próximo de 0. En cualquier otro punto la función G es continua.

​

​

– 1

x

y

Propiedades de las Funciones Continuas

• La función constante f(x) = c es continua en todo punto.
• La función identidad f(x) = x es continua en todo punto.

Si f y g are funciones continuas en x = a, entonces:

• [f(x)]ⁿ, donde n es un número real, es continua en x = a siempre que esté bien definida en x = a .
• f ± g es continua en x = a.
• fg es continua en x = a.
• f /g es continua si g(a) ≠ 0.

Propiedades las funciones continuas.

• Usando las propiedades anterioes, se obtienen las siguientes propiedades:

​

• Una función polinomial y = P(x) es continua en todo valor de x.
• Una función racional R(x) = p(x)/q(x) es continua en todo valor de x donde q(x) ≠ 0.

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función g es una función racional.
• Observe que el denominador de g nunca es igual a cero.
• Entonces, podemos concluir que g(x) es continua para todo valor de x.

Ejemplos

• Encuentre los valores de x para los cuales la función es continua:

​

Solución:

• La función h es una función racional.
• En este caso, observar que el denominador de h es igual a zero en x = 1 y x = 2, que se obtienen al factorizar el denominador.
• Entonces, podemos concluir que h(x) es continua en todo punto excepto en x = 1 y x = 2.