Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Горбачев Александр Викторович
Кафедра математики, физический факультет МГУ
Москва 2023
Курс: «Нейронные сети и их применение в научных исследованиях»
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Постановка задачи
Обратная задача заключается в определении неизвестного коэффициента q(x), по известной дополнительной информации:
Классический подход к решению
Функционал А.Н. Тихонова:
Начальное приближение для градиентного метода может находиться с помощью асимптотических методов.
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Линии уровня данного функционала могут быть сильно изрезаны, и из-за наличия малого параметра требуется введение густых сеток. Для увеличения скорости сходимости метода важно выбрать хорошее начальное приближение.
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Новый подход к решению
В данной задаче построения асимптотического метода, позволяющего получить хорошее начальное приближение не существует. Решение – использовать нейронные сети для его построения. Это позволит увеличить скорость сходимости и уменьшить ошибку классического алгоритма.
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Данные для обучения
Примерный вид данных для обучения для I = 3.
Функции f (t) задают правило измерения f (t), и могут быть выбраны произвольно.
1
2
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Данные для обучения и валидации
Коэффициенты выбираются из физических свойств задачи.
Размер датасета 100.000 для обучения, 20.000 для теста и 20.000 для валидации.
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Нормализация данных
Графики 100 примеров входных данных до и после “нормализации”
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Нормализация данных
Графики 100 примеров выходных данных до и после “нормализации”, нормализация следует из физических соображений
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Результаты для разных архитектур
Графики ошибки. Пунктирные линии — ошибка модели на валидационных данных. Сплошная — на обучающей выборке. Черный цвет — простая сверточная сеть, красный — U-Net модель, синий — LSTM_U-Net модель, фиолетовый — LSTM_U-Net модель с большим числом параметров, желтый график — TCN модель (валидационная выборка состоит из экспонент).
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Проблема
Существовала проблема, что на разных примерах в рамках одной модели выдается одинаковое предсказание. Синие графики — предсказание модели на примерах из датасета для обучения, зеленые графики — правильное решение
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Итоговая архитектура
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Результаты
Архитектура TCN помогла решить проблему.
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Результаты
Результаты восстановления (красный график) модельного решения (зеленый график) используя произвольное начальное приближение (черный график).
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Результаты
Результаты восстановления (желтый график) модельного решения (зеленый график) используя хорошее начальное приближение (черный график).
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.
Результаты
Результаты восстановления (желтый график) модельного решения (зеленый график) используя хорошее начальное приближение (черный график).
Заключение
Применение методов искусственного интеллекта для восстановления коэффициентов в обратной задаче для уравнения типа реакция-диффузия-адвекция с дополнительными данными в моделях самоорганизации в биологических системах.