Esempi di problemi RMT�con analisi a priori e a posteriori

14 dicembre 2022

E’ PRIMAVERA ! 22.II.04 (Cat. 3, 4, 5)

Anna ha comprato 40 bulbi di tulipano da piantare nei vasi del suo balcone: due vasi grandi e tre piccoli.

Inizia col mettere lo stesso numero di bulbi nei cinque vasi e poi, in ciascuno di quelli grandi, ne mette 10 in più.

Quanti bulbi di tulipano Anna ha piantato in ciascun vaso?

Spiegate la vostra risposta.

ANALISI A PRIORI

Ambito concettuale:

• Decomporre 40 in somma di cinque termini, di cui due termini uguali tra loro e altri tre che valgono ciascuno 10 in più dei primi due: 40 = 5 × … + 20

Analisi del compito:

- Procedere per tentativi non organizzati, che permettano di arrivare alla soluzione.

Oppure:

- Capire che i vasi grandi contengono lo stesso numero di bulbi e che anche i vasi piccoli contengono uno stesso numero di bulbi diverso dal precedente

- Capire che nei vasi grandi ci saranno almeno 11 bulbi, poiché ci sono 10 bulbi in più di quelli contenuti nei vasi piccoli

- Organizzare una ricerca sistematica. Iniziare a mettere nei vasi grandi 11 bulbi, nei due grandi ci sono quindi 22 bulbi. Togliere dal totale 40 i 22 bulbi, poiché il risultato 18 si può dividere per 3, concludere che si possono mettere 6 bulbi in ogni vaso piccolo. La soluzione non è però valida, perché tra 6 e 11 non c’è la differenza di 10.

- Provare allora con 12 poi con 13, ma accorgersi che nei due casi il numero dei bulbi che restano non è divisibile per 3.

- Provare con 14 e trovare che i bulbi che restano sono 12, che è divisibile per 3, quindi in ogni vaso piccolo si possono mettere 4 bulbi. La soluzione è valida perché la differenza tra le quantità di bulbi contenute nei due tipi di vaso è 10.

- Continuare nella ricerca per essere sicuri che non ci siano altre soluzioni, oppure fermarsi qui osservando esplicitamente che aumentando il numero di bulbi, la differenza sarà sempre maggiore di 10.

Oppure:

comprendere che togliendo 10 bulbi da ciascuno dei vasi grandi, restano 40 – 20 = 20 bulbi da dividere in 5 vasi. Dedurne che ci sono 4 bulbi in ogni vaso piccolo e 14 in ogni vaso grande.

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Attribuzione dei punteggi:

4 Risposta corretta (14 bulbi nei vasi grandi e 4 bulbi nei vasi piccoli) con procedura esplicitata o con i dettagli dei tentativi che dimostrano che si è organizzata una ricerca sistematica che assicuri l’unicità della soluzione

3 Risposta corretta, ma con procedura poco chiara o insufficientemente esplicitata o sola verifica

2 Procedura corretta, ma un errore di calcolo o risposta corretta senza alcuna spiegazione

1 Inizio corretto di ricerca

0 Incomprensione del problema

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Cat. 4

Cat. 5

Dimenticano una condizione

Cat. 5

Ragionamento totalmente errato

Cat. 4

Probabilmente hanno solo dimenticato uno dei vasi grandi

Cat. 4

Non è una spiegazione!

Cat. 4

Operazioni «a caso»

Argomentazione «a caso»

Bulbi in ogni vaso grande

Bulbi in ogni vaso piccolo

Bulbi nei vasi

= 40 - 20

5 volte

= 20

Per un avvio all’algebra: esempio

Allora

= 4

+ 10

+ 10

+ 10

= 40

Indicare con un simbolo un numero momentaneamente sconosciuto e rappresentare le relazioni note

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Evoluzione significativa delle procedure di risoluzione dalla categoria 3 alla categoria 5.

- Nel caso degli allievi più giovani si vedono dei disegni e delle addizioni del tipo 4 + 4 + 4 + 14 + 14 che sono delle verifiche, probabilmente dopo tentativi successivi.

- Nel caso degli allievi più grandi, la frequenza delle sottrazioni di 20 seguite da una divisione per 5 aumenta sensibilmente.

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Dalla Banca di Problemi:

Indicazioni didattiche

Problema tipico (e piuttosto frequente per il RMT) di scomposizione di un numero (40) in somma di termini (5) da determinare, conoscendo una relazione tra loro (+10).

I giovani allievi, che non hanno ancora nozioni di algebra, possono procedere per tentativi successivi. E’ allora interessante dibattere sull’organizzazione di questi tentativi al fine di limitarli.

Se gli allievi procedono con un ragionamento deduttivo che considera già la relazione fra i diversi termini (+10) si avvicinano al modello algebrico in quanto fanno intervenire un numero momentaneamente indeterminato.

L’interesse è allora quello di far esplicitare questi termini. Per esempio considerare “tre numeri piccoli e due che valgono 10 di più equivale a 5 numeri piccoli e due volte 10, o 20 … ” cosa che permette di far intervenire il complemento di 20 rispetto a 40, poi una divisione per 4 per arrivare a trovare che i tre numeri piccoli valgono 4 e i grandi 14.

L’interesse didattico del problema risiede nel confrontare le due procedure, i loro vantaggi e i loro inconvenienti. Si può approfittare dell’occasione per confrontare le diverse scritture, esclusivamente additive o con moltiplicazioni, per far osservare le proprietà (associatività, commutatività, distributività – evidentemente senza utilizzare tali termini).

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LA PREDIZIONE (CAT. 7, 8, 9, 10) (14°, I, 14)

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Marco propone questo gioco al suo amico Luca:

- pensa un numero intero qualsiasi,

- aggiungi il numero immediatamente successivo,

- aumenta di 9 la somma precedente,

- dividi il risultato ottenuto per 2,

- sottrai il numero che hai pensato all’inizio.

Il risultato è 5, vero?

Luca è stupefatto, ma non è magia: si tratta solo di matematica.

Perché si ottiene sempre lo stesso risultato da qualunque numero parta il gioco?

Spiegate il vostro ragionamento.

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17

La predizione

Rally: 14.I.14

Categorie: 7, 8, 9, 10

Ambiti concettuali: Algebra/Espressioni letterali/Equazioni

Famiglia di compiti per la risoluzione del problema: Utilizzo di lettere come variabili

Sottofamiglia: Lettere per dimostrare

SUNTO

Addizionare un numero intero al suo successivo, aggiungere 9, dividere per 2, sottrarre il numero intero iniziale e spiegare perché si ottiene 5 qualsiasi sia il numero di partenza.

COMPITO PER LA RISOLUZIONE E SAPERI MOBILIZZATI

Utilizzo dell’algebra simbolica:

indicare il numero scelto con una lettera, ad esempio n, scrivere l’espressione che si ottiene seguendo la sequenza delle operazioni, semplificare l’espressione fino ad ottenere il numero 5.

Oppure scrivere l’equazione che si ottiene scrivendo al primo membro la sequenza delle operazioni a partire da n e al secondo membro 5, risolvere l’equazione e verificare che ogni numero intero è soluzione, cioè si tratta di una identità o di una cosiddetta equazione indeterminata (con infinite soluzioni).

Utilizzo dell’algebra retorica:

spiegare a parole perché si ottiene 5 applicando la sequenza delle operazioni. Ad esempio: aggiungere il numero successivo e poi 9 significa ottenere il doppio del numero iniziale più 10, successivamente dividendo per 2 si ottiene il numero iniziale più 5, infine sottraendo il numero iniziale si ottiene 5.

Attribuzione dei punteggi

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4 Risposta corretta presentata con il calcolo letterale o con un’equazione o con la descrizione del ragionamento

3 Risposta corretta ma con spiegazione incompleta o poco chiara

2 Risposta corretta senza spiegazione

oppure equazione o espressione corretta come impostazione, ma mal risolta

1 Inizio di ragionamento corretto (ad esempio, serie di verifiche su casi particolari senza tentativi di generalizzazione)

0 Incomprensione del problema

analisi qualitativa basata sul tipo di procedura risolutiva, piuttosto che sulla correttezza della conclusione,

sugli elaborati delle sezioni di Aosta, Cagliari, Canton Ticino, Parma, Puglia e Siena

In gran parte degli elaborati di Cat.7 e Cat.8 si è cercato di spiegare in modo retorico il procedimento.

Ad esempio :

Dall’analisi a posteriori dei 302 elaborati di Parma, Siena e Puglia si sono evidenziate procedure diverse a seconda dei livelli scolari:

«Se al posto di un numero prendiamo x, al secondo passaggio aggiungiamo x+1 quindi avremo 2x+1. Al terzo passaggio aggiungendo 9 avremo 2x+10.

Al quarto passaggio dividendo tutto per 2 avremo x+5. Al quinto passaggio sottraendo x avremo 5». Cat.8

«Poiché è come se al doppio del numero di partenza aggiungessimo 1.

Poi aggiungendo 9 è come se avessimo aggiunto 10 al doppio del numero di partenza, poi dividendo per due ritroviamo il numero di partenza più 5.

Infine sottraendo il numero di partenza troviamo 5. » Cat. 7

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(cat.7)

x : 2 = mezza x 1 : 2 = 0,5 9 : 2 = 4,5

proviamo a sommare il tutto

mezza x + mezza x = x intera 4,5 + 0,5 = 5

ora sottraiamo la x che è rimasta fuori dalla parentesi e così rimane solo 5 (cat.8)

Tali procedure spontanee mostrano che, se messi in situazione, gli allievi sono in grado di escogitare e “inventare” metodi per agire in ambito algebrico, a volte utilizzando un tipo di linguaggio algebrico «retorico» o «sincopato»,

ripercorrendo così le tappe riconoscibili nello sviluppo storico del simbolismo algebrico.

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Gestione spontanea della procedura algebrica, basandosi su proprietà note dell’aritmetica.

E’ molto importante abituare a giustificare ogni passaggio.

Il problema in cat. 7 e 8 è gestire espressioni algebriche conoscendo le proprietà delle operazioni, senza avere note le procedure del calcolo letterale.

Ad esempio, per trasformare l’espressione

si può procedere con almeno tre modalità diverse:

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• Somma di due frazioni trasformando n in frazione con denominatore «2»

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• Utilizzo della proprietà distributiva per trasformare il numeratore in un prodotto e poi procedere alla divisione per 2

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• Dividere la frazione nella somma di due frazioni

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Se non sono ben «costruite» e giustificate le regole del calcolo algebrico, è facile, anche a livelli scolari superiori, riscontrare errori rilevanti nei passaggi algebrici. Ad esempio, anche nei protocolli relativi a questo problema, abbiamo trovato errori del tipo:

n + n + 1 = 3n   x + 2x + 9 = 12x x + x = x²

Da notare inoltre che in vari elaborati di ogni categoria si riscontrano errori di tipo algebrico relazionale relativi all’uso errato del segno di uguaglianza; ad esempio si trovano «catene» del tipo:

10 + 11 = 21 + 9 = 30 : 2 = 15−10 = 5

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• Confusione tra verificare e dimostrare.

Non si sente la necessità di giustificare l’affermazione mediante un ragionamento che evidenzi la variabilità del numero iniziale:

l’aver verificato che le cose funzionano per qualche numero porta gli alunni ad esprimersi così :

“è una proprietà matematica” ,

“ abbiamo provato con dei numeri e abbiamo visto che … [ripetono il testo] … viene sempre 5”.

A questo proposito, va sottolineata la necessità di «costruire» l'idea di dimostrazione.

Si trova infatti solo una verifica su uno o più esempi in circa un terzo di elaborati di categoria 8 e 9 (in categoria 7 sono più della metà).

Tale problema dà l’opportunità di far percepire l’esigenza dell’utilizzo delle lettere per dimostrare.

Il non utilizzo della via algebrica, specialmente in cat 9 e 10, può essere attribuito alla poca dimestichezza ad usare le lettere per esprimere proprietà o descrivere procedimenti generali (si preferisce giustificare per via retorica).

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Indicazioni didattiche

Il problema, proposto in classi di cat. 6, 7, 8 permette di far riflettere gli allievi sul fatto che non basta limitarsi a verificare l’invarianza del risultato facendo alcuni esempi, ma che occorre mostrare perché tale risultato è indipendente dal numero pensato.

Questa osservazione induce a rendersi conto che la somma di un numero con il suo successivo e successivamente con 9 è proprio uguale alla somma del doppio del numero con 10 e che quindi dividendo per 2 si ottiene il numero iniziale aumentato di 5.

Ciò consente di far ripercorrere agli allievi lo sviluppo storico: dall’algebra retorica a quella simbolica.

Il pensare ad indicare il numero iniziale con una lettera o un altro simbolo, permetterà di giungere abbastanza facilmente, a volte in modo spontaneo, a scrivere un’espressione e così mostrare agli allievi l’efficacia della scrittura simbolica rispetto a quella retorica.

Inoltre l’esposizione di numerosi esempi mette in luce l’idea di funzione come concetto in atto.

In particolare in cat. 7, 8 e 9 tale situazione può essere proposta proprio per introdurre la scrittura simbolica e i primi approcci al calcolo letterale.

Nella cat. 10 il problema offre la possibilità di comprendere l’utilità dello strumento “calcolo letterale” proprio per generalizzare una situazione e ragionare più facilmente.

Inoltre la procedura mediante un’equazione lineare, che deve essere riconosciuta come identità o come equazione il cui insieme di soluzioni è tutto Z (cosiddetta equazione «indeterminata», o meglio «con infinite soluzioni»), permette di capire se è stato interiorizzato il concetto di equazione e quello di soluzione.

Alcune insegnanti che hanno sperimentato il problema a partire dalla cat. 6 ritengono che il problema sia piacevole per gli allievi, perché suscita in loro curiosità e interesse .

Per andare più lontano

In alcuni protocolli gli allievi fanno osservazioni legate al cambiamento delle variabili numeriche in gioco:

• “se al posto di 9 mettiamo 11 il risultato è 6 invece di 5”
• “sostituendo al numero 9 il numero 7 il risultato è 4”
• “se al posto di 9 si addiziona il numero 3 si ottiene sempre il numero 2”

A partire da queste osservazioni si può chiedere agli allievi di inventare « nuove magie matematiche » e di formulare il problema relativo. In particolare nelle categorie più alte la manipolazione della scrittura simbolica permette di cambiare notevolmente il problema. In questo modo si apre la strada per affrontare problemi in cui si richiede una dimostrazione più complessa ( vedi I trucchi di nonno Giacomo e I trucchi di Andrea) .

Occorre sottolineare la valenza didattica dell’attività di «invenzione» di problemi: gli allievi passano dal «rispondere a domande» al «farsi delle domande», ponendosi così in un atteggiamento di ricerca, fondamentale per il loro rapporto personale con il Sapere, indipendentemente dall’Insegnante.

Il rafforzamento del rapporto Allievo-Sapere dovrebbe essere l’obiettivo principale di ogni insegnante e … lo è certamente per il Rally!