Сечения в школьном курсе геометрии и на ЕГЭ

Сотникова А.В.

МАОУ «Многопрофильный лицей №1» г.Магнитогорска

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На базовом уровне:

• оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников;
• объяснять принципы построения сечений, используя метод следов;
• строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу;
• строить сечения тел вращения: сечения цилиндра, конуса, шара.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА �СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, 10 – 11 класс

ФЕДЕРАЛЬНАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА �СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, 10 – 11 класс

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На профильном уровне:

• свободно оперировать понятиями, связанными с сечением многогранников плоскостью;
• строить сечения многогранников различными методами, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу;
• строить сечения многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара;
• использовать методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.

В школьном курсе математики изучение темы «Построение сечений многогранников» предполагает:

• развитие пространственного воображения обучающихся;
• знакомство с понятием поэтапного построения на проекционном чертеже.

По учебнику Л.С. Атанасяна в 10 классе в теме «Параллельность прямых и плоскостей» после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа «Задачи на построение сечений». В общем даны 11 задач на построение сечений, из них 3 задачи - на построение сечений в тетраэдре, 8 задач - на построение сечений в параллелепипедах и 4 задачи - не обязательные на базовом уровне.

Тема «Параллельность прямых и плоскостей» завершается решением задач на двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В задачах школьного уровня сложности сечением многогранника является 

многоугольник, вершины которого лежат на рёбрах, а стороны — на гранях многогранника.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной

В задачах на построение сечений секущая плоскость может быть задана:

• Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
• Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
• Двумя пересекающимися прямыми.
• Двумя параллельными прямыми.

​

Все задачи на построение сечений можно свести к построению сечения плоскостью, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Эти точки могут быть расположены:

А) в вершинах;

Б) на ребрах;

В) на гранях.

Для построения сечения достаточно:

• построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника,
• провести отрезки соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани

Использовать при решении

задач на сечения:

• Теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках.
• Алгоритм деления отрезка на n равных частей.
• Теорему Менелая.
• Свойство средней линии треугольника.
• Свойство биссектрисы угла треугольника.
• Свойство медиан треугольника
• Признаки и свойства параллельных прямых и плоскостей.

Использовать теоретический

материал по темам:

• Равнобедренный треугольник.
• Равносторонний треугольник.
• Прямоугольный треугольник.
• Признаки подобия треугольников.  
• Параллельность прямых и плоскостей

Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника

Прямая, по которой секущая плоскость (с/п) пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости в плоскости этого основания

Суть метода – восстановить следы сечения плоскостью на ребрах и гранях многоугольника с помощью построения следа сечения плоскостью на основание многоугольника (главного следа).

Суть метода – найти дополнительные точки с/п по проекциям ее известных точек на опорную плоскость при выбранном аппарате проецирования

Суть метода - искомое сечение строится с помощью метода следов или метода внутреннего проецирования, при этом дополнительно используются свойства данного многогранника, теоремы параллельности прямых и плоскостей

Чтобы посчитать, в каком отношении точка пересечения плоскости и отрезка делит этот отрезок, нужно сначала эту точку нарисовать. А для этого, необходимо построить сечение (или его часть)

Вычисление отношения длин отрезков

1 способ:

найти треугольники, образующие стандартное положение подобия

2 способ

применить

теорему Менелая

Стандартные положения подобия обычно используются в задачах,

где есть параллельные прямые (параллелепипеды,

четырехугольные призмы),

Обычно используется в задачах, где след сечения идёт по треугольной грани (пирамиды и треугольные призмы)

Вычисление отношений, в которых секущая плоскость делит ребра многогранника или какие-либо отрезки

Для нахождения подобных треугольников используется выносной чертёж

Вычисления проводятся на выносных чертежах в таком же порядке, в котором строится сечение.

Чтобы найти отношения, в которых плоскость делит не ребро многогранника, а какой-то более сложный отрезок, сначала необходимо построить точку пересечения прямой, которая дана по условию, и прямой пересечения двух плоскостей (секущей плоскости и плоскости, содержащей данную прямую)

Вычисление отношений, в которых секущая плоскость делит ребра многогранника или какие-либо отрезки

Могут быть использованы свойства точки пересечения медиан треугольника, точки пересечения диагоналей параллелограмма, теорема Фалеса

По итогам анализа результатов ЕГЭ в 2024 году в Челябинской области

Задача 14.

14

9, 10. 11

7

4,68

Не достаточный

Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол … умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения; использовать геометрические отношения при решении задач;

По России: задание полностью верно выполнили чуть меньше

5 % участников экзамена.

Профильный уровень

1.В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона АВ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах В₁С₁ и АВ отмечены точки Р и Q соответственно, причем РС₁=3, АQ=4. Плоскость А₁РQ пересекает ребро ВС в точке М. Докажите, что М - середина ВС.�

1.В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона АВ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах В₁С₁ и АВ отмечены точки Р и Q соответственно, причем РС₁=3, АQ=4. Плоскость А₁РQ пересекает ребро ВС в точке М. Докажите, что М - середина ВС.�

2.На ребре DD₁ правильной четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E, причем DE : D₁E = 6 : 1. Через точку E и середину ребра AB проведена плоскость α, параллельная прямой AC. Докажите, что плоскость α делит диагональ B₁D в отношении 2 : 3.�

2.На ребре DD₁ правильной четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E, причем DE : D₁E = 6 : 1. Через точку E и середину M ребра AB проведена плоскость α, параллельная прямой AC. Докажите, что плоскость α делит диагональ B₁D в отношении 2 : 3.�

2.На ребре DD₁ правильной четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E, причем DE : D₁E = 6 : 1. Через точку E и середину ребра AB проведена плоскость α, параллельная прямой AC. Докажите, что плоскость α делит диагональ B₁D в отношении 2 : 3.�

3. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с центром О. Точка E лежит на отрезке SD, причём DE : ES = 1 : 2. Через прямую AE проведена плоскость, параллельная прямой BD. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC?

3. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD с центром О. Точка E лежит на отрезке SD, причём DE : ES = 1 : 2. Через прямую AE проведена плоскость, параллельная прямой BD. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC?

4.(ЕГЭ 2024) Дана правильная пирамида SABC, точки К и М – середины ребер АВ и SC соответственно. Точки N и L на сторонах ВС и SA соответственно расположены таким образом, что LA=4SL и прямые NL и МК пересекаются.�а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.�б) Найдите отношение CN : NB.�

4.(ЕГЭ 2024) Дана правильная пирамида SABC, точки К и М – середины ребер АВ и SC соответственно. Точки N и L на сторонах ВС и SA соответственно расположены таким образом, что LA=4SL и прямые NL и МК пересекаются.�а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.�б) Найдите отношение CN : NB.�

• Разбить задачу на части. Нужно проанализировать фигуру: что дано и что нужно найти. Разделение на этапы упростит решение. 
• Использовать сечение как «план». Нужно начать с основной фигуры, потом нарисовать прямые, которые её пересекают. Это поможет увидеть взаимосвязь между частями. 

Чтобы улучшить навыки решения задач по теме «Сечения многогранников»,

можно следовать таким рекомендациям:

• Представлять сечение в 3D. Когда строится сечение на бумаге, важно представить, как оно будет выглядеть в реальной жизни. Не стоит бояться делать «несовершенные» чертежи. Чем больше практики, тем легче будет находить решение. 
• Не бросать задачу, если сразу не понятно, что делать. Сначала нужно решить её хотя бы схематично, а потом уточнить детали. 

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Галилео Галилей.

(1564-1642)

физик, астроном и механик, один из основоположников естествознания

Сотникова А.В.

МАОУ «Многопрофильный лицей №1» г.Магнитогорска

Сечения в школьном курсе геометрии и на ЕГЭ