�Розв'язування задач з теми �«Взаємне розміщення площин в просторі»

Геометрія 10

Площини перетинаються

Площини збігаються

Площини паралельні

Зʼясувати, чи площини паралельні, дає змогу ознака паралельності площин:

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, іншої площини, то ці площини паралельні

Інколи ознаку паралельності площин формулюють інакше:

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, паралельні іншій площині, то ці площини паралельні

Властивості паралельних площин:

Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній площині, і до того ж тільки одну.

Теорема 1

Теорема 2

Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Теорема 3

Паралельні площини, перетинаючи паралельні прямі, відтинають від них рівні відрізки.

Теорема 4

Дві площини, паралельні третій площині, паралельні між собою.

Задача 1

Відомо, що площини α і β – паралельні, прямі a і b належать площини α, а прямі a' і b‘ належать площині β . Укажіть правильні твердження:

1) а||β

2) а'||β

3) b||β

4) b||α

5) a'||α

6) b'||β

7) a||α

8) b'||α

​

Задача 1

Відомо, що площини α і β – паралельні, прямі a і b належать площини α, а прямі a' і b‘ належать площині β . Укажіть правильні твердження:

1) а||β

2) а'||β

3) b||β

4) b||α

5) a'||α

6) b'||β

7) a||α

8) b'||α

​

Відповідь: правильними є твердження 1,3,5,8

Задача 2

Задача 2

Задача 3

Задача 3

Розв'язання.

Сторони АВ і ВС паралелограма АВСD перетинаються і належать площині паралелограма. За умовою ці прямі відповідно паралельні двом прямим a і b, що перетинаються і належать площині . Тоді за ознакою паралельності площин (*) площина паралелограма АВСD і площина  є паралельними.

​

(*) – ознака паралельності площин:

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, іншої площини, то ці площини паралельні.

​

Задача 4

Дві діагоналі ромба паралельні площині ω. Визначте розміщення площини, якій належить ромб і площини ω.

Задача 4

Дві діагоналі ромба паралельні площині ω. Визначте розміщення площини, якій належить ромб і площини ω.

Розв'язання.

Діагоналі АС і ВD ромба АВСD перетинаються і належать площині ромба. За умовою ці прямі паралельні площині ω. Тоді за ознакою паралельності площин (*) площина ромба АВСD і площина ω є паралельними.

​

(*) – ознака паралельності площин:

Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, паралельні іншій площині, то ці площини паралельні.

​

Задача 5

Площина ω, якій належать дві паралельні прямі а і b, перетинає дві паралельні площини α і β по прямим АВ і СD. Визначте всі можливі назви чотирикутника АBDC.

Задача 5

Площина ω, якій належать дві паралельні прямі а і b, перетинає дві паралельні площини α і β по прямим АВ і СD. Визначте всі можливі назви чотирикутника АBDC.

Розв'язання.

За умовою прямі a і b паралельні, отже відрізки АС і ВD паралельні. Паралельні площини  і β, перетинаючи паралельні прямі, відтинають від них рівні відрізки, отже АС = ВD. Оскільки дві протилежні сторони чотирикутника АВDС паралельні й рівні, то ABDC – паралелограм. В залежності від довжин його сторін та градусних мір його кутів цей паралелограм може бути й прямокутником, і квадратом, і ромбом.

​

Задача 6

Дві прямі а і b, перетинаючись в точці О, перетинають паралельні площини α і β відповідно в точках А, В і С, D. Виберіть, користуючись рисунком, три правильних твердження.

Задача 6

Дві прямі а і b, перетинаючись в точці О, перетинають паралельні площини α і β відповідно в точках А, В і С, D. Виберіть, користуючись рисунком, три правильних твердження.

Розв'язання.

Прямі a і b перетинаються, отже задають деяку площину. Ця площина, перетинає паралельні площини  і β по паралельних прямих СD і АВ. Тоді:

1) Кут ОСD і кут ОВА рівні як відповідні кути при паралельних прямих СD і АВ та січній СВ;

2) трикутники СОD і ВОА подібні;

3) Відповідні сторони цих подібних трикутників пропорційні.

Задача 7

Задача 7

Розв'язання.

За умовою прямі ВА і ВС перетинаються, отже, задають деяку площину. Ця площина перетинає паралельні площини  і β, по паралельних прямих DЕ і D₁Е₁. Тоді трикутники DВЕ та D₁ВЕ₁ подібні, отже їх відповідні сторони пропорційні. Маємо ВD : ВD₁ = DЕ : D₁Е₁ ,тобто

12 : 18 = DЕ : 54, звідки DЕ = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

Додатковий матеріал до теми уроку

Параграф 6 – стор. 220 – 227