1 of 11

Исследовательская работа ��Использование теории вероятностей при подсчете выигрыша в игре «Покер на кубиках»

Коваленко Дмитрий Борисович

МАОУ Политехническая гимназия

11 В класс

3 of 11

Введение

Цель: рассчитать вероятность выпадения определенных комбинаций в игре «Покер на кубиках», разделив их на 2 типа.
Задачи:
Ввести основные понятия теории вероятностей.
Разделить комбинации на 2 типа и создать математические модели игры для каждого из них.
Рассчитать вероятность выпадения комбинаций и матожидание очков на основе этих моделей.
Создать и применить программы компьютерной симуляции для проверки теоретических расчетов.

Гипотеза: дискретная вероятность действительно позволяет посчитать частоту выпадения определенных комбинаций с высокой точностью.

4 of 11

Дискретная вероятность и математическое ожидание

Вероятностное пространство – множество элементов, именуемых элементарными событиями.
Исход – какое либо подмножество, состоящее из элементарных событий.
Событие – множество исходов, элементы которого именуются хорошими исходами.
Дискретная вероятность события – отношение числа хороших исходов к общему числу исходов на данном вероятностном пространстве. Дискретность означает конечность вероятностного пространства.
Математическое ожидание (далее матожидание) величины – сумма произведений вероятностей событий на значения их случайной величины.

5 of 11

Первый тип комбинаций - количественные

Пусть наше вероятностное пространство – это множество всех упорядоченных наборов чисел на кубиках, которые и будут являться элементарными событиями.

Рассмотрим вероятностное пространство как граф, вершины которого это элементарные события, а ребром будем соединять два набора отличные ровно одним кубиком.

6 of 11

Радиус-множества

Радиус-множество R(k) для конкретного набора – это множество всех вершин находящихся на расстоянии ровно k от него.
Расстояние между двумя вершинами – длина любого кратчайшего пути между ними
Сверху вниз показаны R(3), R(2), R(1) для набора типа «Покер» и внизу сам «Покер».

R(3)

R(2)

R(1)

7 of 11

Таблицы перехода между радиус-множествами

R(A, 3), n	1	2	3	4	5	6
R(A, 3)	3.66	4.69	5.72	6.75	7.79	8.82
R(A, 2)	1.6	2.61	3.62	4.64	5.65	6.67
R(A, 1)	0.28	0.56	0.83	1.11	1.39	1.67
«покер»	0.23	0.23	0.23	0.23	0.23	0.23
Итог	5.76	8.09	10.41	12.74	15.06	17.38

R(A, 2), n	1	2	3	4	5	6
R(A, 2)	3.19	5.22	7.25	9.28	11.31	13.33
R(A, 1)	1.11	2.22	3.33	4.44	5.56	6.67
«покер»	1.39	1.39	1.39	1.39	1.39	1.39
Итог	5.69	8.83	11.97	15.11	18.25	21.39

R(A, 1), n	1	2	3	4	5	6
R(A, 1)	3.33	6.67	10.00	13.33	16.67	20.00
«покер»	8.33	8.33	8.33	8.33	8.33	8.33
Итог	11.67	15.00	18.33	21.67	25.00	28.33

Из R(3) в R(3), R(2), R(1) или «Покер»

Из R(2) в R(2), R(1) или «Покер»

Из R(1) в R(1) или «Покер»

8 of 11

Комбинация второго типа – «стрит»

Вам предлагается самим попробовать собрать эту комбинацию по следующей стратегии:
1. Бросьте кубики и отложите все кроме шестерок без повторений
2. Перебросьте оставшиеся кубики и повторите пункт 1, но не откладывайте те числа, которые уже отложили.
3. Вы вправе сделать 2 переброса за ход. Если у вас получилось выбросить «стрит», то вы достаточно удачливы, ведь вероятность его выпадения примерно равна 19,7%. Иными словами вы должны выбрасывать в среднем один «стрит» каждые 5 ходов.

10 of 11

Вывод

Практические и теоретические результаты совпали с точностью до сотых, что достаточно для подтверждения гипотезы.
Для достижения большей точности эмпирическими методами (симуляции) потребуется экспоненциально большее количество число симуляций (для достижения точности до тысячных программе уже требуется около минуты на работу), но позволяет быстро проверить верность теоретических выкладок.
Теоретический метод в свою очередь бывает крайне громоздок или идейно сложен, но при этом гарантирует абсолютную точность.
Таким образом, грамотное использование обоих методов позволяет получить необходимую математическую модель с минимальным риском ошибки и быстрой проверкой результатов.