Les fonctions
leurs propriétés
et
Chaque fonction possède ses propres caractéristiques :
Ainsi, l’analyse de ces propriétés permet de cerner chaque type de fonctions.
- domaine;
- codomaine (ou image);
- variation;
- signes;
- coordonnées à l’origine;
- extrémums;
- axe de symétrie.
Pour décrire les caractéristiques d’une fonction, il faut d’abord vérifier si elle est bornée ou non.
Dans l’exemple ci-contre,
la fonction est bornée.
Elle a un début
et une fin.
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y
x
Le domaine d’une fonction
Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction.
Nous nous intéressons donc aux valeurs de x (la variable indépendante) dans la fonction.
Il faut donc lire sur l’axe des x.
Dans cet exemple, dom f :
[ 0 , 4 ]
De façon formelle, on écrit dom f = { x ( x , f(x) ) f(x) }.
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y
x
Donne le domaine des fonctions suivantes.
dom f :
[ -5 , 8 ]
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y
x
dom f :
[ -9 , 3 ]
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y
x
dom f :
[ -5 , 5 ]
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x
dom f :
[ -7 , 7 ]
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x
dom f :
[ -7 , 9 ]
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y
x
Le domaine peut être alors beaucoup plus grand.
De
jusqu’à
∞
-
∞
+
ou
dom f : R
Lorsqu’on analyse un modèle théorique, il faut savoir que la fonction n’est pas bornée.
dom f : ] -
∞
,
∞
+
[
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y
x
Remarque
L’intervalle
signifie tous les nombres réels.
Il est donc préférable d’utiliser le symbole représentant cette famille, soit R.
dom f : R
pas mauvais
préférable
dom f : ] -
∞
,
∞
+
[
] -
∞
,
∞
+
[
dom f : R
Donne le domaine des fonctions suivantes.
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x
dom f : R
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x
Le codomaine d’une fonction
ou
l’image d’une fonction
Le codomaine ou l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction.
Nous nous intéressons donc aux
valeurs que prend f(x) (variable
dépendante) dans la fonction.
Il faut donc lire sur l’axe des y.
Dans cet exemple, ima f : [ 0 , 8 ]
On pourrait aussi écrire :
De façon formelle, on écrit ima f = { f(x) ( x , f(x) ) f(x) }.
codom f : [ 0 , 8 ]
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y
x
ima f : [ -8 , 8 ]
Donne le codomaine des fonctions suivantes.
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x
ima f : [ -3 , 4 ]
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y
x
Remarque :
Pour exprimer un intervalle, il faut toujours le faire de la plus petite valeur à la plus grande.
Correct.
Incorrect.
ima f : [ -3 , 4 ]
ima f : [ 4 , -3 ]
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x
ima f : [ 0 , 7 ]
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x
ima f : [ 1 , 8 ]
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y
x
ima f : [ -4 , 3 ]
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x
∞
-
∞
+
Lorsqu’on analyse un modèle théorique, il faut savoir que la fonction n’est pas bornée.
ou
ima f : R
ima f : ] -
∞
,
∞
+
[
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y
x
ima f : ] - , 3 ]
∞
Donne le codomaine des fonctions suivantes.
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x
avec les symboles d’infini.
Ce n’est pas nécessaire.
sont acceptés.
Remarque :
Certains auteurs mettent des crochets ouverts ] , [
ima f : ] - , 3 ]
∞
ima f : - , 3 ]
ou
∞
Quelle est la signification de ces phrases ?
ima f = { f(x) ( x , f(x) ) f(x) }.
dom f = { x ( x , f(x) ) f(x) }.
dom f = { x ( x , f(x) ) f(x) }
∈
Le domaine de la fonction
est constitué de toutes les valeurs de x
qui font que les couples (x , f(x))
appartiennent
à la fonction.
ima f = { f(x) ( x , f(x) ) f(x) }
∈
Le codomaine de la fonction
est constitué de toutes les valeurs de f(x)
qui font que les couples (x , f(x))
appartiennent
à la fonction.
Donne le domaine et le codomaine des fonctions suivantes.
dom f : [ -5 , 8 ]
ima f : [ -8 , 8 ]
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y
x
dom f : [ -9 , 3 ]
ima f : [ -3 , 4 ]
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x
dom f : [ -7 , 9 ]
ima f : [ -4 , 3 ]
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dom f : R
ima f : R
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y
x
dom f : R
codom f :
] - , 3 ]
∞
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y
x
Variation d’une fonction :
- croissance;
- décroissance;
- constance.
Une fonction f est croissante sur un intervalle donné du domaine si :
Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est croissante si les valeurs de f(x) augmentent.
<
x1
x2
f(x1)
f(x2)
<
x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f(x1) < f(x2)
y
x
Exemple
Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x de -6 à -1, les valeurs de f(x) augmentent.
Nous dirons que la fonction est croissante sur l’intervalle
[ -6 , -1]
f(x) sur :
[ -6 , -1]
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y
x
Une fonction f est décroissante sur un intervalle donné du domaine si :
Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est décroissante si les valeurs de f(x) diminuent.
<
x1
x2
f(x1)
f(x2)
<
x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f(x1) > f(x2)
y
x
Exemple
Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x de -1 à 4, les valeurs de f(x) diminuent.
Nous dirons que la fonction est décroissante sur l’intervalle
[ -1 , 4 ]
f(x) sur :
[ -1 , 4 ]
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y
x
Une fonction f est constante sur un intervalle donné du domaine si :
Ceci signifie, que pour un intervalle particulier du domaine, la fonction est constante si les valeurs de f(x) ne changent pas.
x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f(x1) = f(x2)
Exemple
Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x, les valeurs de f(x) ne changent pas.
Nous dirons que la fonction est constante sur l’intervalle
Attention :
La croissance, la décroissance et la constance d’une fonction s’analysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur l’axe des x.
[ -6 , 5 ]
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x
Remarque
Souvent le signe = est inclus dans les définitions de croissance et de décroissance.
L’intervalle de constance est alors inclus à la fois dans l’intervalle de croissance et dans l’intervalle de décroissance.
x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f (x1) ≤ f(x2)
x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f (x1) ≥ f(x2)
Dans cet exemple :
- l’intervalle de croissance est :
f(x) sur : [ -8 , 2]
- l’intervalle de décroissance est :
f(x) sur : [ -5 , 9]
- l’intervalle de constance est :
[ -5 , 2 ]
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x
Analyse la variation des fonctions suivantes.
f(x) sur : [ 0 , 4 ]
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x
f(x) sur : [ -5 , 8 ]
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x
f(x) sur : [ -9 , 3 ]
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x
f(x) sur : [ 0 , 7 ]
f(x) sur : [ -7 , 0 ]
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y
x
f(x) sur : [ -7 , 1 ]
f(x) sur : [ 1 , 9 ]
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f(x) sur : R
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f(x) sur : - , 1 ]
∞
f(x) sur : [ 1 , +
∞
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y
x
f(x) sur : R
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x
Les signes d’une fonction
Une fonction est positive lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont positives.
Une fonction est négative lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont négatives.
x [ a , b ] : f (x) ≥ 0
x [ a , b ] : f (x) ≤ 0
Explication
Au-dessus de l’axe des x, les valeurs de f(x) sont positives,
donc, f(x) ≥ 0.
( -1 , )
( -3 , )
( -5 , )
( -6 , )
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7
( 3 , )
( 4 , )
( 6 , )
( 8 , )
-2
-3
-5
-7
Au-dessous de l’axe des x, les valeurs de f(x) sont négatives,
donc, f(x) ≤ 0.
Attention :
Les signes d’une fonction (les valeurs de f(x)) s’analysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur l’axe des x.
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y
x
Exemple
- lorsque nous nous déplaçons sur
l’axe des x de -5 jusqu’à 2, les
valeurs de f(x) sont négatives,
donc f(x) ≤ 0 sur : [ -5 , 2 ]
- lorsque nous nous déplaçons sur
l’axe des x de 2 jusqu’à 8, les valeurs
de f(x) sont positives,
donc f(x) ≥ 0 sur : [ 2 , 8 ]
Dans cette fonction :
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-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Analyse les signes des fonctions suivantes.
f(x) ≤ 0 sur : [ -2 , 3 ]
f(x) ≥ 0 sur : [ -9 , -2 ]
Remarque :
0 étant considéré à la fois, comme positif et négatif, cette valeur particulière de f(x) doit être considérée sur les deux intervalles; les intervalles sont donc fermés.
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2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
De plus, lorsque la fonction traverse l’axe des abscisses, f(x) = 0.
Donc, f(x) = 0 à : - 2
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3
2
-2
-3
-4
-5
-6
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-8
-9
y
x
f(x) ≥ 0 sur : [ -5 , 5 ]
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-2
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-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
f(x) ≥ 0 sur : [ -4 , 6 ]
f(x) ≤ 0 sur : [ -7 , -4 ] [ 6 , 9 ]
∪
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-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
f(x) ≤ 0 sur : - , -2 ]
∞
f(x) ≥ 0 sur : [ -2 , +
∞
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6
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4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
f(x) ≥ 0 sur : [ -6 , 8 ]
∪
f(x) ≤ 0 sur : - , -6 ] [ 8 , +
∞
∞
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4
5
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3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Les coordonnées à l’origine d’une fonction :
- l’abscisse à l’origine ou zéro(s) de fonction.
- l’ordonnée à l’origine ou valeur initiale;
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes.
Dans cet exemple, l’ordonnée à l’origine est 3,
à ce point précis, f(x) = 3 et x = 0.
Les coordonnées de l’ordonnée à l’origine sont donc (0 , 3),
mais l’ordonnée à l’origine est 3.
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-3
-4
-5
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-7
-8
-9
y
x
Dans cet exemple, l’abscisse à l’origine est -6,
à ce point précis, x = -6 et f(x) = 0.
Les coordonnées de l’abscisse à l’origine sont donc (-6 , 0),
mais l’abscisse à l’origine est -6.
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes.
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-3
-4
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y
x
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-1
9
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7
6
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4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Théoriquement, l’ordonnée à l’origine est la valeur de la fonction quand x = 0.
Donc, f(0).
0
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes.
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3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Théoriquement, l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand
la fonction = 0.
Donc, f(x) = 0.
0
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes.
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y
x
Remarque
L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand la fonction est égale à zéro.
car à ce point précis,
la fonction vaut 0.
C’est pourquoi, on l’appelle aussi le zéro de fonction,
Attention :
abscisse(s) à l’origine
=
zéro(s) de fonction.
f(x) = 0.
0
Ordonnée à l’origine :
Abscisse à l’origine :
Symbole
f(0)
f(x) = 0
Coordonnées de l’ordonnée à l’origine :
Donne les coordonnées à l’origine des fonctions suivantes.
(0 , 4).
(2 , 0).
Coordonnées de l’abscisse à l’origine :
1
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5
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-3
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y
x
-3
-4
f(0) :
f(x) = 0 :
1
1
2
3
4
5
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8
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3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
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-9
y
x
Remarque :
Une fonction peut avoir plus d’une abscisse à l’origine.
y
-6
4
et
3
f(0) :
f(x) = 0 :
1
1
2
3
4
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6
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-9
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5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
aucune
Remarque :
Une fonction peut ne pas avoir d’abscisse à l’origine.
5
f(0) :
f(x) = 0 :
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
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9
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6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
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-9
y
x
f(0) :
0
0
f(x) = 0 :
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
-8
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-6
-5
-4
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4
3
2
-2
-3
-4
-5
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-9
y
x
Les extrémums d’une fonction :
- maximum absolu;
- minimum absolu;
- maximum relatif;
- minimum relatif.
Le maximum absolu d’une fonction est la plus grande valeur de f(x).
Exemple
Max. abs. : 4
Remarque :
Les extrémums se lisent sur l’axe des ordonnées.
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5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Le minimum absolu d’une fonction est la plus petite valeur de f(x).
Exemple
Min. abs. : -9
1
1
2
3
4
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6
7
8
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-9
-8
-7
-6
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3
2
-2
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-8
-9
y
x
On parle également de maximum relatif pour désigner l’ordonnée de tout sommet de la fonction qui, étant croissante avant ce sommet, devient immédiatement décroissante après ce sommet.
Max. abs.
Max. relatif
Max. abs. : 7
Max. relatif : 5
1
1
2
3
4
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7
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5
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3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
On parle également de minimum relatif pour désigner l’ordonnée de tout sommet de la fonction qui, étant décroissante avant ce sommet, devient immédiatement croissante après ce sommet.
Min. abs.
Min. relatif
Min. abs. : -4
Min. relatif : 2
1
1
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7
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Min. abs.
Min. relatif
Remarque :
Ce point
n’est pas considéré comme un minimum relatif, car d’après la définition, il n’y a pas de croissance après ce point.
1
1
2
3
4
5
6
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7
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Détermine les extrémums des fonctions suivantes.
Min. abs. : 0
Max. abs. : 7
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
9
8
7
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Min. abs. : 2
Max. abs. : 9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
-8
-7
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-1
-1
9
8
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6
5
4
3
2
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-6
-7
-8
-9
y
x
Min. abs. : -4
Max. abs. : 3
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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-8
-7
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-1
-1
9
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6
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4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Min. abs. : aucun
Max. abs. : aucun
Remarque :
Cette fonction n’a pas de maximum absolu ni de minimum absolu, car une extrémité se dirige vers moins l’infini et l’autre vers plus l’infini.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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-3
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-1
-1
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6
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2
-2
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-9
y
x
Max. abs. : 3
Min. abs. : aucun
1
1
2
3
4
5
6
7
8
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-3
-2
-1
-1
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3
2
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-3
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-6
-7
-8
-9
y
x
1
1
Min. abs. : -1
Max. abs. : 1
y
x
Min. abs. : aucun
Max. abs. : aucun
Remarque :
Cette fonction n’a ni ordonnée à l’origine ni abscisse à l’origine.
y
x
Max. abs. :
Max. relatif :
Min. abs. :
Min. relatif :
aucun
-3 et 4
-8
-5 et 2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
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-7
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-2
-1
-1
9
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7
6
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4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
L’axe de symétrie d’une fonction
L’axe de symétrie est une autre caractéristique de certaines fonctions.
Exemple
La parabole suivante est symétrique par rapport à l’axe de symétrie x = 5.
Cette caractéristique est intéressante, car elle nous permet de déterminer rapidement les abscisses à l’origine (les zéros de fonction).
Axe de symétrie : x = 5
Zéros de fonction : 1 et 9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
9
8
7
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
Remarque
1. L’axe des abscisses sert de référence pour analyser :
- le domaine;
- la variation (croissance, décroissance et constance);
- les signes
(f(x) ≥ 0 et
f(x) ≤ 0);
- le(s) abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de fonction.
2. L’axe des ordonnées sert de référence pour analyser :
- le codomaine ou l’image;
- les extrémums;
- l’ordonnée à l’origine.
Analyse les propriétés de la fonction suivante.
- dom f :
- ima f :
- fonction croissante sur :
- signes positifs sur :
- ordonnée à l’origine :
- abscisse à l’origine (zéro de fonction) :
- extrémum :
- signes négatifs sur :
- fonction décroissante sur :
[ 0 , 9 ]
[ 100 , 1 100 ]
[ 0 , 1 ]
[ 3 , 6 ]
[ 8 , 9 ]
[ 1 , 3 ]
[ 4 , 8 ]
[ 0 , 9 ]
aucun intervalle
400
aucune
maximum absolu :
1 100
minimum absolu :
100
maximum relatifs :
700 et 800
minimum relatif :
200
1 300
1 200
1 100
1 000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
Analyse les propriétés de la fonction suivante.
- dom f :
R
- ima f :
R
- f(x) sur :
aucun intervalle
- f(x) sur :
R
- f(x) ≤ 0 sur :
- f(x) ≥ 0 sur :
- ordonnée à l’origine : f(0) :
- abscisse à l’origine (zéro de fonction) : f(x) = 0 :
- extrémum :
- axe de symétrie :
4
2
aucun
aucun
∞
- , 2 ]
∞
[ 2 , +
1
1
y
x
Analyse les propriétés de la fonction suivante.
- dom f :
R
- ima f :
- f(x) sur :
- f(x) sur :
- f(x) ≤ 0 sur :
- f(x) ≥ 0 sur :
- ordonnée à l’origine : f(0) :
- extrémum :
- axe de symétrie :
≈ -3,8
-8 et 6
minimum absolu à -4
x = -1
1
1
∞
[ -4 , +
[ -1 , +
∞
- , -1 ]
∞
∪
- , -8 ] [ 6 , +
∞
∞
[ -8 , 6 ]
-8
6
- abscisses à l’origine (zéros de fonction) :
f(x) = 0 :
y
x
Analyse les propriétés de la fonction suivante :
f(x) = 2x - 6
Pour t’aider à analyser une fonction linéaire à partir de sa règle, trace son graphique à partir du principe suivant :
« Par deux points, on ne peut faire passer qu’une seule droite. »
Donc, en déterminant l’ordonnée à l’origine et le zéro de fonction, tu auras les deux points dont tu as besoin.
f(x) = 2x - 6
f(0) = 2x – 6
f(0) = 2 x 0 – 6 = -6
f(x) = 2x - 6
ordonnée à l’origine : f(0)
f(0) = -6
abscisse à l’origine : f(x) = 0
0 = 2x - 6
6 = 2 x
3 = x
Donc, (0 , -6)
Donc, (3 , 0)
f( x ) = 2 x - 6
dom f :
R
ima f :
R
aucun intervalle
f(x) sur :
f(x) sur :
R
f(x) ≤ 0 sur :
f(x) ≥ 0 sur :
Abscisse à l’origine : f(x) = 0 :
3
Ordonnée à l’origine : f(0) :
-6
Extrémum :
aucun
Axe de symétrie :
aucun
( 0 , -6 )
( 3 , 0 )
[ 3 , +
∞
- , 3 ]
∞
1
1
y
x
Les fonctions ont des notations particulières :
- f(0) :
signifie la valeur de la fonction (la valeur de f(x)) quand x vaut 0, soit l’ordonnée à l’origine.
- f(x) = 0 :
signifie la valeur de x quand la fonction vaut 0, soit l’abscisse ou les abscisses à l’origine (zéro(s) de fonction).
- f(3) :
Exemple :
Dans la fonction suivante, f(x) = 2x + 5, que vaut f(3) ?
f(x) = 2x + 5
f(3) = 2 . 3 + 5 = 11
Ce qui correspond au couple (3 , 11).
signifie la valeur de la fonction (la valeur de f(x)) quand x vaut 3.
f(x) = 13 :
Exemple :
Dans la fonction suivante: f(x) = 2x + 5, que vaut x quand f(x) = 13 ?
f(x) = 2x + 5
13 = 2x + 5
Ce qui correspond au couple (4 , 13).
signifie la valeur de x quand la fonction (la valeur de f(x)) vaut 13.
Il faut alors résoudre l’équation.
13 = 2x + 5
8 = 2x
4 = x
Depuis 1970, le Québec utilise le Système international d’unités (SI). Ainsi, pour calculer la vitesse d’une automobile, l’unité de mesure utilisée est le kilomètre à l’heure (km/h). Avant cette date, nous utilisions le Système impérial. Le calcul de la vitesse d’une automobile s’effectuait alors avec l’unité de mesure mille par heure (MPH).
Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.
L’équation permettant de passer des km/h aux MPH est :
f(x) = 0,625 x
dans laquelle
x représente la variable indépendante : km/h
et
f(x) représente la variable dépendante : MPH
On voudrait convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160.
Détermine le domaine et le codomaine de cette situation.
Le domaine est relié à la variable indépendante.
Le codomaine est relié à la variable dépendante.
Pour calculer ce codomaine, la règle est la suivante :
f(x) = 0,625 x
Le codomaine étant en relation avec le domaine :
D’abord, la première valeur de f(x) est calculée en remplaçant x par la première valeur du domaine qui est égale à 0.
f(x) = 0,625 x
f(0) = 0,625 X 0 = 0 MPH
dom f : [ 0 , 160 ] km/h
Donc,
Puis, la dernière valeur du codomaine est calculée en remplaçant x par 160.
f(x) = 0,625 x
f(160) = 0,625 X 160 = 100 MPH
codom f :
[ 0 , 100 ] MPH
Pour convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160,
la règle est :
f(x) = 0,625 x
dom f : [ 0 , 160 ] km/h
codom f :
[ 0 , 100 ] MPH
dom f : [ 0 , 160 ] km/h