1 of 38

Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач. Практична робота 4

2-ге видання, оновлене

Урок 14

Інформатика

teach-inf.com.ua

за підручником

Морзе Н.В. та ін.

Рівень стандарту 10(11)

2 of 38

Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач

Пригадай

як здійснювати обчислення в середовищі табличного процесора;
значення яких математичних функцій можна обчислити в середовищі табличного процесора.

Ти дізнаєшся

які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем;
як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора;
які задачі називають оптимізаційними;
як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора.

Розділ 2

§ 12

3 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

Багато задач економіки, екології, фізики, хімії, механіки, біології можна описати за допомогою математичних моделей — деяких математичних співвідношень або їх систем.

передбачити хід процесу

розрахувати вихідні параметри процесу

керувати процесом

проектувати системи з бажаними характеристиками

Математичні моделі дають змогу:

Розділ 2

§ 12

4 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

Але тільки обмежене коло практичних задач можна описати рівняннями чи їх системами, розв'язки яких ви навчилися знаходити в курсі математики.

У складних випадках або для перевірки розв'язків більш простих завдань використовують різні спеціальні програмні засоби.

Розділ 2

§ 12

5 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

Одним з додатків, доступних у сучасних смартфонах, є Photomath

(див. відео https://vimeo.com/147764920)

За допомогою якого можна просто навести камеру на записаний від руки чи надрукований математичний вираз й отримати покрокову інструкцію щодо його розв'язування.

Розділ 2

§ 12

6 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

У додатку є можливість:

виконувати операції із цілими та дробовими числами

знаходити степені та корені

знаходити значення логарифмічних функцій

спрощувати алгебраїчні вирази

розв'язувати лінійне, квадратичне, раціональне, нераціональне, логарифмічне, експоненціальне, рівняння

знаходити розв'язки систем рівнянь

обчислювати похідні та інтеграли

виконувати тригонометричні перетворення

розпізнавати й описувати математично графіки елементарних функцій

Розділ 2

§ 12

7 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

Графічний спосіб розв'язування рівнянь та їх систем підтримується в сервісі Geogebra (geogebra.org) засобами графічного калькулятора.

Розділ 2

§ 12

8 of 38

Сервіс Geogebra (geogebra.org)

Поле для введення функції

Інструменти для запису матема-тичних виразів

Область побудови

Налаштування вигляду побудови

Інструменти зміни розміру області побудови

Розділ 2

§ 12

9 of 38

Які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв'язування рівнянь та їх систем?

Аналітичний розв'язок рівнянь та їх систем з покроковим поясненням методу розв'язування можна отримати у веб-сервісі Mathway (mathway.com).

Наприклад, на малюнку продемонстровано процес розв'язування рівняння х³ + х² — Зх — 2 = 0.

Розділ 2

§ 12

10 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Задача знаходження коренів рівнянь є однією з найважливіших для практики задач математики. Корені рівнянь не часто можна знайти точно. Здебільшого на практиці задача зводиться до приблизного знаходження кореня.

Одним із засобів для наближеного знаходження кореня рівняння, яке записується деякою цільовою функцією, є використання інструмента Підбір параметра табличного процесора MS Excel.

Розділ 2

§ 12

11 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

В електронній книзі формулу обчислення цільової функції записують у певну клітинку, яку також називають цільовою.

Цільова функція залежить від параметрів (часто — від одного параметра), значення яких зберігаються в інших клітинках електронної таблиці. Власне кажучи, задача полягає в доборі таких значень параметрів, за яких у цільовій клітинці буде отримано бажаний результат.

Розділ 2

§ 12

12 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Наприклад, нехай нам потрібно знайти число х, яке є коренем рівняння:

х² + 2х + 1 = 0

Для цього в одну з клітинок електронної таблиці слід увести формулу цільової функції. Це буде цільова клітинка (на малюнку —

клітинка СЗ).

Розділ 2

§ 12

13 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Далі необхідно виконати вказівку Дані ⇒ Аналіз «Що якщо» ⇒ Підбір параметра та заповнити поля у вікні, що відкриється:

поле Установити у клітинці має містити адресу цільової клітинки;

у поле Значення слід ввести значення, якого має набути цільова функція;

у поле Змінюючи значення клітинки потрібно ввести адресу клітинки-параметра.

Розділ 2

§ 12

14 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Наприклад, на малюнку параметр міститиметься у клітинці С2, і якщо в цільовій клітинці СЗ потрібно отримати значення 0, вікно Підбір параметра слід заповнити так, як на малюнку:

На завершення потрібно клацнути кнопку ОК. У цільовій клітинці буде відображено значення, якого має набувати цільова функція, а в клітинці параметра — шукане значення параметра.

Розділ 2

§ 12

15 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

На малюнку показано, як у клітинці С2 знайдено значення параметра (наближене число до -1), за якого цільова функція у клітинці СЗ набуває значення 0. Тобто фактично розв’язано рівняння:

х² + 2х + 1 = 0

Розділ 2

§ 12

16 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Використовуючи засіб Підбір параметра, клітинку параметра можна залишити порожньою, однак бажано попередньо визначити деяке початкове значення, адже від цього залежить швидкість отримання результату (особливо коли йдеться про складні цільові функції), а в деяких випадках — і сам результат.

Розділ 2

§ 12

17 of 38

Як знаходити наближений розв'язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Якщо цільова функція складна, може виникнути ситуація, коли не одне, а кілька значень параметра відповідають її шуканому значенню. Яке з них буде знайдено, залежить від початкового значення в клітинці параметра.

У таких випадках, перш ніж добирати параметр, доцільно побудувати графік цільової функції, щоб визначити початкове значення параметра наближено.

Розділ 2

§ 12

18 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

У багатьох задачах потрібно не просто знайти деякий розв'язок, а дібрати серед усіх розв'язків найкращий (оптимальний). Ідеться про такі задачі, як:

підбір збалансованого раціону харчування

оптимізація асортименту продукції

оптимізація транспортних перевезень та багато інших

Їх ще називають оптимізаційними.

Розділ 2

§ 12

19 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

Перш ніж розпочинати розв'язування оптимізаційної задачі, потрібно описати її в математичному вигляді, тобто побудувати її математичну модель. Модель оптимізаційної задачі складається з таких елементів:

змінні — невідомі величини, значення яких потрібно знайти в результаті розв'язування задачі;

цільова функція — величина, яка залежить від змінних і значення якої потрібно максимізувати чи мінімізувати;

критерій — вимога мінімізації чи максимізації цільової функції;

обмеження — умови, яким мають задовольняти змінні.

Розділ 2

§ 12

20 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

Найпростішою оптимізаційною задачею вважається задача пошуку максимального або мінімального значення функції однієї змінної. Наведемо приклад математичної моделі такої задачі:

змінна

цільова функція

f(x)

критерій

обмеженнями

0 < х < 10

Розділ 2

§ 12

21 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

Добре дослідженим і важливим для планування виробничих процесів різновидом оптимізаційних задач є задачі лінійного програмування (ЗЛП), тобто задачі, у яких цільова функція та обмеження є лінійними. У загальному випадку математична модель ЗЛП має такий вигляд:

(1)

(2)

(3)

Розділ 2

§ 12

22 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

У непрямих обмеженнях замість знаків «<» можуть стояти знаки «>» або «=». Крім того, можуть накладатися додаткові обмеження, наприклад, може вимагатися, щоб змінні були цілочисельними.

змінні

х₁, … x_n

деякі числа

а_ij, b_i та с_i

цільова функція разом із критерієм

а_ij, b_i та с_i

непряме обмеження

(2)

пряме обмеження

(3)

Розділ 2

§ 12

23 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

Загалом алгоритм розв'язування оптимізаційної задачі такий.

Введення позначень. Потрібно визначити, яка змінна яку величину позначатиме.

Створення цільової функції та критерію. Слід визначити, яка величина максимізуватиметься чи мінімізуватиметься, та записати формулу залежності цієї величини від змінних, тобто формулу цільової функції. Нею може бути вартість продукції, обсяг прибутку, обсяг витрат на виробництво та перевезення.

Розділ 2

§ 12

24 of 38

Які задачі називають оптимізаційними?

(продовження…) алгоритм розв'язування оптимізаційної задачі:

Складання системи обмежень. Обмеження — це нерівності або рівності, яким мають задовольняти значення змінних.

Розв'язування задачі. Деякі оптимізаційні задачі можна розв'язати аналітично, без використання комп'ютера, проте цей спосіб надто трудомісткий.

Розділ 2

§ 12

25 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

У середовищі табличного процесора Microsoft Excel передбачено спеціальний інструмент для розв'язування оптимізаційних задач — Пошук розв'язку. Для його налаштування виконують такі дії:

У меню Файл обирають Параметри.

У вікні Параметри Excel у меню в лівій частині вікна обирають Надбудови.

У нижній частині вікна Управління надбудовами Microsoft Office у списку Керування обирають Надбудови Excel та натискують кнопку Перейти...

Розділ 2

§ 12

26 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

У вікні Надбудови ставлять позначку біля надбудови Пошук розв'язання.

Розділ 2

§ 12

27 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Пошук розв'язку запускається за допомогою

Дані ⇒ Аналіз ⇒ Розв'язувач.

Цей засіб шукає розв'язок оптимізаційної задачі за ітеративним алгоритмом, багаторазово змінюючи значення змінних на малу величину й таким чином наближуючи цільову функцію до оптимального значення.

Розділ 2

§ 12

28 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Після виконання вказівки Дані ⇒ Аналіз ⇒ Розв'язувач відкриється вікно Параметри розв'язувана.

Розділ 2

§ 12

29 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Розглянемо призначення основних елементів діалогового вікна Параметри розв'язувана.

У полі Оптимізувати цільову функцію вказують адресу цільової клітинки (ця клітинка має містити формулу цільової функції).

За допомогою перемикача До вказують, до яких значень потрібно оптимізувати цільову функцію: максимізувати, мінімізувати або отримати задане значення.

У полі Змінюючи клітинки змінних вказують адреси клітинок, де містяться аргументи цільової функції.

Область Підлягає обмеженням призначена для відображення списку граничних умов поставленої задачі.

Кнопка Додати призначена для створення обмежень.

Кнопку Змінити використовують для редагування наявних обмежень.

Розділ 2

§ 12

30 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

(Продовження…) Призначення основних елементів діалогового вікна Параметри розв'язувана.

Кнопка Видалити призначена для скасування виділеного обмеження.

Кнопку Параметри використовують для завантаження або збереження оптимізаційної моделі, визначення граничного часу роботи засобу та настроювання інших параметрів.

Кнопка Скинути призначена для очищення полів вікна і відновлення значень параметрів пошуку розв'язку, використовуваних за замовчуванням.

За допомогою кнопки Розв'язати запускають процес пошуку розв'язку.

Кнопка Закрити призначена для виходу з вікна без пошуку розв'язку (усі настройки зберігаються).

Розділ 2

§ 12

31 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Отже, у вікні Параметри розв'язувана потрібно:

ввести дані про змінні

ввести дані про цільову функцію

ввести дані про обмеження

клацнути кнопку Розв'язати

Розділ 2

§ 12

32 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Коли інструмент Розв'язувач завершить роботу, буде відображено вікно Результати розв'язувана.

Розділ 2

§ 12

33 of 38

Як розв'язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

Якщо просто клацнути кнопку ОК

Якщо перед тим вибрати перемикач Відновити первинні значення

Якщо вибрати елемент у списку Звіти

на аркуші моделі буде відображено оптимальне значення цільової функції та значення змінних, за яких воно досягається

то всі значення залишаться такими самими, як і до пошуку розв'язку

то буде створено аркуш з детальним аналізом розв'язку задачі

Розділ 2

§ 12

34 of 38

Розгадайте ребус

Оптимізація

Розділ 2

§ 12

35 of 38

Дайте відповіді на запитання

У чому полягає подібність і відмінність сучасних цифрових засобів розв'язування рівнянь та їх систем?

Для яких задач доцільно застосовувати кожний з відомих вам цифрових засобів обчислювальної математики?

Як застосовують інструмент Підбір параметра табличного процесора MS Ехсе/для розв'язування рівнянь?

Що таке оптимізаційна задачі та які задачі можна описати як оптимізаційні? Наведіть приклади.

Розділ 2

§ 12

36 of 38

Домашнє завдання

Проаналізувати

§ 12, с. 116-129

Розділ 2

§ 12

37 of 38

Працюємо за комп’ютером

Сторінка

118-129

Розділ 2

§ 12

38 of 38

Дякую за увагу!

2-ге видання, оновлене

Урок 14

Інформатика

teach-inf.com.ua

за підручником

Морзе Н.В. та ін.

Рівень стандарту 10(11)